2023年中考数学必刷真题考点专题31新定义与阅读理解创新型问题【原卷版】

一．选择题（共3小题）

1．（2022•娄底）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN． 例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1． 对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）． 例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（ ） A．5

B．2

C．1

D．0

2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…． 下列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A．0

B．1

＝3，C．2 ＝3，

D．3 ＝3，…，

3．（2022•常德）我们发现：

＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美

方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对；②（9，91）是完美方根数对；③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20；④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二．填空题（共1小题）

4．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ． 三．解答题（共23小题）

5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物

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线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．

（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；

（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N． ①当MN＝6a时，求点P的坐标；

②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．

6．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝

，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．

（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值； ②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式； （2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；

（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．

例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；

（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．

8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，表示ICME﹣14的举办年份． （1）八进制数3746换算成十进制数是 ；

（2）小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．

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9．（2022•盐城）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律． 【提出问题】

小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 ． 【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立． 【深度思考】

小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如（﹣1，1），（2022，﹣2022）都是“黎点”． （1）求双曲线y＝

上的“黎点”；

（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当a＞1时，求c的取值范围．

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11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． （1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；

（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由； ②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；

（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜

，请直接写出a的取值范围．

12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N．

对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q；

②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM；

（2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．

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13．（2022•青岛）【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、

例如：如图①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．

【性质探究】

如图①，用S△ABC，S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积， 则S△ABC＝BC•AD，S△A'B'C′＝B′C′•A′D′， ∵AD＝A′D′

∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'． 【性质应用】

（1）如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3，DC＝4，则S△ABD：S△ADC＝ ； （2）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△

ABC＝1，则

S△BEC＝ ，S△CDE＝ ；

（3）如图③，在△ABC中，D，E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△

ABC＝a，则

S△CDE＝ ．

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14．（2022•常州）在四边形ABCD中，O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD，则点O叫做该四边形的“等形点”．

（1）正方形 “等形点”（填“存在”或“不存在”）；

（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝45，BC＝12，连接AC，求AC的长；

（3）在四边形EFGH中，EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”，求

的值． ，OA＝

15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）问题发现：

如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边．求证：BD＝CE； （2）解决问题：

如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由．

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16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP：AB＝1：

也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1），．”小东的作法是：如图2，以AB为斜边作等腰直

角三角形ABC，再以点A为圆心，AC长为半径作弧，交线段AB于点P，点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．

（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．

（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP，点D为线段AC上的动点，点E在AB的上方，构造△DPE，使得△DPE∽△CPB．

①如图3，当点D运动到点A时，求∠CPE的度数．

②如图4，DE分别交CP，CB于点M，N，当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD），猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．

17．（2022•兰州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）．

小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整．

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（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值： x/cm y/cm

0 4

0.5 3.96

1 3.79

1.5 3.47

1.8 a

2 2.99

2.5 2.40

3 1.79

3.5 1.23

4 0.74

4.5 0.33

5 0

请你通过计算，补全表格：a＝ ；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数y关于x的图象；

（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；

（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 cm．（结果保留两位小数）

18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．

y＝2x2 （0，0） （1，2）

y＝2（x﹣3）2+6

（3，m） （4，8）

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（2，8） （﹣1，2） （﹣2，8）

（1）m的值为 ；

（5，14） （2，8） （1，14）

（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标；

（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在新的函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1＞y2，则x1 x2．（填不等号）

19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

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小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．

（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；

（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；

（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？ 20．（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：

二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式． 【观察发现】

请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象． 【思考交流】

小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．” 小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．” 你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明． 【概括表达】

小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法． 请你探究这个方法，写出探究过程．

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21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：

第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩； 第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．

（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．

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（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．

x/kg y/cm

…… ……

0.25

0.5

1

2

4

……

……

22．（2022•赤峰）阅读下列材料

定义运算：min|a，b|，当a≥b时，min|a，b|＝b；当a＜b时，min|a，b|＝a． 例如：min|﹣1，3|＝﹣1；min|﹣1，﹣2|＝﹣2．

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完成下列任务

（1）①min|（﹣3）0，2|＝ ； ②min|﹣

，﹣4|＝ ．

（2）如图，已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时，min|，﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2，求这两个函数的解析式．

23．（2022•赤峰）【生活情境】

为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】

如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

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【问题解决】

（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 （可省略单位），水池2面积的最大值是 m2；

（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 ，此时的x（m）值是 ； （3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 ； （4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；

（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．

24．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，

）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣

的距叫做抛

离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝

．

例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1． 【基础训练】

（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程： ， ． 【技能训练】

（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；

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【能力提升】

（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； 【拓展升华】

（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝

＝

．后人把

这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．

如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当

＝

时，请直接写出△HME的面积值．

25．（2022•贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在▱ABCD中，AN为BC边上的高，

＝m，点M在AD边上，且BA＝BM，点E是线段AM上任意一点，连接

BE，将△ABE沿BE翻折得△FBE．

（1）问题解决：如图①，当∠BAD＝60°，将△ABE沿BE翻折后，使点F与点M重合，则（2）问题探究：

如图②，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；

（3）拓展延伸：

当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．

＝ ；

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26．（2022•呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题．

如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）

（1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件： ；

（2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF； （3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P． 设

＝k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．

27．（2022•潍坊）【情境再现】

甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF． 请你证明：AG＝BH．

【迁移应用】

延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．

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【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．

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