对数和对数函数练习题(答案)

对数与对数函数同步测试 一、选择题： 1．

log8923的值是（ ） A． B．1 C． D．2 log233 22．若log2[log1(log2x)]log3[log1(log3y)]log5[log1(log5z)]=0，则x、y、z的大小关系是（ ）

235 A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x 3．已知x=2+1,则log4(x3－x－6)等于（ ）A. B. C.0 D.

4．已知lg2=a，lg3=b，则D．

a2b 1aby32541 2lg122aba2b等于（ ）A． B． Clg151ab1ab．

2ab1ab5．已知2 lg(x－2y)=lgx＋lgy，则x的值为 ( ）A．1 B．4 C．1或4 D．4 或 6.函数y=log1(2x1)的定义域为（ ）A．(，＋∞) B．［1，＋∞) C．(

2121，1]2 D．(－∞，1) 27．已知函数y=log1 (ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是（ ） A．a ＞ 1 B．0≤a＜ 1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1 8.已知f(ex)=x，则f(5)等于（ ）A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e 9．若f(x)logax(a0且a1),且f1(2)1,则f(x)的图像是（ ） y O x O y x O y x O y x A B C D 10．若ylog2(x2axa)在区间(,13)上是增函数，则a的取值范围是（ ） 1

A．[223,2] B．C．223,2D．223,2 223,2  11．设集合A{x|x210},B{x|log2x0|},则AB等于（ ） A．{x|x1} B．{x|x0} C．{x|x1} D．{x|x1或x1} 12．函数ylnx1,x(1,)的反函数为 （） x1ex1ex1ex1ex1yx,x(0,)B．yx,x(0,)C．yx,x(,0)D．yx,x(,0) e1e1e1e1A

二、填空题： 13．计算：log2.56.25＋lg

1＋lne＋21log23= ． 10014．函数y=log4(x－1)2(x＜1＝的反函数为 ． 15．已知m＞1，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小 ． 16．函数y =(log1x)2－log1x2＋5 在 2≤x≤4时的值域为 ． 44三、解答题： 17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．

18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.

19．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数

2

a的值，并求此时f(x)的最小值?

20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小。

21．已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，（1）求函数的定义域和值域；（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；（3）证明函数图象关于y=x对称。

22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．

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参考答案

一、选择题： ADBCB CDCBA AB 二、填空题：13.三、解答题：

17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2，又a是对数的底数，∴a＞0且a≠1，∴x＜

由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a＜2，又2－ax在x∈[0，1]是减函数 ∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1，∴1＜a＜2 18、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．当a2－1≠0时，其充要条件是：

25a10解得a＜－1或a＞又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题223，(a1)4(a1)02513，14.y=1－2x(x∈R)， 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.y8 242a2a意．

所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞)

19、解析：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，∴=10，

ab53a=10b．

又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对

x∈R恒成立，

由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0，即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．

4

即b=10，∴a=100．∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3，当x=－2时，f(x) min=－3． 20.解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|

lg(1x)lg(1x)1 |－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|) lga|lga|lga∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x ∴上式=－

11[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2) |lga||lga|1·lg(1－x2)＞0， |lga|由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法二：作商法

|loga(1x)|=|log(1－x)(1＋x)|

|loga(1x)|∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)1

1x由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1 ∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴∴0＜log(1－x)

1＞1－x＞0 1x1＜log(1－x)(1－x)=1 1x∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法三：平方后比较大小

∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)] =loga(1－x2)·loga1x=

1x1|lg2a|·lg(1－x2)·lg

1x 1x∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜

1x1x＜1∴lg(1－x2)＜0，lg＜0 1x1x∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 解法四：分类讨论去掉绝对值

当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)

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∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1 ∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0

当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0 ∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0 ∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)| 21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1) (2)设1＞x2＞x1∵a＞1，∴axax，于是a－ax＜a－ax

2121则loga(a－aax)＜loga(a－ax)

21即f(x2)＜f(x1)

∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数

(3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay) ∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1)

故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称．

22.解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积 S=

[log2alog2(a1)][log2(a1)log2(a2)][log2alog2(a2)]

221a(a2)(a1)21(a1)2log2 log222[a(a2)]2a(a2)1a22a111log22log2(12) 2a2a2a2a因为a1,所以Smaxlog2(1)log2

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