09 专题 两次相似问题(一)证明

1．如图，BE、CD是△ABC的高，连接DE． （1）求证：AE·AC=AB·AD；

（2）若∠BAC=120°，点M为BC的中点，求证：DE=DM． 解：（1）∵△BEA∽△CDA，∴AC·AE=AB·AD;

（2）∵

AEADDEAD1，∴△EAD∽△BAC．，∴DE=DM．

ABACBCAC2EAB2．如图，在△PBC中，∠PCB=90°，DA⊥PB于A点，连接AC、BD相交于E点．

求证：（1）△PAD∽△PCB；（2）∠PCA=∠PBD；（3）△ADE∽△BCE． 证明：（1）略；

（2）由（1）知

DMC

PAPD．又∵∠P=∠P，∴△PCA∽△PBD，∴∠PCA=∠PBD． PCPBDECE△ADE∽△BCE． AEBE（3）△CDE∽△BEACDP3．如图，在ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足为M、N． （1）求证：△AMB∽△AND；（2）求证：证：（1）略；

（2）证

EAB

AMMN． ABACAMABABAMMN，∴∠B=∠MAN，∴△AMN∽△ABC，∴． ANADBCABACANB解：连接AC、CF，证明△ABC∽△FEC，∴

DMC

4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG，延长BE交AF于H点，求∠AHB的大小．

BCACBCCE，∴． CECFACCF又∵∠BCE=∠ACF，∴△ACF∽△BCE，∴∠CAF=∠EBC，∴∠AHB=∠ACB=45°．

AEBDHFGC

5．如图，△ACB为等腰直角三角形，点D为斜边AB上一点，连接CD，DE⊥CD，DE=CD，连接AE． 求证：AE∥BC． 解：作CO⊥AB，垂足为O，证△ACO∽△ECD，∴

ACCECOCD． ∵∠ACE=∠OCD，∴△ACE∽△OCD，∴AE∥BC．

AEDCB