抽象代数自选题

2、设NG，且G:N2,证明N（2）MN是G的正规子群； （3）若MNe,那么MNN与M同构，且mn=nm,mM,nN.

4、设p是一个素数，G是p的方幂阶的群，试证G的非正规子群的个数一定的p的倍数。 5、证明148阶群G不是单群。

6、设p是素数，则p2阶群G是Abel群。

27、设G是pq阶群，p，q为不同素数。证明：G不是单群。

9、设G1，G2分别为n1，n2阶循环群，证明：G1:G2n2n1.

10、若群中元素a的阶为m，元素b的阶为n，则当abba且m,n1时，有

abmn，即abab.

11、设群中元素a的阶为n，证明asats,nt,n.

12、设H，G是群的两个正规子群，且二者的交为e，证明：H与G中的元素相乘时可换.

13、设H是包含在群G的中心内的一个子群，证明：当GH是循环群时，G是交换群. 14、证明：n3时n2个3轮换123,124L12n是An的一组生成元。 15、证明：同构意义下，6阶群只有¢6与S3. 16、设p为素数，证明：p2阶群G为Abel群.

17、若G是由a , b生成的群，且abab=e ，a3,b4，证明：G为Abel群。 18、设f：G→H是群同态，若g是G的一个有限阶元。试证: f(g)的阶整除g的阶。 19、证明：任意一个群G，都不能被它的两个真子群覆盖。

20、设M◁G , N◁G。若M∩N={e},证明：aM,bN,有abba.

21、设G是一个群，而u是G中任意一个固定的元素。证明：G对新运算abaub也作成一个群。

22、证明：1）在一个有限群里，阶数大于2的元素的个数一定是偶数。

2）偶数阶群中阶等于2 的元素的个数一定是奇数。 23、 证明：交换群中所有有限阶元素作成一个子群。对非交换群如何

24、 设H,K分别是群G的两个m与n阶子群，证明：若(m,n)1,，则HK{e}.

2325、设H是群G的一个子群，aG，证明：aHa1G,且HaHa1。

26、证明：若群G的n阶子群有且只有一个，则此子群必为G的正规子群。 27、Sn12,13,,1n或Sn12,23,,n1n 28、Anrsk1r,s,kn,r,s,k互不相同

29、令G是实数对（a,b），a0的集合，在G上定义（a,b）（c,d）=(ac,ad+b)，试证G是群。

1k30、设G是一个群，a,bG，证明：(bab)=babaa.

1k31、证明：任何群都不能是两个真子群的并。 32、试证A4没有6阶子群。 33、设群G作用在集合

上，令t表示

在G上的作用下的轨道个数，对任意gG，

f(g)表示在g作用下的不动点个数。试证：f(g)tG。

gG34、设m,n是大于1的奇数，(ZmZn,)是循环群。 35、一个有限群的每个元素的阶都有限.

36、假如a和b是一个群G的两个元，并且ab=ba，又假定am，bn，且m,n1.证明：a,bmn.

37、设f是群G到群G的同态，a,bG证明：fafbakerfbkerf. 38、设G是群，G是交换群.f是G到G的同态，且kerfNG.证明:NG. 39、设H是群G的子集.证明：若关于H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则HG.

40、设P是有限群G的一个sylowp子群，又HG，证明：若p不能整除G:H，则PH.

41、设G是群.GjG,j1,2 .GG1G2且NG.证明：G42、证明6阶群必存在一个3阶子群。 43、举例说明若，不一定有。 44、，证明。 45、，证明。

46、证明有限群G有唯一Sylow p-子群L的充要条件是。 47、设，，若存在，使得，则

48、设，，且，是单位元，则对任何，，有。 49、证明交换群的商群是交换群。

50、设是循环群，是与的满同态，证明也是循环群。 51、证明交换群中所有有限阶的元素构成的一个子群 52、当时，试证n-2个3轮换，，…,是的生成元。 53、设作用在集合上，对任意，若存在使得，则 54、设，其中均为素数，，。证明：是循环群。 55、设,是群，证明：

56、设m、n是大于1的奇数，(ZmZn,)是循环群，证明（m，n）=1 57、证明：有理数加群Q与非零有理数乘群Q不同构.

NG1NG2.

58、设G作用在集合

上，对任意a，b

，若存在g

使gab，

Gag1Gbg。换句话说，同一轨道中元素的固定子群彼此共轭。

59、设p是一个素数，G是p的方幂阶的群。试证G的非正规子群的个数一定是p的倍数。 60、试证200阶群G一定含有一个正规的西罗子群。 61、证明；p阶群必是交换群，其中P是一个素数 62、凡200阶群都不是单群 63、指数为2的子群必是正规子群

64、设G是n阶群（P是素数），证明：若n65、设H,K是群G（未必有限）的两个p-子群。且K⊴G，证明；HK也是G的一个p-子群 66、若群G的n阶子群有且只有一个, 则此子群必为G的正规子群.

67、设G为群, 又Hm268、若a,n都是正整数且a与n互素，则a69、设G是群，Hn1modn。

G,KG,且a,bG，使aHbH，证明：KH

70、设G是群,H是G的正规子群,[G:H]n,证明:对于任意的aG都有anH. 71、设G和G'分别是阶为m和n的有限循环群,证明:存在G到G'的满同态的充要条件是

n|m.

16、试求出4次交代群A4的所有sylow子群.