上海市宜川中学2021-2022学年高二数学文上学期期末试题含解析

试题含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 已知向量a=(-3,2),b=(2,m)且a⊥b,则

m= （ ）

． 3 . 3 . .

参考答案：

A

2. 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使在C塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC=45°，则塔高AB的高度为（ ）

A．10 B．10

C．10

D．10

参考答案：

D

【考点】解三角形的实际应用． 【专题】计算题；解三角形．

【分析】先在△ABC中求出BC，再△BCD中利用正弦定理，即可求得结论．

1 / 12

【解答】解：设塔高AB为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=

x，AC=

x

在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30° 由正弦定理可得，∴BC=∴∴x=

x=10

=10

=

故塔高AB=

【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，属于中档题．

3. 下列程序执行后输出的结果是（ ）

A． –

1 B． 0 C． 1 D． 2 参考答案： B

4. 在等差数列{an}中，公差为d（d），已知S6＝4S3，则2 / 12

是 ( )

A. B.3 C.

.D.2 参考答案： C

5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由计算出

． 0．050 0．010 0．001 3．841 6．635 10．828

并参照附表，得到的正确结论是（ ）

A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”参考答案：

A

6. 已知=(1,2,3), =（3，0，-1），=给出下列等式：

①∣∣=∣∣ ② = ③= ④ =

其

中

正确

的

个

3 / 12

数

是 （ ）

A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

参考答案：

D

12.定义在上的函数对任意满足

已知该函数在区间上的图像如图所示,则

=

A．3 B．2 C．1 D．0 参考答案： A 略

8. 已知正方体在 平面

内，动点

棱长为1，点到直线

在上，且到点

，点

的距离与的距离的平方差等于1，

则动点的轨迹是 （ ）

4 / 12

（A）圆 （B）抛物线 （C）双曲线 （D）直线

参考答案： B 略

9. 如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是在D点测得塔顶A的仰角是度为

，并测得水平面上的∠BCD=

，

，CD=40m，则电视塔的高

A．

m B．20m C．

m D．40m

参考答案：

D

10. 设函数，若是奇函数，则的值是（ ）

A. B. C.

D. 4

参考答案：

A

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二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如果参考答案：

12. 设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为________． 参考答案： a>c>b 略

，且

，则

的最大值为

13. 已知命题参考答案：

；

_________________.

14. 某班收集了50位同学的身高数据，每一个学生的性别与其身高是否高于或低于中位数的列联表如下： 高于中位数 低于中位数 总计 男 20 7 27 女 10 13 23 总计 30 20 50 为了检验性别是否与身高有关系，根据表中的数据，得到k2的观测值k=≈4.84，

因为K2≥3.841，所以在犯错误的概率不超过 _________ 的前提下认为性别与身高有关系．

参考答案： 略

15. 函数的图像在处的切线方程为_______.

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参考答案：

【分析】

对函数求导，把切线方程。

分别代入原函数与导数中分别求出切点坐标与切线斜率，进而求得

【详解】，函数的图像在处的切线方程

为，即.

【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题。

16. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线： (t为参数)与曲线 ：

(为参数，) 有一个公共点在X轴上，则.

参考答案：

略

17. 如果椭圆是

=1的一条弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程

参考答案：

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

18. 已知圆C的方程为x2＋y2＝4.

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（1）直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2（2）圆C上一动点M(x0，y0)，迹方程．

＝(0，y0)，若向量

＝

，求直线l的方程； ＋

，求动点Q的轨

参考答案：

(1)①若直线l垂直于x轴，则此直线为x＝1，l与圆的两个交点坐标分别为 (1，

)和(1，－

)，这两点间的距离为2

，符合题意．

②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y－2＝k(x－1) 即kx－y－k＋2＝0 设圆心到此直线的距离为d ∵2

＝2

∴d＝1

∴1＝解得k＝

故所求直线方程为3x－4y＋5＝0

综上所述所求直线方程是x＝1或3x－4y＋5＝0. (2)设Q点坐标为(x，y) ∵M点的坐标是(x0，y0)，

＝(x0，y0)，

＝(0，y0)，

＝

＋

∴(x，y)＝(x0,2y0)∴

∵x02＋y02＝4∴x2＋()2＝4.即＋＝1，

∴Q点的轨迹方程是＋＝1.

19. 已知函数y=f(x)=x-x+a(x∈[-1,1],a∈R)。 （1） 求函数f(x)的值域；

（2） 设函数y=f(x)的定义域为D，对任意x,x∈D,都有|f(x)-f(x)|<1成立，则称函数y=f(x)为“标准函数”，否则称为“非标准函数”，试判断函数

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y=f(x)=x-x+a(x∈[-1,1],a∈R)是否为“标准函数”，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。 参考答案：

(1)函数f(x)的值域为 (2)f(x)是标准函数 略

，

20. 已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD

上的动点，且

（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

参考答案：

证

∵CD⊥BC且AB∩BC=B，

∴CD⊥平面ABC.

又∵AE/AC=AF/AD=λ（0<λ<1）

明

：

（

Ⅰ

）

∵AB⊥

平

面

BCD

，

∴AB⊥CD

，

9 / 12

∴不论λ为何值，恒有EF‖CD，

∴EF⊥平面ABC，EF 平面BEF,

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC

（Ⅱ） 存在λ=

，使得平面BEF⊥平面ACD．

∵CD⊥平面ABC，BE?平面ABC，∴BE⊥CD

在直角△ABD中，∠ADB=60°，∴AB=BDtan60°=

，∴AC=

当BE⊥AC时，BE＝＝AC∩CD=C∴BE⊥平面ACD

,即λ=时，BE⊥AC∵BE⊥CD，

∵BE?平面BEF∴平面BEF⊥平面ACD∴存在λ= 略

21. 已知圆C：x2+y2﹣4x+3=0，

（1）求过M（3，2）点的圆的切线方程； （2）直线l过点

，使得平面BEF⊥平面ACD

且被圆C截得的弦长最短时，求直线l的方程；

（3）过点（1，0）的直线m与圆C交于不同的两点A、B，线段AB的中点P的轨迹为C1，直线

与曲线C1只有一个交点，求k的值．

参考答案：

【考点】直线与圆的位置关系．

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【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点A在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程； （2）当直线l⊥CN时，弦长最短，可求直线l的方程； （3）求出轨迹C1，直利用线

2

2

与曲线C1只有一个交点，求k的值．

2

2

【解答】解：（1）圆C：x+y﹣4x+3=0，即 （x﹣2）+y=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆．

当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．

当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y﹣2=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，

所以，圆心到切线的距离等于半径，即1=0．

=1，解得k=，此时，切线为3x﹣4y﹣

综上可得，圆的切线方程为x=3或3x﹣4y﹣1=0…

（2）当直线l⊥CN时，弦长最短，此时直线的方程为x﹣y﹣1=0…

（3）设点P（x，y），∵点P为线段AB的中点，曲线C是圆心为C（2，0），半径r=1的圆，∴CP⊥AP，

，∴化简得

…

（x≠1）…

由于点P在圆内，去除点（1，0），所以C1：

因为直线k=0， 所以

…

与曲线C1只有一个交点，所以圆心到直线的距离d==或

22. 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

参考答案：

解：若方程x2＋mx＋1＝0有两不等的负根，

则解得m＞2，即p：m＞2 ............3分

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若方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)－16＝16(m－4m＋3)＜0， 解

得

1

＜

222

m＜3，即q：1＜m＜

3. ...........6分

因p或q为真，所以p，q至少有一为真，

又p且q为假，所以p、q至少有一为假，因此，p、q两命题应一真一假， 即

p为真，q为假或p为假，q为

真． ∴或 解得m≥3或1＜m≤2. ...............12略

分 12 / 12

...........8分

...........10分