专题32新定义与阅读理解创新型问题-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版)【全国通用】

专题32新定义与阅读理解创新型问题

一、单选题

1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：mina,ba(ab)，若函数

b(ab)yminx1，x22x3，则该函数的最大值为（ ）

A．0

B．2

C．3

D．4

2（．广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p则其面积Sabc，2p(pa)(pb)(pc)．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若p5,c4，则此三角形

面积的最大值为（ ） A．5 B．4

C．25 D．5

3．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数yaxb的特征数为a,b，若一次函数

3y2xm的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y的图象交于A，B两点，且点A，B关

x于原点对称，则一次函数y2xm的特征数是（ ） A．2,3

B．2,3

C．2,3

D．2,3

C2图象上的点，Q(x,y2)分别是函数C1，4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设P(x,y1)，当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区

间”．则下列结论：

①函数yx5，y3x2在1x2上是“逼近函数”； ②函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”； ③0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”； ④2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ）

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A．②③ B．①④ C．①③ D．②④

5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：ab是（ ） A．x1或xa,ab，则不等式(2x1)(2x)3的解集

b,ab1 3B．1x1 3C．x1或x1 D．x1或x1 36．（2021·广西中考真题）如M1,2,x，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x1，x2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合Nx,1,2，我们说M值是（ ） A．－1

B．0

C．1

D．2

N．已知集合A1,0,a，集合B1b,a,，若AB，则ba的

aa7．（2021·湖北中考真题）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m,p※q,nmnpq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：2,3※4,5253422．若关于x的方程

2x1,x※52k,k0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）

5 4abab8．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数a,b，如果满足，那么我们称这一对数a,b2323A．kB．kC．kD．k为“相随数对”，记为a,b．若m,n是“相随数对”，则3m2[3m2n1]（ ） A．2 二、填空题

9．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若ax1,y1,bx2,y2，则abxxyy．例如

12125且k0 45 45且k0 4B．1 C．2 D．3

则ab123421214．已知a(x1,x1),b(x3,4)，且2x3，a(1,3),b(2,4)，



则ab的最大值是________．

10．（辽宁省丹东市2021年中考数学试题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足

APBBPCCPA120．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若

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ABAC7,BC23，P为ABC的费马点，则PAPBPC_________；若AB23,BC2,AC4，P为ABC的费马点，则PAPBPC_________．

11．（浙江省宁波市2021年中考数学试卷）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点Ax,y，我们把点B11,称为点A的“倒数点”．如图，矩形OCDE的顶点C为3,0，顶点E在y轴上，函数xyy2若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形OCDE的一边上，则OBCx0的图象与DE交于点A．

x的面积为_________．

12．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：a,b,c为二次函数yax2bxc（a0）的特征数，下面给出特征数为m,1m,2m的二次函数的一些结论：①当m1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m2时，函数图象过原点；③当m0时，函数有最小值；④如果m0，当x而减小，其中所有正确结论的序号是______．

13．（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad．已知1rad,1时，y随x的增大260，则与的大小关系是________．

14．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P,OP2，当正方形绕着点O旋转时，

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则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

15．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a、b，定义一种运算：aba2b2ab，若xx13，则x的值为________．

三、解答题

16．（江苏省南通市2021年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数y11x的图象的“等值点”． 22（1）分别判断函数yx2,yx2x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数y3(x0),yxb的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C．当xABC的面积为3时，求b的值；

（3）若函数yx22(xm)的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2．当W1,W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．

17．（江苏省常州市2021年数学中考真题）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A两点，若在y轴上存在点T，使得ATA90，且TATA，则称A、A两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M2,0、N1,0，点Qm,n在一次函数y2x1的图像上． （1）①如图，在点B ；2,0、C0,1、D2,2中，点M的关联点是_______（填“B”、“C”或“D”）

②若在线段MN上存在点P1,1的关联点P，则点P的坐标是_______； （2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q，求实数m的取值范围； （3）分别以点E4,2、Q为圆心，1为半径作

E、Q．若对E上的任意一点G，在Q上总存在

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点G，使得G、G两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．

18．（湖南省张家界市2021年中考数学真题试题）阅读下面的材料： 如果函数yf(x)满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2， （1）若x1x2，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)是增函数； （2）若x1x2，都有f(x1)f(x2)，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)x2(x0)是增函数．

证明：任取x1x2，且x1>0，x20

则f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)(x1x2) ∵x1x2且x1>0，x20 ∴x1x20，x1x20

∴(x1x2)(x1x2)0，即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2) ∴函数f(x)22x2(x0)是增函数．

根据以上材料解答下列问题：

111(x0)，f(1)1，f(2)，f(3)_______，f(4)_______； x121（2）猜想f(x)(x0)是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．

x（1）函数f(x)19．（山东省枣庄市2021年中考数学真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函

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x2x0的图象与性质进行探究． xx22221，即y1，所以可以对比函数y来探究． 因为yxxxx列表：（1）下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：m ，n ；

数yx yy2 x… 4 1 23 2 1 1 21 21 2 3 4 … … 2 33 51 2 4 4 2 1 1 0 2 31 2… x2 x… 3 22 3 m 3 n 1 2… 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y的点，如图所示：

x2相应的函数值为纵坐标，描出相应x

（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来： （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：

①当x0时，y随x的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ②函数yx22的图象是由y的图象向 平移 个单位而得到．

xx③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 20．（内蒙古赤峰市2021年中考数学真题）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点M的坐标为

x1,y1，点N的坐标为x2,y2，且x1≠x1，y2≠y2，若M、N为某矩

形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．

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（1）已知点A的坐标为2,0．

①若点B的坐标为4,4，则点A、B的“相关矩形”的周长为__________；

②若点C在直线x=4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式； 若使函数y（2）已知点P的坐标为3,4，点Q的坐标为6,2，有两个公共点，直接写出k的取值范围．

k

Q的“相关矩形 ”的图象与点P、

x

21．（湖北省荆州市2021年中考数学真题）小爱同学学习二次函数后，对函数yx1进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如 下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：

2

（1）观察探究：

①写出该函数的一条性质：__________；

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②方程x121的解为：__________；

③若方程x1（2）延伸思考：

2a有四个实数根，则a的取值范围是__________．

将函数yx1的图象经过怎样的平移可得到函数y1x21直接写出当2y13时，自变量x的取值范围．

223的图象？写出平移过程，并

22．（2021·江西中考真题）二次函数yx22mx的图象交x轴于原点O及点A．

感知特例

（1）当m1时，如图1，抛物线L:yx22x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B，O，C，A，D，如下表： … B1,3 O0,0 C1,1 A（___，___） A2,0 D3,3 … … B5,3 O4,0 C3,1 D1,3 … ①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L． 形成概念

我们发现形如（1）中的图象L上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L是L的“孔像抛物线”．例如，当m2时，图2中的抛物线L是抛物线L的“孔像抛物线”． 探究问题

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（2）①当m1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为_______；

②在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数yx22mx的所有“孔像抛物线”L，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“yax2bxc”或“yax2bx”或“yax2c”或“yax2”，其中abc0）；

③若二次函数yx22mx及它的“孔像抛物线”与直线ym有且只有三个交点，求m的值．

23．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy中，O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下

B,C分别是B,C的对应点）定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到O的弦BC（，则称线段BC是O的以点A为中心的“关联线段”．

（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，O的以点A为中心的“关联线段”是______________；

（2）ABC是边长为1的等边三角形，点A0,t，其中t0．若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；

（3）在ABC中，AB1,AC2．若BC是O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

24．（2021·四川中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．

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对数的定义：一般地．若axN（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，

记作xlogaN，比如指数式2416可以转化为对数式4log216，对数式2log39可以转化为指数式329．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga(MN)logaMlogaN(a0,a1,M0,N0)，理由如下：

设logaMm,logaNn，则Mam,Nan．

MNamanamn．由对数的定义得mnloga(MN)

又

mnlogaMlogaN

loga(MN)logaMlogaN．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：①log232___________；②log327_______，③log7l =________； （2）求证：logaMlogaMlogaN(a0,a1,M0,N0)； N（3）拓展运用：计算log5125log56log530．

25．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成AB，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成MAB的过程，称为“合分解”． 例如

6092129，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，

609是“合和数”．

又如

2341813，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，

234不是“合和数”．

（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；

（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即MAB．A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的和记为PM；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为QM．令

PMG(M)，当G(M)能被4整除时，求出所有满足条件的M．

QM26．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与

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十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：m3507，因为372(50)，所以3507是“共生数”：m4135，因为452(13)，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；

（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F(n)n．求满足Fn各数位上的数字之和是偶数的所有n． 327．（2021·四川中考真题）已知平面直角坐标系中，点P（x0,y0）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离d可用公式dAx0By0CAB22来计算．

例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝C＝1，2）－1，所以点P（1，到直线y＝2x＋1的距离为：d根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点M（0，3）到直线y3x9的距离；

（2）在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线y3x9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．

28．（2021·湖北中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 猜想发现：由5525510；

Ax0By0CA2B221（1）2122(1)215． 55111122；0.40.420.40.40.8；3333311111115252；0.23.220.23.21.6；2 5528282猜想：如果a0，b0，那么存在ab2ab（当且仅当ab时等号成立）． 猜想证明：∵

ab20

∴①当且仅当ab0，即ab时，a2abb0，∴ab2ab； ②当ab0，即ab时，a2abb0，∴ab2ab．

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综合上述可得：若a0，b0，则ab2ab成立（当日仅当ab时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数yx变式探究：（2）对于函数y1x0，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ x1xx3，当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ x3拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

29．（2021·内蒙古中考真题）数学课上，有这样一道探究题．

如图，已知ABC中，AB=AC=m，BC=n，BAC0180，点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，将线段CP绕点P顺时针旋转a，得线段PD，E、F分别是CB、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究程，并完成以下任务： （1）填空： （问题发现）

EF的值和的度数与m、n、α的关系，请你参与学习小组的探究过APEF___________，___________； PAEF___________，___________； 小红研究了90时，如图2，求出了PA小明研究了60时，如图1，求出了（类比探究）

他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了（归纳总结）

最后他们终于共同探究得出规律：式子表示)．

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EF； PAEF__________(用含m、n的式子表示)；___________ (用含α的PA

（2）求出120时

EF的值和的度数． PA

30．（2021·山东中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2CD2与AD2BC2有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形

ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC4，AB5，求GE的长．

31．（2021·湖北中考真题）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60得到CQ，连QB．

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（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；

（2）如图2，当点P、B在AC同侧且APAC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；

3B分别位于直线AC异侧，（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、且APQ的面积等于，4求线段AP的长度．

32．（2021·江苏中考真题）如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0） ．过点P的弦CD⊥AB，Q为BC上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ．

（1）若m＝3． ①求证：∠OAD＝60°； ②求

BQ的值； DHBQ，请直接写出结果； DH（2）用含m的代数式表示

（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数．

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