【解析版】山东省东营市实验中学中考数学二模试卷

山东省东营市实验中学中考数学二模试卷

一、选择题（每题3分，共30分） 1．﹣的相反数是（ ） A． B． ﹣ C． ﹣2 D． 2

2．下列计算中，正确的是（ ）

A． 2a+3b=5ab B． （3a）=6a C． a+a=a D． ﹣3a+2a=﹣a

3．右图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）

3

2

6

6

2

3

A． 4．在式子 A．

B． C． D．

， B．

， C．

，中，x可以取2和3的是（ ） D．

5．如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A． 20° B． 35° C． 55° D． 70°

6．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ） A． （﹣2，1） B． （﹣8，4）

C． （﹣8，4）或（8，﹣4） D． （﹣2，1）或（2，﹣1）

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7．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

8．已知反比例函数y=

，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）

A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜2 C． 5＜y＜10 D． y＞10

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），则m的值可能是（ ）

A． 1 B． 2 C． 4 D． 8

10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①④

二、填空题（11-14题各3分，15-18题各4分，共28分）

11．在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，这个数据194亿立方米可以用科学记数法表示为 立方米．

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12．把多项式6xy﹣9xy﹣y因式分解，最后结果为 ．

13．不等式组

14．已知关于x的方程（k﹣1）x﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则k= ．

15．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 ．

2

2

2

3

的解集是 ．

17．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是 ．

18．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为

n，这里“∑”是求和符号，通

过对以上材料的阅读，计算= ．

三、解答题（19题7分、20、21、22题各8分、23题9分、24题10分、25题12分） 19．（1）计算：﹣2﹣

4

+|1﹣4sin60°|+（π﹣1）；

）÷

﹣

，其中x满足x﹣x﹣1=0．

2

0

（2）先化简，再求值：（1﹣

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20．5月，我市某中学举行了“中国梦•校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．

根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）参加演讲比赛的学生共有 人，并把条形图补充完整；

（2）扇形统计图中，m= ，n= ；C等级对应扇形的圆心角为 度；

（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获A等级的小明参加市比赛的概率．

21．如图，在海岸边相距12km的两个观测站A、B，同时观测到一货船C的方位角分别为北偏东54°和北偏西45°，该货船向正北航行，与此同时A观测站处派出一快艇以

70km/h的速度沿北偏东30°方向追赶货船送上一批货物，正好在D处追上货船，求快艇追赶的时间．（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4）

22．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE． （1）求证：AG与⊙O相切．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

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23．某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．相关信息如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 冰箱 a 2500 彩电 a﹣400 2000 （1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值．

（2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的．

①该商场有哪几种进货方式？

②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值．

24．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．

（1）线段BE与AF的位置关系是 ，

= ．

（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角a的度数．

25．已知抛物线与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点E为直线AC上的一动点，DE∥y轴交抛物线于点D．

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（1）求抛物线y=ax+bx+c的表达式；

（2）当点E的坐标为（﹣2，﹣1），连接AD，点P在x轴上，使△APC与△ADC相似，请求出点P的坐标；

（3）当点E在直线AC上运动时，是否存在以D、E、O、C为顶点，OC为一边的平行四边形？若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2

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山东省东营市实验中学中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分） 1．﹣的相反数是（ ） A． B． ﹣ C． ﹣2 D． 2

考点： 相反数．

分析： 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 解答： 解：﹣的相反数是，

故选：A．

点评： 本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．

2．（3分）（•历城区二模）下列计算中，正确的是（ ）

A． 2a+3b=5ab B． （3a）=6a C． a+a=a D． ﹣3a+2a=﹣a

考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项．

分析： 合并同类项法则，积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可． 解答： 解：A、2a和3b不能合并，故本选项错误；

B、结果是9a，故本选项错误；

62

C、a和a不能合并，故本选项错误； D、结果是﹣a，故本选项正确； 故选D．

点评： 本题考查了同类项，合并同类项，积的乘方的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，难度不是很大．

3．右图是由4个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图为（ ）

6

3

2

6

6

2

3

A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．

分析： 找到从上面看所得到的图形即可．

解答： 解：从上面看可得到从上往下两行正方形的个数依次为2，1，并且在左上方．

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故选C．

点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4．在式子 A．

， B．

， C．

，

中，x可以取2和3的是（ ） D．

考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的性质和分式的意义：被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求得x的范围，进行判断． 解答： 解：A、B、

的分母不可以为0，即x﹣2≠0，解得：x≠2，故A错误；

的分母不可以为0，即x﹣3≠0，解得：x≠3，故B错误；

C、被开方数大于等于0，即x﹣2≥0，解得：x≥2，则x可以取2和3，故C正确； D、被开方数大于等于0，即x﹣3≥0，解得：x≥3，x不能取2，故D错误． 故选：C．

点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

5．如图，点O是∠BAC的边AC上的一点，⊙O与边AB相切于点D，与线段AO相交于点E，若点P是⊙O上一点，且∠EPD=35°，则∠BAC的度数为（ ）

A． 20° B． 35° C． 55° D． 70°

考点： 切线的性质；圆周角定理．

分析： 首先连接OD，由⊙O与边AB相切于点D，易得OD⊥AD，又由∠EPD=35°，根据圆周角定理，可求得∠EOD的度数，继而求得答案． 解答： 解：连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D， ∴OD⊥AD， ∴∠ADO=90°， ∵∠EPD=35°，

∴∠EOD=2∠EPD=70°，

∴∠BAC=90°﹣∠EOD=20°． 故选A．

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点评： 此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

6．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）

A． （﹣2，1） B． （﹣8，4） C． （﹣8，4）或（8，﹣4） D． （﹣2，1）或（2，﹣1）

考点： 位似变换；坐标与图形性质．

分析： 根据题意画出相应的图形，找出点E的对应点E′的坐标即可． 解答： 解：根据题意得：

则点E的对应点E′的坐标是（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选D．

点评： 此题考查了位似图形，以及坐标与图形性质，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．

7．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

考点： 含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质． 专题： 计算题．

分析： 过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．

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解答： 解：过P作PD⊥OB，交OB于点D， 在Rt△OPD中，cos60°=∴OD=6，

∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2， ∴MD=ND=MN=1， ∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5． 故选：C．

=，OP=12，

点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．

8．已知反比例函数y=

，当1＜x＜2时，y的取值范围是（ ）

A． 0＜y＜5 B． 1＜y＜2 C． 5＜y＜10 D． y＞10

考点： 反比例函数的性质． 专题：待定系数法．

分析： 将x=1和x=2分别代入反比例函数即可确定函数值的取值范围． 解答： 解：∵反比例函数y=

中当x=1时y=10，当x=2时，y=5，

∴当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10， 故选：C．

点评： 本题考查了反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

9．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），点A在第二象限．直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点N、M．将菱形ABCD沿x轴向右平移m个单位，当点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边），则m的值可能是（ ）

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A． 1 B． 2 C． 4 D． 8

考点： 一次函数综合题．

分析： 根据菱形的对角线互相垂直平分表示出点D的坐标，再根据直线解析式求出点D移动到MN上时的x的值，从而得到m的取值范围，再根据各选项数据选择即可． 解答： 解：∵菱形ABCD的顶点C（﹣1，0），点B（0，2）， ∴点D的坐标为（﹣2，2）， 当y=2时，﹣x+5=2，

解得x=6，

∴点D向右移动2+6=8时，点D在MN上，

∵点D落在△MON的内部时（不包括三角形的边）， ∴2＜m＜8，

∵1、2、4、8中只有4在此范围内， ∴m的值可能是4． 故选C．

点评： 本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，比较简单，求出m的取值范围是解题的关键．

10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①④

考点： 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 专题： 几何图形问题；压轴题．

分析： 求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠

BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出

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PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确． 解答： 解：∵AE=AB， ∴BE=2AE，

由翻折的性质得，PE=BE， ∴∠APE=30°，

∴∠AEP=90°﹣30°=60°，

∴∠BEF=（180°﹣∠AEP）=（180°﹣60°）=60°， ∴∠EFB=90°﹣60°=30°， ∴EF=2BE，故①正确； ∵BE=PE， ∴EF=2PE， ∵EF＞PF，

∴PF＜2PE，故②错误； 由翻折可知EF⊥PB， ∴∠EBQ=∠EFB=30°， ∴BE=2EQ，EF=2BE， ∴FQ=3EQ，故③错误；

由翻折的性质，∠EFB=∠EFP=30°， ∴∠BFP=30°+30°=60°，

∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°， ∴∠PBF=∠PFB=60°，

∴△PBF是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D．

点评： 本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

二、填空题（11-14题各3分，15-18题各4分，共28分）

11．在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米，这个数据194亿立方米可以用科学记数法表示为 1.94×10 立方米．

考点： 科学记数法—表示较大的数．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于194亿有11位，所以可以确定n=11﹣1=10．

n

10

12 / 26

解答： 解：194亿=19 400 000 000=1.94×10．

10

故答案为：1.94×10．

点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

12．把多项式6xy﹣9xy﹣y因式分解，最后结果为 ﹣y（3x﹣y） ．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 因式分解．

分析： 首先提取公因式﹣y，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．

解答： 解：6xy﹣9xy﹣y=﹣y（y﹣6xy+9x）=﹣y（3x﹣y）．

2

故答案为：﹣y（3x﹣y）．

点评： 此题主要考查了提取公因式法和公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解题关键．

13．不等式组

的解集是 ﹣1＜x≤2 ．

2

2

3

2

2

2

2

2

3

2

10

考点： 解一元一次不等式组． 专题： 计算题．

分析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解． 解答： 解：

，

解不等式①得，x＞﹣1， 解不等式②得，x≤2，

所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2． 故答案为：﹣1＜x≤2．

点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

14．已知关于x的方程（k﹣1）x﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，则k= 5 ．

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

分析： 根据一元二次方程的定义及根的判别式可得到关于k的方程，可求得k的值． 解答： 解：∵（k﹣1）x﹣（k﹣1）x=0，有两个相等的实数根，

2

∴k﹣1≠0且△=0，即k≠1且（k﹣1）﹣4（k﹣1）=0， 解得k=5， 故答案为：5．

点评： 本题主要考查一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①△＜0⇔一元二次方程无实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△＞0⇔一元二次方程有两个相等的实数根．

15．一个底面直径是80cm，母线长为90cm的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 160° ．

2

2

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考点： 圆锥的计算． 专题： 计算题．

分析： 根据圆锥的底面直径求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，再利用告诉的母线长求得圆锥的侧面展开扇形的面积，再利用扇形的另一种面积的计算方法求得圆锥的侧面展开图的圆心角即可．

解答： 解：∵圆锥的底面直径是80cm，

∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：πd=80π， ∵母线长90cm，

∴圆锥的侧面展开扇形的面积为：lr=×80π×90=3600π， ∴

=3600π，

解得：n=160． 故答案为：160°．

点评： 本题考查了圆锥的有关计算，解决此类题目的关键是明确圆锥的侧面展开扇形与圆锥的关系．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是 （﹣4，3） ．

考点： 坐标与图形变化-旋转．

分析： 过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，根据旋转的性质可得OA=OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′，然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等，根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB，A′B′=OB，然后写出点A′的坐标即可．

解答： 解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′， ∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′， ∴OA=OA′，∠AOA′=90°，

∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠A′OB′， 在△AOB和△OA′B′中，

，

∴△AOB≌△OA′B′（AAS）， ∴OB′=AB=4，A′B′=OB=3， ∴点A′的坐标为（﹣4，3）． 故答案为：（﹣4，3）．

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点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

17．一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是 5：4 ．

考点： 正多边形和圆；勾股定理；扇形面积的计算．

分析： 先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可．

解答： 解：如图1，连接OD， ∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1， ∵∠AOB=45°， ∴OB=AB=1， 由勾股定理得：OD=

=

，

∴扇形的面积是=π；

如图2，连接MB、MC，

∵四边形ABCD是⊙M的内接四边形，四边形ABCD是正方形， ∴∠BMC=90°，MB=MC， ∴∠MCB=∠MBC=45°， ∵BC=1， ∴MC=MB=

，

）=π，

2

∴⊙M的面积是π×（

∴扇形和圆形纸板的面积比是π÷（π）=． 故答案为：5：4．

15 / 26

点评： 本题考查了正方形性质，圆内接四边形性质，扇形的面积公式的应用，解此题的关键是求出扇形和圆的面积，题目比较好，难度适中．

18．读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为

n，这里“∑”是求和符号，通

过对以上材料的阅读，计算

考点： 分式的加减法． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 根据解答： 解：

=﹣=﹣

= ．

，结合题意运算即可． ，

则=1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣

=1﹣=． ．

=﹣

，难度一

故答案为：

点评： 此题考查了分式的加减运算，解答本题的关键是运用

般．

三、解答题（19题7分、20、21、22题各8分、23题9分、24题10分、25题12分） 19．（1）计算：﹣2﹣

4

+|1﹣4sin60°|+（π﹣1）；

）÷

﹣

，其中x满足x﹣x﹣1=0．

2

0

（2）先化简，再求值：（1﹣

考点： 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题．

16 / 26

分析： （1）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）原式=﹣16﹣2（2）原式=

2

+2﹣

﹣1+1=﹣16； =x﹣

=

，

•

2

由x﹣x﹣1=0，得到x﹣x=1， 则原式=1．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．5月，我市某中学举行了“中国梦•校园好少年”演讲比赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图．

根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）参加演讲比赛的学生共有 40 人，并把条形图补充完整；

（2）扇形统计图中，m= 10 ，n= 40 ；C等级对应扇形的圆心角为 144 度；

（3）学校欲从获A等级的学生中随机选取2人，参加市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图法，求获A等级的小明参加市比赛的概率．

考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法． 专题： 图表型．

分析： （1）根据D等级的有12人，占总数的30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它等级的人数求得B等级的人数，从而作出直方图；

（2）根据百分比的定义求得m、n的值，利用360°乘以C等级所占的百分比即可求得对应的圆心角；

（3）利用列举法即可求解．

解答： 解：（1）参加演讲比赛的学生共有：12÷30%=40（人）， 则B等级的人数是：40﹣4﹣16﹣12=8（人）．

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（2）A所占的比例是：C所占的百分比：

×100%=10%，

×100%=40%．

C等级对应扇形的圆心角是：360×40%=144°；

（3）设A等级的小明用a表示，其他的几个学生用b、c、d表示．

共有12种情况，其中小明参加的情况有6种，则P（小明参加比赛）=

=．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．如图，在海岸边相距12km的两个观测站A、B，同时观测到一货船C的方位角分别为北偏东54°和北偏西45°，该货船向正北航行，与此同时A观测站处派出一快艇以

70km/h的速度沿北偏东30°方向追赶货船送上一批货物，正好在D处追上货船，求快艇追赶的时间．（参考数据：sin54°≈0.8，cos54°≈0.6，tan54°≈1.4）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．

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分析： 延长DC交AB于E，那么DE⊥AB，CE为直角△ACE和△CEB的公共直角边，可用CE表示出AE和EB，然后根据AB的长来求出CE的长，进而求得AE的长，那么就能在直角△ADE中，根据三角函数求出AD的长，即可求出时间． 解答： 解：延长DC交AB于E，那么DE⊥AB． ∵直角三角形ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=54°， ∴AE=CE•tan54°≈1.4CE．

∵在直角三角形CEB中，∠BEC=90°，∠CBE=45°， ∴BE=CE．

∴AB=AE+BE=1.4CE+CE=12， ∴CE=5，

∴AE=1.4×5=7．

∵直角三角形ADE中，∠AED=90°，∠ADE=30°， ∴AD=AE÷sin30°=2AE=14．

因此快艇追赶的时间应该是14÷70=0.2小时．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

22．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE． （1）求证：AG与⊙O相切．

（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

考点： 切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题；几何综合题．

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分析： （1）连接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，进一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；

（2）BC为直径得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的长，进一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的长即可． 解答： （1）证明：如图，

连接OA，

∵OA=OB，GA=GE

∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE ∵EF⊥BC， ∴∠BFE=90°，

∴∠ABO+∠BEF=90°， 又∵∠BEF=∠GEA， ∴∠GAE=∠BEF，

∴∠BAO+∠GAE=90°， 即AG与⊙O相切．

（2）解：∵BC为直径，

∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8， ∴BC=10，

∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC， ∴△BEF∽△BCA， ∴

=

=

∴EF=1.8，BF=2.4，

∴0F=0B﹣BF=5﹣2.4=2.6， ∴OE=

=

．

点评： 本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理的推论．

23．某商场计划购进冰箱、彩电进行销售．相关信息如下表： 进价（元/台） 售价（元/台） 冰箱 a 2500 彩电 a﹣400 2000 20 / 26

（1）若商场用80000元购进冰箱的数量与用64000元购进彩电的数量相等，求表中a的值．

（2）为了满足市场需要求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的．

①该商场有哪几种进货方式？

②若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的最大利润为w元，请用所学的函数知识求出w的值．

考点： 一次函数的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 专题： 应用题；压轴题；图表型．

分析： （1）分别表示冰箱和彩电的购进数量，根据相等关系列方程求解； （2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50﹣x）台． ①根据题意列表达式组求解；

②用含x的代数式表示利润W，根据x的取值范围和一次函数的性质求解． 解答： 解：（1）根据题意得

=

．

解得a=2000．经检验a=2000是原方程的根，且符合题意；

（2）设购买彩电x台，则购进冰箱（50﹣x）台． ①根据题意得

．

解得：25≤x≤，

故有三种进货方式：

1）购买彩电25台，则购进冰箱25台； 2）购买彩电26台，则购进冰箱24台； 3）购买彩电27台，则购进冰箱23台．

②一个冰箱的利润为：500元，一个彩电的利润为400元， 故w=400x+500（50﹣x）=﹣100x+25000， w为关于x的一次函数，且为减函数， 而25≤x≤

，x取整数，

故当x=25时，获得的利润最大，最大为22500元．

点评： 此题考查了一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是求出a的值，利用函数及不等式的知识进行解答．

24．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．

（1）线段BE与AF的位置关系是 互相垂直 ，

=

．

（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

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（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2

，求旋转角a的度数．

考点： 几何变换综合题．

分析：（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案； （2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；

（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2，进而得出BH=﹣1，DH=3﹣，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．

解答： 解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直； ∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°， ∴AC=2，

∵点E，F分别是线段BC，AC的中点， ∴

=

；

故答案为：互相垂直；；

（2）（1）中结论仍然成立．

证明：如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点， ∴EC=BC，FC=AC， ∴

=

=，

∵∠BCE=∠ACF=α， ∴△BEC∽△AFC， ∴

=

=

=

，

∴∠1=∠2，

延长BE交AC于点O，交AF于点M ∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2 ∴∠BCO=∠AMO=90° ∴BE⊥AF；

（3）如图3，∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30° ∴AB=4，∠B=60°

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过点D作DH⊥BC于H

∴DB=4﹣（6﹣2）=2﹣2， ∴BH=﹣1，DH=3﹣，

又∵CH=2﹣（﹣1）=3﹣， ∴CH=DH，

∴∠HCD=45°， ∴∠DCA=45°，

∴α=180°﹣45°=135°．

点评： 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，得出△BEC∽△AFC是解题关键．

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25．已知抛物线与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），点E为直线AC上的一动点，DE∥y轴交抛物线于点D．

（1）求抛物线y=ax+bx+c的表达式；

（2）当点E的坐标为（﹣2，﹣1），连接AD，点P在x轴上，使△APC与△ADC相似，请求出点P的坐标；

（3）当点E在直线AC上运动时，是否存在以D、E、O、C为顶点，OC为一边的平行四边形？若存在请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

2

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）由于抛物线与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），根据待定系数法即可得到抛物线y=ax+bx+c的表达式；

（2）由图可知△ADC与△CPA相似，P点只能在A点右侧，分两种情况：若△ADC∽△CPA；若△ADC∽△PCA；进行讨论即可得到点P的坐标；

（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，再分两种情况：DE在y轴的右边和DE在y轴的左边；进行讨论即可得到点E的坐标．

解答： 解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，交y轴于点C（0，﹣3），

2

∴，

解得．

∴抛物线y=ax+bx+c的表达式为y=x+2x﹣3； （2）∵E（﹣2，﹣1）且DE∥y轴， ∴点D与点E的横坐标相同为﹣2， 将x=﹣2代入抛物线解析式中得：y=﹣3 ∴D（﹣2，﹣3） 又∵C（0，﹣3） ∴DC∥x轴且DC=2 ∴∠BAC=∠ACD，

又∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），

22

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∴OA=OC=3， ∴AC=

由图可知△ADC与△CPA相似，P点只能在A点右侧， 若△ADC∽△CPA，则解得：AP=2， ∴P（﹣1，0） 若△ADC∽△PCA，则

解得：AP=9， ∴P（6，0）．

∴点P的坐标为（﹣1，0）或（6，0）； （3）答：存在满足条件的E点． 设直线AC的解析式为y=kx+b，则

， ，

解得．

故直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．

设点E的坐标为（m，﹣m﹣3），则点D的坐标为（m，m+2m﹣3）， 当DE在y轴的右边时，m+2m﹣3﹣（﹣m﹣3）=3，解得m1=合题意舍去）， 则﹣m﹣3=则E1（

，

22

2

，m2=（不

，

）；

（不合题意舍去），

当DE在y轴的左边时，m+2m﹣3﹣（﹣m﹣3）=3，解得m1=m2=则﹣m﹣3=则E2（

，

， ，

）；

综上所述，点E的坐标

．

点评： 考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的表达式，相似三角形的性质，勾股定理，两点间的距离公式，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．

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