【精编】专题09复数高考数学)母题题源系列(天津专版)

母题九 复数

【母题原题1】【2018天津，文9】i是虚数单位，复数【答案】4i

67i ． 12i

【名师点睛】本题主要考查复数的运算，意在考查学生的基本运算能力． 【母题原题2】【2017天津，文9】已知aR，i为虚数单位，若【答案】2 【解析】

ai为实数，则a的值为 ． 2iai(ai)(2i)(2a1)(a2)i2a1a2a2i为实数，则0,a2． 2i(2i)(2i)5555【考点】 复数的分类

【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．

复数zabi(a,bR)，当b0时，z为虚数；当b0时，z为实数；当a0,b0时，z为纯虚数． 【母题原题3】【2016天津，文9】已知a,bR,i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则【答案】2

【解析】(1i)(1bi)1b(1b)ia，则考点：复数相等

【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR)，

a的值为_______． b1baa2a，所以，2，故答案为2．

1b0b1babi(acbd)(bcad)i． 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实,(a,b,c.dR)，22cdicd 1

精心整理 提升自我

部为a、虚部为b、模为ab、共轭为abi. 【母题原题4】【2015天津，文9】i是虚数单位，计算【答案】i

2212i 的结果为 ． 2i12ii22iii2i． 【解析】

2i2i2i【考点定位】本题主要考查复数的乘除运算．

【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题．高考中复数考查频率较高的内容有：复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是i1中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性．

2

【命题意图】

高考对本部分内容的考查主要体现在以下几个方面：1．理解复数的基本概念．理解复数相等的充要条件；2．了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示；3．会进行复数代数形式的四则运算；4．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．

【命题规律】 从近三年高考情况来看，本部分内容为高考的必考内容，尤其是复数的概念、复数相等，复数的四则运算以及共轭复数，复数的乘、除运算是高考考查的重点内容，一般为选择题或填空题，难度不大，解题时要正确把握复数概念及准确运用复数的四则运算法则进行求解． 【答题模板】解答本类题目，一般考虑如下三步：

第一步：构造（求出）未知复数 设zabi(a,bR)，根据具体的要求设定a,b（或求出a,b）；

第二步：借助复数四则运算，求出需求结果 由

z1a＋bi（a＋bi）（c－di）ac＋bd（bc－ad）

z2＝c＋di＝（c＋di）（c－di）＝c2＋d2＋c2＋d2i(c2＋d2≠0)；z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i等求出需求的结果；

第三步：关注易错点，检验

①共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d；②|z|＝|a＋bi|＝

a2＋b2．

【方法总结】

1．复数的相关概念

（1）对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，是实数；当b≠0时，是虚数；当a＝0且b≠0时，是纯虚数． （2）复数相等：如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0．

2

精心整理 提升自我

（3）共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d． 2．复数的运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

运算法则 加法 减法 乘法 运算形式 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i z1a＋bi（a＋bi）（c－di）ac＋bd（bc－ad）＝＝＝＋i z2c＋di（c＋di）（c－di）c2＋d2c2＋d2(c2＋d2≠0) 3．常用结论

（1）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*． （2）(1±i)2＝±2i，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2． 4．复数的几何意义

除法

（1）复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则； （2）复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则． 5．复数的模

→

向量OZ的长度叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2．

6．模的运算性质

（1）|z|＝|z|＝z·z；（2）|z1·z2|＝|z1||z2|；（3）

2

－2

－

z1|z1|． z2|z2|

1．【2018天津河东区二模】是虚数单位，复数

在复平面上对应的点位于（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3

精心整理 提升自我

【答案】C

【名师点睛】该题考查的是有关复数的概念和计算，以及复数在复平面内对应的点的坐标的形式，从而求得结果，属于基础题．

2．【2018天津9校联考】若复数z满足

12i1i，则其共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ） zA． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A

12i3112i12i1i31【解析】∵=1﹣i，∴z= i，∴zi，则z在复平面内对应的点的坐

z221i1i1i22标为（，），位于第一象限．故选：A．

3．【2018天津红桥期末考】若i为虚数单位，复数32ii等于（ ） A． 23i B． 23i C． 23i D． 23i 【答案】B

【解析】复数32ii3i223i．故选B．

4．【2018天津一中期中考】设z1i（i为虚数单位），则 z2A． 1i B． 1i C． 1i D． 1i 【答案】C

【解析】分析：把z1i 代入，利用复数的四则运算法则计算即可． 详解： z231222（ ） z2221i2i1i1i，故选C． z1i32i的虚部是（ ）． i【名师点睛】本题考查复数的计算，属于基础题． 5．【2018天津河西期中考】设i为虚数单位，则复数A． 3i B． 3i C． 3 D． 3 【答案】D

4

精心整理 提升自我

【解析】

32i32iii32i23i，所以其虚部为3．故选D． ii26．【2018天津耀华中学模拟】复数A． B． 【答案】A

C．

D．

的值是（ ）．

【解析】

7．【2018天津河西区三模】设复数满足__________象限． 【答案】四

．故选．

，为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在第

【名师点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 8．【2018天津部分区二模】已知【答案】

，是虚数单位，若复数

，则复数

_______．

5

精心整理 提升自我

【名师点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 9．【2018天津河北区二模】若复数【答案】1

【解析】分析：将复数详解：由题意得

化成代数形式后，再根据纯虚数的概念求出的值即可．

，∵复数

是纯虚数，∴

且

，解得

．

为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为_________．

【名师点睛】本题考查复数的除法运算和复数的有关概念，考查学生的运算运算能力，解题的关键是正确进行复数的运算．

10．【2018天津十二校二模】为虚数单位，设复数满足【答案】

，则的虚部是__________．

【解析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部． 详解：由

，可得

，可得

，所以，的虚部是

，故答案为

【名师点睛】本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度．

11．【2018天津滨海新区模拟】已知i是虚数单位，则

7i_________． 34i12．【2018天津十二重点校模拟】i为虚数单位，已知复数【答案】3

3ia

的实部与虚部相等，那么实数a_______． i

6

精心整理 提升自我

【解析】∵

3ia3ai3ai的实部与虚部相等，∴a3，故答案为3． i1 7