经济数学——线性代数模拟试卷

《线性代数》考试大纲和模拟试卷

考试大纲

第一章 行列式

[考试内容]

逆序与逆序数 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 克莱姆法则

[考试要求]

1、了解逆序和逆序数的定义

2、了解行列式的定义，掌握行列式的性质

3、会应用行列式性质和行列式按一行（列）展开去计算行列式 4、会用克莱姆法则

第二章 矩阵及其运算

[考试内容]

矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的行列式 伴随矩阵 逆矩阵的定义和性质 矩阵可逆的充分必要条件 分块矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵

[考试要求]

1、理解矩阵的概念，了解几种特殊矩阵（对角矩阵、数量矩阵、上（下）三角矩阵、对称和反对称矩阵）及其性质。 2、掌握矩阵的运算及其运算规律。

3、了解矩阵分块的原则，掌握分块矩阵的运算法则。

4、理解可逆矩阵的概念及其性质，会用伴随矩阵求矩阵的逆，掌握用初等行变换的方法求矩阵的逆。

5、了解初等矩阵的概念及它们与初等变换的关系。

第三章 线性方程组

[考试内容]

消元法解线性方程组 向量的定义及其线性运算 向量组的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 线性方程组有解判定定理 线性

方程组解的性质和解的结构 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的通解

[考试要求]

1、理解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算。

2、了解向量组的线性相关、线性无关、向量组的秩和矩阵的秩等概念，掌握求向量组的极大无关组和矩阵的秩的方法。

3、掌握线性方程组有解的判定定理，了解线性方程组的特解，导出组的基础解系和一般解的概念。

4、熟练掌握用矩阵初等行变换的方法求线性方程组的一般解。

第四章 向量空间、矩阵的特征值和特征向量

[考试内容]

基与坐标 过渡矩阵 向量的内积 Rn的标准正交基 施密特正交化方法 正交矩阵 矩阵的特征值与特征向量 相似矩阵和矩阵可对角化的条件 实对称矩阵对角化

[考试要求]

1、会求向量在不同基底下的坐标变换。

2、了解向量内积的定义，掌握线性无关向量组的正交化方法。 3、了解正交矩阵的定义及其主要性质。

4、了解矩阵特征值、特征向量等概念及其有关性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

5、了解相似矩阵的概念和矩阵相似于对角矩阵的条件。 6、掌握将实对称矩阵化为对角形矩阵的方法。

第五章 二次型

[考试内容]

二次型 二次型的标准形 合同矩阵 用配方法和正交变换化二次型为标准形 二次型的规范形 惯性定理 正定二次型 正定矩阵 [考试要求]

1、了解二次型的定义，掌握二次型的矩阵表示方法。

2、会用配方法化二次型为标准形，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法。 3、了解正定二次型、正定矩阵的定义和有关性质。

模拟试卷

线性代数模拟试卷（一）

班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________

一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分）

a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24a31 a32 a33 a34a41 a42 a43 a441、四阶行列式

展开式中，含有因子a14a32且带正号的项为

___________

2、设A为n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B，则

AB-1=_________

3、已知向量组1(1, 2, -1, 1) , 2(2, 0, t, 0) , 3(0, -4, 5, -2)线性相关，则

t =_________

4、设三阶方阵A(, 1, 2 ), B(, 1, 2 )，其中,, 1, 2 都是三维列向

量且A 1, B2，则A2B _________

5、A为n阶正交矩阵，1,2, , n 为A的列向量组，当i ≠j时，

11(i, j)=_________ 326、三阶方阵A的特征值为1，-2，-3，则A =_______; E+A-1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=aij代数余子式，则（ ） (A)

nn，Aij为aij (i,j=1,2,…n) 的

ai1nni1Ai10 (B)

ai1nni1Ai10

(C)

ai1i1Ai1n (D)

ai1i1Ai1n

2、若A-1+ E, E+A, A均为可逆矩阵，E为单位矩阵，则(A-1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A-1+ E (D) A(A+E)-1

3、设A, B为n阶方阵 ，A*,B*分别为A, B对应的伴随矩阵，分块矩阵

A 0C0 B，则C的伴随矩阵C* =( )

AB* 0 (B) (A)  0 BA*AA* 0 (D) (C)  0 BB*BA* 0  0 AB*BB* 0  0 AA*4、若向量组1,2, , m 的秩为r，则（ ）

(A) 必有 r5、已知1,2,3 是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解，且r(A)=3, 已知

1(1, 2, 3, 4) , 23(0, 1, 2, 3) ，C为任意常数，则AX=B通解X=( )

1121 (A) C (B)

31411021

(C) C32431223C34 (D) 451324

C35466、设A为三阶方阵，有特征值1=1，2= -1， 3=2，其对应的特征向量分别为

1,2,3 ，记P=(2,3 1)，则P-1AP=( )

-1  (A)  2 (B)

 12 

1(C)   -11  -1 (D)  2-1 

1  2三、计算下列行列式 （12分）

3 1 -1 2-5 0 3 -11、D=

4 1 1 31 -3 3 -1

1 1 1  1 11 2 1 1 12、Dn= 1 1 3 1 1 .....................1 1 1 1 n

四、已知A、B同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B 1） 证明：矩阵A-2E可逆

1 -2 2）

若B= 01 2 0，求A

0 0 2

(12分) （（

五、求向量组1(1, 1, 2, 3) , 2(1, -1, 1, 1) ， 3(1, 3, 3, 1) , 4(4, -2, 5, 6) ,

5(3, -1, -4, -7)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表

示 （10分）

x1  x22x33x40x 4x3 x411六、已知线性方程组，讨论参数a、b为何值方程组有

3x12x2ax37x41x1 - x2 6x3 x4b解，在有解时，求出通解 （12分）

七、用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)3x13x23x32x1x22x1x32x2x3为

标准形，并写出相应的正交变换 （16分）

222

八、已知1,2,3,4 是AX = 0的一个基础解系，若11t2,22t3，

33t4,44t1,讨论t为何值，1,2,3,4 是AX = 0的一个

基础解系 （8分）

线性代数模拟试卷(二)

班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________

三、填空题（每小题3分，共5小题，总分15分）

1、a1ia23a44a35a5j是五阶行列式展开式中带正号的一项，则i=_____, j=_____ 2、设n阶方阵A满足A2 =A，则A+E可逆且（A+E）-1=_______________(E为

n阶单位阵)

3、已知向量组1(1, 1, 2, -2) , 2(1, 3, -k, -2k) , 3(1, -1, 6, 0) 若该向量

组的秩为2，则k =_________

4、已知四阶方阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，E是单位阵，则

BE _________

5、 向量=（4，0，5）′在基1(1, 2, 1), 2(1, 1, 0),3(1, -1, 1)下的坐

标为 _________

四、单项选择题（每小题2分，共5小题，总分10分）

1、 设A 是三阶方阵A的行列式，A的三个列向量以,, 表示，则A =（ ） (A) 

 (B) 

(C)  (D) 

2、设A, B，C为n阶方阵, 若 AB = BA, AC = CA, 则ABC=( ) (A) BCA (B) ACB (C) CBA (D) CAB 3、 A, B均为n阶方阵, A*为A的伴随矩阵， A 2, B3，则 2AB1 = ( )

22n1 2n1 32n1 3n1 (A)  (B)  (C)  (D) 

33224、已知向量组1,2,3 , 4 线性无关，则向量组（ ） (A) 12, 23, 34, 41线性无关

(B) 12, 23, 34, 41线性无关

(C) 12, 23, 34, 41线性无关

(D) 12, 23, 34, 41线性无关 5、若A ～ B，则 有 ( )

(A) A 、B有相同的特征矩阵 (B) A  B

(C) 对于相同的特征值，矩阵A 与B有相同的特征向量

(D) A 、B均与同一个对角矩阵相似 三、计算下列行列式 （13分）

1 2 -1 33 0 1 23、D=

1 - 1 2 11 0 3 -2

1 1  1 1x 1 1  1x 1....................... 4、Dn= .......... 1 1x  1 11x 1  1 1

a)

1 3 41 -1 0 02 1 -1 01 30 0 2 设B= ，C=,且矩阵A满足 0 0 1 -10 0 2 10 0 0 10 20 0 A(EC1B)CE, 试将关系式化简并求A (12分)

b)

求向量组1(1, 2, -1, 4) , 2(0, 1, 3, 2) ，3(3, 7, 0, 14) ,

4(2, 5, 1, 10) , 5(1, 2, -2, 0)的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示 （13分）

x1  x2 2x3  3x4  1六、k为何值时，线性方程组x1 3x2  6x3  x4 13x1 x2 2x3(k5)x43x1 - 5x2 10x3  9 x4 k求出通解

有无穷多个解并

（14分）

七、用正交变换化二次型f(x1,x2,x3)x12x22x34x1x3为标准形，并写出

相应的正交变换 （16分）

222

10 x 八、若矩阵A= 0 -1 0有三个线性无关的特征向量，证明：x – y = 0

1 y 0 （7分）

线性代数模拟试卷(三)

班级 姓名 学号 成绩 一、填空题（每小题3分，共18分）

1、A是三阶方阵，且|A|＝6，则 |(3A)-1|＝ 。

2、若n阶方阵满足A2＝A＋E，其中E是n阶单位矩阵，则A＋E可逆，且(A＋E)-1＝ 。

3、已知向量组1(1, 2, -1, 1) , 2(2, 0, k, 0) ，3(0, -4, 5, -2) , 若矩阵A＝(α1α2α3)的秩为3，则k＝ 。

4、齐次线性方程组 A5×7X＝O的基础解系中含有两个线性无关的解，那么方程组中非自由未知量有 个。

5、在三维向量空间R3中，由自然基ε1，ε2，ε3，到基

1(1, 2, 1), 2(0, 1, 0),3(1, -1, 1)的过渡矩阵Q＝ 6、设α是n阶实对称矩阵A对应于λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)’对应于特征值λ的特征向量为 。 二、单项选择题（每小题2分，共12分）

1、a32a2ra14a51a4s是五阶行列式展开式的一项，则对r，s的取值，及该项的符号，正确的选择是（ ）。

(A)r＝3，s＝5，符号为 + ； (B)r＝3，s＝5，符号为 - ； (C)r＝3，s＝2，符号为 + ； (D)r＝5，s＝3，符号为 - 。 2、A为任意n (n≥3)阶方阵，则kA的伴随矩阵(kA)* ＝（ ）。 (A) kA* (B) kn-1A* (C) knA* (D) k-1A* 3、A、B是同阶方阵，则下列叙述正确的是（ B ）。

(A)若A、B可逆，则A+B可逆； (B)若A、B可逆，则AB可逆； (C) A+B可逆，则A-B可逆；(D) A+B可逆，则A、B均可逆。 4、设A为n阶方阵，则|A|=0的必要条件是（ ）。 (A)两行(列)元素对应成比例； (B)A中有一行元素全为零； (C)必有一行为其余行的线性组合；(D)任意行为其余行的线性组合。

5、设非齐次线性方程组AX＝B，未知量个数为n，方程的个数为m，系数矩阵的秩为r，则（ ）。

(A)r＝m，方程组AX＝B有解 ；(B) r＝n，方程组AX＝B有唯一解 ；

(C)n＝m，方程组AX＝B有唯一解 ； (D)r6、n阶方阵A与某对角矩阵相似，则方阵A（ ）。 (A)秩为n； (B)有n个不同的特征值 ； (C)有n个线性无关的特征向量 ； (D)一定是对称矩阵。 三、计算n阶行列式（8分）

1x23n12x3nDn＝1123xn23nx



100，E为单位020四、若A , B满足A*BA＝2BA－8E，其中A＝001矩阵，A*是A的伴随矩阵，求B。(10分)

五、 向量组1(1, -1, 2, 4) , 2(0, 3, 1, 2) ，3(3, 0, 7, 14) ,

4(1, -1, 2, 0) , 5(2, 1, 5, 10)的一个极大无关组，并将其

余向量用该极大无关组线性表示 （12分）

x3x41x1x2x3x33x4112六、问a、b为何值时，方程组

x(a3)x2xb234x3ax413x12x2有唯一解、无解和有无穷多个解；在有无穷多个解时，用其导出组的基础解系来表示该方程组的全部解。(14分)

七、用正交变换化二次型

f(x1 ,x2 ,x3 )＝x12－2x22－2x32－4x1x2＋4x1x3＋8x2x3 为标准形，并写出相应的正交变换。（14分）

八、证明题（每小题6分，共12分）

1、若α1,α2 ,α3 线性无关，证明α1＋α2，α2 ＋4α3，α3 ＋5α1也线性无关。

11 0， ) , 矩阵AE,BE，其中E2、n维向量(, 0,，22为n阶单位矩阵，证明 A-1＝B。

线性代数模拟试卷(四)

班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________

一、填空题（每小题3分，共18分）

1、在五阶行列式中，a43a1ia52a24a3j取负号，则i= ，j= 。 2、设Aij是行列式D中元素aij的代数余子式，且i≠s，则

ai1As1ai2As2ainAsn 。

3、若1,2,3,1,2是四维列向量，且四阶行列式 1231m，

1223n，则32112= 。

4、设4阶方阵的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为 。

5、向量 =(2,0,0) 在基 1(1, 1, 0), 2(1, 0, 1),3(0, 1, 1) 下的坐标为 。

6、三阶方阵A的特征值为1，-2，-3，则A =_ __，E+A-1的特征值为______。 二、单项选择题（每小题2分，共12分）

1、设A为n阶方阵 ，A*为A的伴随矩阵,则AA*=（ ）。 （A） A 2n ；（B） A 2n -1 ；（C） A n ；（D） A 2。

2、若A-1+ E, E+A, A均为可逆矩阵，E为单位矩阵，则(A-1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A-1+ E (D) A(A+E)-1 3、设1,2,3线性无关，则与向量组1,2,3等价的向量组为（ ）。 (A) 12, 23 ； (B)12, 12, 3 1,42；

(C) 12, 12, 13,13 ；(D) 12, 23, 31 。 4、1,2,3 是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解，且r(A)=3, 已知

1(1, 2, 3, 4) , 23(0, 1, 2, 3) ，C为任意常数，则AX=B通解X=( )。

1121 (A) C； (B)

31411021C32； (C) 431223C34； (D) 451324C35 。 465、n阶方阵A与某个对角矩阵相似的充分必要条件是（ ）

（A）方阵A的秩等于n；（B）方阵A有n个不同的特征值； （C）方阵A一定是对称矩阵；（D）方阵A有n个线性无关的特征向量。

6、二次型f(x)x221,x2,x314x1x25x2 的矩阵为( ) 。

(A)121102125 ；(B)445 ；(C)000 ；(D)22050三、计算行列式（12分）

1 2 -1 35、1、D=3 0 1 21 - 1 2 1

1 0 3 -2

a 0 0  0 10 a 0  0 02、Dn..................... 0 0 0  a 0 1 0 0 0 a

205000 。



1001*四、设矩阵A的伴随矩阵A1003为4阶单位矩阵，求矩阵B 。（12分）

001000 且ABA1BA13E ，其中E08五、求向量组1(1, 1, 3, 1) , 2(1, 3,- 1, -5) ，

并将其 3(2, 6, -2, -10) , 4(3, 1,1 5, 12) , 5(1, 3, 3, 1)的一个极大无关组，余向量用该极大无关组线性表示。（10分）

x13x2x30六、设非齐次线性方程组x14x2ax3b ，问a,b为何值时，方程组有唯一

2xx3x5231解、无解和有无穷多个解；在有无穷多个解时，用其导出组的基础解系来表示该

方程组的全部解。（14分）

102 求正交矩阵T，使得T -1AT为对角矩阵Λ。020七、设A（14分） 202

八、设A是n阶方阵，是n维列向量，若An-1≠0，而A n=0，试证明，A，…，An-1 线性无关。（8分）