高考数学 专题9.2 圆与点、线、圆的位置关系试题 文

【三年高考】

x2y21. 【2017课标3，文11】已知椭圆C：221，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，

ab且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（ ）

A．6 3 B．3 3 C．2 3 D．

13【答案】A

【解析】以线段A1A2为直径的圆是xya，直线bxay2ab0与圆相切，所以圆心到直线的距离d2222aba2b2a，整理为a23b2，即a23a2c22a23c2，即

c22c6 ，，故选A. e2a3a32. 【2017课标3，文20】在直角坐标系xOy中，曲线yxmx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【解析】（1）设Ax1,0,Bx2,0，则x1,x2是方程x2mx20的根，所以

2x1x2m,x1x22，则ACBCx1,12110x2,1xx121会能否出现AC⊥BC的情况。

，所以不

（2）解法1：过A，B，C三点的圆的圆心必在线段AB垂直平分线上，设圆心Ex0,y0，则

xxm2x+xxxx012，由EAEC得12x1y0212y01，化简得

22221x1x21m1m1y0，所以圆E的方程为xy1，令

222222222222x0得y11,y22，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为123，所以

所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值

- 1 -

解法2：设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，由x1x22可知原点O在圆内，由相交弦定理可得ODOCOAOBx1x22，又OC1，所以OD2，所以过A，

B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为OCOD3，为定值.

3 . 【2016高考山东文数】已知圆M：x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长

2（x-1）+(y-1)2=1的位置关系是（ ） 度是22，则圆M与圆N：

（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离 【答案】B

4．【2016高考北京文数】圆(x1)y2的圆心到直线yx3的距离为（ ） A.1 B.2 C.2 D.22 【答案】C

【解析】圆心坐标为(1,0)，由点到直线的距离公式可知d22|103|2，故选C. 2224．【2016高考新课标Ⅲ文数】已知直线l：x3y60与圆xy12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点，则|CD|_____________. 【答案】4

【解析】由x3y60，得x23y6，代入圆的方程，并整理，得y33y60，

解得y123,y23，所以x10,x23，所以

|AB|(x1y2)2(y1y2)223．又直线l的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形

ABDC中，|CD||AB|4．

cos305．【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0,5)在圆C上，且圆心

- 2 -

到直线2xy0 的距离为45，则圆C的方程为__________. 5【答案】(x2)2y29.

【解析】设C(a,0),(a0)，则|2a|45a2,r2253，故圆C的方程为

55(x2)2y29.

6. 【2016高考新课标1文数】设直线y=x+2a与圆C：x+y-2ay-2=0相交于A,B两点,若

,则圆C的面积为 .

【答案】4

2

2

7. 【2015高考湖南，文13】若直线3x4y50与圆xyr且AOB120o（O为坐标原点），则r=_____. 【答案】

【解析】如图直线3x4y50与圆xyr（r＞0） 交于A、B两点，O为坐标原点，且AOB120o，则圆心（0，0）到直线3x4y50的距离为

222222r0相交于A,B两点，

1r ，2532421r，r=2 .故答案为2. 2 - 3 -

8.【2015高考重庆，文12】若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________. 【答案】x2y50

【解析】由点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：xy5，所以该圆在点P处的切线方程为1x2y5即x2y50，故填：x2y50. 9.【2015高考新课标1，文20】已知过点A1,0且斜率为k的直线l与圆C：

22x2y3221交于M，N两点.

（I）求k的取值范围；

（II）OMON12，其中O为坐标原点，求MN.

【解析】（I）由题设，可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点，所以|2k-3+1|1+k2<1.

解得

4-37骣4+74-74+7- 4 -

4(k+1)7,xx=. 121+k21+k24k(1+k)4k(1+k) ,由题设可得解得OM?ONx1x2+y1y2=1+k2 x1x2+kx1+x2+1=+8+8=12，221+k1+k(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,所以x1+x2=k=1，所以l的方程为y=x+1.故圆心在直线l上，所以|MN|=2.

【2017考试大纲】

(1)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系； 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.

(2)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (3)初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题, 对圆与点、直线、圆的位置关系这部分的考查，主要考查点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会与其他圆锥曲线部分结合起来，综合考察． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式可以看出 , 直线和圆是两个基本图形，对它们的研究，既可以从几何的角度来探索它们的位置关系，又可以从方程角度来解决一些度量问题，体现用代数方法研究几何问题的思想，同时又是研究圆锥曲线的基础，所以对这部分内容的复习要倍加关注．对直线与圆位置关系的考查．一般会涉及弦长、距离的的计算和圆的切线问题和直线与圆位置关系的判定，还可能会考查轨迹问题和与圆有关的最值问题，其中渗透数形结合思想和转化与化归思想的运用．圆与圆位置关系的考查，属于简单题，主要涉及位置关系的判定和长度问题．预测2018年直线与圆的位置关系可能涉及，新课标卷可能会出一道选择题，也有可能出一道解答题.

【2018年高考考点定位】

高考对圆与直线、圆位置关系的考查有三种主要形式：一是考查直线与圆的位置关系；二是考查圆的切线问题；三是与圆有关的弦长问题；四是考查圆与圆的位置关系；五是考查与圆有关的最值问题；六是考查与圆有关的轨迹问题，注意几何法在解题中的重大作用． 【考点1】点、直线、圆与圆的位置关系 【备考知识梳理】

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1．直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种：（1）若

222dAaBbCAB22，dr相离0；（2）dr相切0；（3）

dr相交0．还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

AxByC0求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直22xyDxEyF0线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d0；相离d>rΔ<0．

2. 两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，

O1O2d．dr1r2外离4条公切线；dr1r2外切3条公切线；r1r2dr1r2相交2条公切线；dr1r2内切1条公切线；0dr1r2内含无公切线；

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判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 【规律方法技巧】

1.直线与圆的位置关系问题，既可以用几何判断，也可以用代数判断，通常利用几何判断较为简洁，即圆心到直线的距离d与圆的半径r比较．

2.点与圆的位置关系判断，只需将点的坐标代入圆的方程左边，当左边大于右边时，点在圆外；当左边小于右边时，点在园内；当左边等于右边时，点在圆上．

3．圆与圆的位置关系判定，既可以利用圆心距与两圆半径和差比较，也可以利用两圆的公切线条数来判定，两圆相切注意分内切或外切讨论．

4. 若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 【考点针对训练】

1.【陕西省黄陵中学2017届高三高考前模拟】两圆xy2axa40和

222x2y24by14b20恰有三条公切线，若aR， bR，且ab0，则最小值为( ) A. 112的2ab410 B. C. 1 D. 3 99【答案】C

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2. 【宁夏银川市2017届高三二模】已知圆，圆

，则圆和圆的位置关系是

A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】B

【解析】化圆的方程为

，圆和圆外切，故选B． 【考点2】圆的切线问题 【备考知识梳理】

过切点和圆心的直线垂直于切线，即圆心到直线的距离等于半径 【规律方法技巧】

1.直线与圆相切的判定以及与切线有关的参数问题都可以利用圆心到切线距离等于半径列方程判断或求解；涉及切线长的问题，可以利用勾股定理求．

2.对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在情形． 3. 圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题． 【考点针对训练】

1. 【辽宁省实验中学2017届高三六模】已知圆

上一动点，过点向圆引两条切线

范围为__________． 【答案】

，其中

，点为直线

为切点，则

的取值

，则圆与的圆心距为

＝

【解析】==，

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因为圆心到直线的距离，所以，，，当时

取最小值。所以填。

2222. 【甘肃省肃南2017届高三一模】过定点P2,1作动圆C:xy2aya20的一条切线，切点为T，则线段PT长的最小值是__________． 【答案】2 【解析】由题意PT＝PCr＝22a122，当a1时PT长最小为2，故答案为2. 【考点3】弦长问题 【备考知识梳理】 求圆的弦长的常用方法

(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为ll，则()2r2d2. (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：

l2AB|=1k2|x1-x2|=1k2[(x1x2)24x1x2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题． 【规律方法技巧】

处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形． 【考点针对训练】

1. 【2017届广东省深圳市高三第一次调研】直线l:kxy40kR是圆

C:x2y24x4y60的一条对称轴，过点A0,k作斜率为1的直线m，则直线m被

圆C所截得的弦长为 （ ） A. 2 B. 2 C. 6 D. 26 2【答案】C

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2. 【天津市南开中学2017届高三第五次月考】若3a23b24c20，则直线axbyc0被圆xy1所截得的弦长为（ ） A. 22213 B. 1 C. D. 32442c，所以圆心O0,0到直线axbyc0的距离3【答案】B

【解析】因为a2b2dca2b231，所以l2r2d221，应选答案B。

22【考点4】与圆有关的最值问题 【备考知识梳理】

与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有： 斜率型最值问题； 截距型最值问题； 距离型最值问题； 【规律方法技巧】

解决与圆有关的最值问题关键在于能正确认识所给问题的含义，明确几何意义，结合几何图形

数形结合法求解与圆有关的最值问题： (1)形如t＝

y－b形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； x－a(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；

(3)形如t＝(x－a)＋(y－b)形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题． 【考点针对训练】

1. 【浙江省2017届高三五校联考】已知圆C:x2y13，设EF为直线l:y2x422

2

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上的一条线段，若对于圆C上的任意一点Q,EQF【答案】22,则EF的最小值是________.

53 【解析】若对于圆C上的任意一点Q,EQF2,则圆C上的任意一点都在以线段EF为

直径的圆内，圆心C0,1 到直线l的距离为d1455 ,所以圆上的点到直线l的

距离的最大值为53 ，所以以线段EF为直径的圆的半径的最小值为53，则EF的最小值是253。

2．【黑龙江省双鸭山市2017届高三全真模拟】已知直线l:xy1与圆

M:x2y22x2y0相交于A，点B，且位于直线AC两D分别在圆M上运动，C两点，

侧，则四边形ABCD面积的最大值为______． 【答案】30 2222【解析】把圆M:x+y−2x+2y−1=0化为标准方程：(x−1)+(y+1)=3,圆心(1,−1),半径r3 .直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距d2111111212=2 ，由勾股定理的221010AB2=10 .又B，D两点在圆上，并且位半弦长=3- ,所以弦长=222于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，如图所示，当B,D为如图所示位置,即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为：

S1111ABCEABDEABCD102330 . 2222 - 11 -

【考点5】与圆有关的轨迹问题 【备考知识梳理】

求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下做法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．

(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 【规律方法技巧】

利用圆的定义或者探讨曲线上点的坐标满足的方程，从而得到动点运动的轨迹为圆，进而利用圆的相关性质解题． 【考点针对训练】

1．【湖北省重点高中联考协作体2017届高三一模】一个动圆与定圆F:x2y21相外切，且与直线l:x1相切，则动圆圆心轨迹方程为（ ） A. y4x B. y2x C. y4x D. y8x 【答案】D

【解析】由题意，圆F的圆心坐标为2，0，半径为1，不妨设动圆圆心坐标为x,y（其中x0），则1x22222x22y21，整理得y28x，故选D.

222．【江西省抚州市临川区2017届高三4月模拟】已知动圆C与圆xy2x0外切，与圆xy2x240内切．

22 - 12 -

（1）试求动圆圆心C的轨迹方程；

（2）过定点P0,2且斜率为kk0的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点M,N，试判断在x轴上是否存在点Am,0，使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由．

22【解析】（1）由xy2x0得x1y21，由xy2x240得

222x12y225，设动圆C的半径为R，两圆的圆心分别为F11,0,F21,0，则

∴CF1CF26，根据椭圆的定义可知，点C的轨迹为以F1,F2CF1R1,CF25R，为焦点的椭圆，∴c1,a3，∴b2a2c2918， ∴动圆圆C的轨迹方程为

x2y21． 98（2）存在，直线l的方程为ykx2，设Mx1,y1,Nx2,y2， MN的中点为

Ex0,y0．假设存在点Am,0，使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形，则

ykx2，得89k2x236kx360，x1x2AEMN，由{x29∴x0y18236k，29k818k161， ，∵，∴，即AEMNykx2k00AE9k289k28k160182k29k28，当k0时， 9k298122，，∴m218kk9k89k8km2k9k8∴228m0；当k0时， 9k122，∴0m．因此，存在点Am,0，1212k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形，且实数m的取值范围为【应试技巧点拨】

22 ,00,．12121．解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

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2．直线与圆中三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以P为主元，揭示P在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆位置关系.

3．直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离d与半径r的关系确定，dr相切；dr相交，此时半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；dr时相离.解有关直线与圆的相交问题要灵活运用圆的几何性质，特别是半弦长、弦心距、半径构成直角三角形，满足勾股定理．圆的切线问题一般利用dr求解，但要注意切线斜率不存在的情形，与圆有关的最值，范围问题要注意数形结合思想的运用．直线与圆中常见的最值问题：①圆外一点与圆上任一点的距离的最值．②直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值．③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值.

1. 【四川外语学院重庆第二外国语学校2017届高三3月月考】曲线x2y11x0上的点到直线xy10的距离最大值为a，最小值为b，则ab的值是（ ）

2A. 2 B. 2 C. 【答案】C

21 D. 21 2【解析】因为圆心0,1 到直线xy10 距离为2221 ，所以半圆2x2y11x0到直线xy10 距离最大值为21 ，到直线xy10 距

离最小值为点0,0到直线xy10 距离，为1 ，所以2ab21121 ，选C. 22 2. 【江西省赣州市2017届高三第二模】已知动点AxA,yA在直线l:y6x上，动点B在圆C:xy2x2y20上，若CAB30，则xA的最大值为（ ）

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22A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C

【解析】 如图所示，设点Ax0,6x0， 圆心M到直线AC的距离为d，则

dAMsin300211AM， 因为直线AC与圆C有交点，所以d2AM2， 所222以x015x016，解得1x05，所以xA的最大值为5，故选C.

3.【2017届陕西省渭南市高三二模】已知ABC的三边长为a,b,c，满足直线axby2c0与圆xy4相离，则ABC是（ ）

A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上情况都有可能 【答案】C

【解析】圆心到直线的距离d222ca2b22,所以c2a2b2，在ABC中，

a2b2c2cosC0，所以C为钝角。ABC为钝角三角形。选C

2ab4. 【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）】若直线m： kxy40（kR）是圆C：

x2y24x4y60的一条对称轴，过点A0,k作斜率为1的直线n，则直线n被圆C所截得的弦长为（ ）

A. 14 B. 2 C. 6 D. 26 【答案】C

【解析】圆C： xy4x4y60整理得： x2y22.直线m：

2222kxy40（kR）是圆C的一条对称轴,所以直线经过圆心2,2.2k240，

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解得k3.过点A0,3作斜率为1的直线n：yx3.圆心到直线的距离为

d23222.圆的半径为r2.所以直线n被圆C所截得的弦长为216,故选C. 2222r2d2225. 【陕西省实验中学2017届高三模拟热身】已知圆C的方程为x3y416，过直线l： 6x8y5a0（a0）上的任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为25，则直线l在y轴上的截距为（ ） A. 25255555 B. C.  D. 2244【答案】D

6. 【江西省南昌市2017届高三二模】若对圆x1y11上任意一点Px,y，

223x4ya3x4y9的取值与x,y无关，则实数a的取值范围是（ ）

A. a4 B. 4a6 C. a4或a6 D. a6 【答案】D

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【解析】3x4y9 表示圆上的点到直线l1： 3x4y90的距离的5倍， 3x4ya表示圆上的点到直线l2： 3x4ya0距离的5倍，所以3x4ya3x4y9的取值与x,y无关，即圆上的点到直线l1,l2距离和与圆上的点无关，所以直线3x4ya0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以d故选D.

34a51 ，并且a0 ，解得： a6，

7. 【唐山市2016-2017学年度高三三模】在平面直角坐标系xOy中，圆O的方程为

x2y24，直线l的方程为ykx2，若在圆O上至少存在三点到直线l的距离为1，

则实数k的取值范围是（ ） A. 0,333111,0, B. C. D. ,322233【答案】B

【解析】根据直线与圆的位置关系可知，若圆O： xy4上至少存在三点到直线l：

22ykx2的距离为1，则圆心0,0到直线kxy2k0的距离d应满足d1，即

331k，故选择B. 1，解得： k2，即2333k1 8. 【天津市第一中学2017届高三下学期第五次月考】设直线yx2a与圆C：

2kx2y22ay20相交于A， B两点，若AB23，则圆C的面积为__________．

【答案】4

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【解析】因为圆心坐标与半径分别为C0,a,ra22，所以圆心到直线的距离d2aa2a22，则3a2，解之得a2，所以圆的面积

22a2Sr2224，应填答案4。

9. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟】已知圆C1： xy4和圆C2：

22x2y2【答案】8

22194，若点Pa,b（a0， b0）在两圆的公共弦上，则的最ab小值为__________．

10.【广东省汕头市2017届高三第三次模拟】已知圆C经过2,4、1,3，圆心C在直线

xy10上，过点A0,1，且斜率为k的直线l交圆相交于M、N两点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）（i）请问AMAN是否为定值．若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （ii）若O为坐标原点，且OMON12，求直线l的方程． 【解析】（Ⅰ）设圆M的方程为xaybr2，则依题意，得

222a4br2a2,2222{1a3br2解得{b3,∴圆M的方程为x2y31．

ab1022r1,（Ⅱ）（i）AMAN为定值．过点A0,1作直线AT与圆C相切，切点为T，则AT27，

2∴AMANAMANcos0AT7，∴AMAN为定值，且定值为7．

（ii）依题意可知，直线l的方程为ykx1，设Mx1,y1， Nx2,y2，将ykx1代

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入x2y31并整理得：1k2x241kx70，∴x1x22241k21k2，

x1x27， 21k∴OMON x1x2y1y2 1k2x1x2kx1x214k1k1k2812，即4k1k1k24，

解得k1，又当k1时0，∴k1，所以直线l的方程为yx1．

11. 【2016届陕西省黄陵中学高三下第六次模拟】已知a,b为正实数，直线xya0与圆

xby1222相切，则

32b2a2的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】b1a22,a0,b0，∴

232bb1a0,0a1,2a号，选B．

14a24a11a当且仅当时取等2a24,22a2a12. 【2016届宁夏六盘山高中高三四模】已知圆的方程为x2y14，若过点P1,的直线l与此圆交于A,B两点，圆心为C，则当ACB最小时，直线l的方程为（ ） A．4x2y30 B．x2y20 C．4x2y30 D．x2y20 【答案】A

【解析】圆心坐标为(0,1)，当弦长最短时，ACB最小，此时直线AB与PC垂直，

212kl112,所以直线l的方程为y2(x1)，4x2y30，故选A. 121201- 19 -

13. 【2016届福建省泉州五中高三最后一卷】设m,nR，若直线m1xn1y20与圆x1y11相切，则mn的取值范围是（ ） A．13,13 B．,1322C．222,2213,

2 D．,222222,

【答案】D

【解析】由圆的方程x1y11，得到圆心坐标(1,1)，半径r1，因为直线

22m1xn1y20与圆相切，所以圆心到直线的距离d整理得mn1mn(mn(m1)(n1)221，

mn2x)，设xmn，则x1()2，即x24x40，因为22x24x40的解为x1222,x2222，所以不等式变形为

(x222)(x222)0，解得x222或x222，所以实数则mn的取

值范围是,222222,，故选D．  14. 【2016届江苏省清江中学高三考前一周模拟】如果直线2axby140a0,b0和函数fxm2x11m0,m1的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆

2xa1yb2【答案】,

43b25的内部或圆上，那么的取值范围为 ．

a3415. 【2016届福建省厦门市高三5月月考】已知点F为抛物线E:x4y的焦点，直线l为准线，C为抛物线上的一点（C在第一象限），以点C为圆心，|CF|为半径的圆与y轴交于

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2

D,F两点，且CDF为正三角形.

（1）求圆C的方程；

（2）设P为l上任意一点，过P作抛物线x4y的切线，切点为A,B，判断直线AB与圆C的位置关 系.

【解析】（1）由已知F(0,1)，设圆C的半径为r，因为EFC为正三角形，C(因为点C在抛物线x4y上，得

223r,|r1|)，2324即3r2解得：16r160，r4r4，r4或r，

432所以圆C的方程为C1:(x23)(y3)16或C2:(x2232116)(y)2. 339(,,)1(Ax,,)(y,1Bx)y（2）方法一：因为准线l为y1，设Pt122x2x，因为y，所以y'，

42x12x1xA(x1,y1)为切点的切线方程为：yy1(xx1)，y1，即y1xy1，因为切线

422过P(t,1)，得1x1xxty1，同理可得12ty2，所以直线AB方程为1ty，222即tx2y20，圆心C1(23,3)，r14，C1到直线距离d1|23t4|4t2，可得

4(t23)2d160，所以t23时，d14，直线AB与圆C1相切，t232t421时，d14，直线AB与圆C1相交.所以直线AB与圆C1相交或相切.同理可证，直线AB与

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圆C2相交或相切.所以直线AB与圆C1、C2相交或相切. （注：因为直线AB过定点F(0,1)，且斜率

t

C2上，因为F(0,1)在圆C1、所以直线ABR，

2

与圆C1、C2相交或相切，这样答扣1分）

方法二：设P(t,1),A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为ykxb，代入抛物线E的方

x1x24kx2x程得x4kx4b0，所以，因为y，所以y'，A(x1,y1)为切点的

42x1x24b2x1x12x12x1x①， B(x2,y2)为切点的切切线方程为：yy1(xx1)，y1，即y24422x2x2x②， 线方程为：y24x1x2tx2k2ktk2联立①②得，所以，所以2，所以直线AB方程为

xxb1y12bb14xyt1，

2以下与（方法一）相同.

【一年原创真预测】

1. 过抛物线y4x的焦点F作与对称轴垂直的直线交抛物线y4x于A,B两点，则以

22AB为直径的圆的标准方程为（ ）

A．x1y24 B．x1y24 C．x2y14 D．x2y14 【答案】B

【解析】由抛物线的性质知AB为通径，焦点坐标为1,0，直径2R|AB|2p4，即

2222R2，所以圆的标准方程为x1y24，故选B．

【入选理由】本题考查抛物线的几何性质与圆的方程基础知识，意在考查学生的分析问题的能力和计算能力．本题是一个常规题，难度不大，故选此题.

2. 若圆x2y212x160与直线ykx交于不同的两点，则实数k的取值范围为（ ）

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A．(3,3) B．(5,5) C．(【答案】C

3355,) ,) D．(2222【解析】将直线的方程ykx代入圆的方程x2y212x160后，整理得

1kx2212x160，依题意，直线与圆交于不同的两点，又∵1k20，∴只需

255.故选C. k22【入选理由】本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查学生的分析问题、解决问

1241k2160，解得k的取值范围为题的能力，基本运算能力及推理能力．本题是一个常规题，难度不大，故选此题.

3. 已知点P为圆C:xy2x4ya0与抛物线D：x4y的一个公共点,若存在过点P的直线l与圆C及抛物线D都相切,则实数a的值为( ) A．2 B．2 C．3 D．5 【答案】C

【解析】由题意可知直线l为圆C及抛物线D在点P处的公切线,因为点P在抛物线D上,设

222tx2xt22,y,所以直线l的斜率k1,又圆心C的坐标为点Pt,,由x4y得y4224t2322t8tt81,解得t2,所以,所以k1k21,2,所以直线PC的斜率k24t14t18t8点P的坐标为2,1,代入方程C:xy2x4ya0得a3,故选C.

22【入选理由】本题考查了直线与圆及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查学生分析问题，解决问题的能力，数形结合的思想，以及运算能力．此题构思比较巧，的确是一个好题，故选此题.

4. 已知A是射线xy0（x„0）上的动点，B是x轴正半轴上的动点，若直线AB与圆

x2y21 相切，则|AB|的最小值是________.

【答案】222

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【入选理由】本题主要考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，意在考查学生的和运算求解能力和逻辑思维能力．此题直线与圆的位置关系与基本不等式有机结合在一起，问题转化为圆上一点到直线距离的最小值，此题构思比较巧，的确是一个好题，故选此题. 5. 已知定圆F1:x2y224，动圆N过点F22,0且与圆F1相切，记圆心N的轨迹

2为E.

（I）求轨迹E的方程；

（Ⅱ）若与x轴不重合的直线l过点F22,0，且与轨迹E交于A、B两点，问：在x轴上是否存在定点M，使得MA2MAAB为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

【解析】（I）因为点F22,0在圆F1:x2y224内，所以圆N内切于圆F1，因为

2NF1NF226F1F24，所以点N的轨迹为以F1和F2为焦点的椭圆，且2a26，x2y21． a6，c2，所以b2，所以轨迹E的方程为622x2y2122（Ⅱ）设直线l的方程为xty2．由6得t3y4ty20，设Ax1,y1、2xty2Bx2,y2，所以y1y224t2yy，，根据题意，假设x轴上存在定点Mm,0，1222t3t3使得MAMAABMAABMAMAMB为定值．则

MAMBx1m,y1x2m,y2x1mx2my1y2

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t21y1y2t2my1y244mm22m26t23m212m10t37，此时32，要使上式为定值，即与t无关，则3m12m103m6，解得m2257MAMAABm26，所以在x轴上存在定点M(,0)，使得MA2MAAB为定

39值，且定值为．

【入选理由】本题考查圆与圆的位置关系、轨迹方程、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查学生分析问题，解决问题的能力，数形结合思想的运用和函数与方程思想和基本运算能力．此题是由圆的位置关系求曲线方程，这在高考中经常考查知识，故选此题.

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