2012年广东高考理科数学试题及答案

试卷类型：A

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）题目及答案

本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔盒涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：主体的体积公式V=Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高。 锥体的体积公式为

，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 . 设i为虚数单位，则复数

56i

= i

A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i 2 . 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则CuM= A .U B {1,3,5} C {3,5,6} D {2,4,6} 3 若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC= A （-2,-4） B (3,4) C (6,10 D (-6,-10) 4.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是 A.y=ln（x+2） B.y=-x1 C.y=（

1x1） D.y=x+ 2x5.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为

A.12 B.11 C.3 D.-1 6,某几何体的三视图如图1所示，它的体积为

A．12π B.45π C.57π D.81π

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是 A.

4121 B. C. D. 939 98.对任意两个非零的平面向量α和β，定义足|a|≥|b|＞0，a与b的夹角则A．

。若平面向量a，b满

中，

，且a·b和b·a都在集合

135 B.1 C. D. 22216. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题）

9.不等式|x+2|-|x|≤1的解集为_____。

10. 的展开式中x³的系数为______。（用数字作答）

211.已知递增的等差数列{an}满足a1=1，a3=a2-4，则an=____。

12.曲线y=x3-x+3在点（1，3）处的切线方程为 。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为 。

（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题）

14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参

数方程分别为点坐标为_______。

和，则曲线C1与C2的交

15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三

点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则

PA=_____________。

三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16.（本小题满分12分） 已知函数（1）求ω的值； （2）设的值。

17. （本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：

[40,50][50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 （1）求图中x的值；

（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。

，

，

，求cos（α＋β）

，（其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π。

18.（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）、证明：BD⊥平面PAC；

（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

19. （本小题满分14分）

设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn=an+1-2n+1，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列。

（1）、求a1的值；

（2）、求数列{an}的通项公式。

（3）、证明：对一切正整数n，有

20.（本小题满分14分）

.

2x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：221(ab0)的离心率e=，

3 ab且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分14分） 设a＜1，集合

（1）求集合D（用区间表示） （2）求函数

在D内的极值点。

2012年广东高考理科数学参考答案

一、选择题

题 号 答 案 二、填空题 ９.

1 2 3 4 5 6 7 8 D C A A B C D C 1,； 10. 20； 11. 2n-1； 12. y=2x+1； 13. 16； 2 

15.

14. (1,1)； 三、解答题 16．解：(1)=T3；

2,1 54831513 51751785(2)cos()

17.

（1）由300.006100.01100.05410x1得x0.018

（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人 随机变量的可能取值有0,1,2

C926P02

C121111C9C9 P123C1222C321 P22C1222∴ E018.

（1）∵ PA平面ABCD

∴ PABD ∵ PC平面BDE ∴ PCBD ∴ BD平面PAC

（2）设AC与BD交点为O，连OE

∵ PC平面BDE ∴ PCOE 又∵ BO平面PAC ∴ PCBO ∴ PC平面BOE

∴ PCBE

∴ BEO为二面角BPCA的平面角 ∵ BD平面PAC ∴ BDAC

∴ 四边形ABCD为正方形 ∴ BO2 在PAC中，

691112 1122222OEPAOE12 OEOCAC323BO3 OE∴ 二面角BPCA的平面角的正切值为3

∴ tanBEO19.

（1）在2Snan12n11中 令n1得：2S1a2221 令n2得：2S2a3231

解得：a22a13，a36a113 又2a25a1a3 解得a11

（2）由2Snan12n11

2Sn1an22n21得 an23an12n1

又a11,a25也满足a23a121 所以an13an2n对nN成立 ∴ an1+2n13an2n ∴ an2n3n ∴ an3n2n （3）

（法一）∵an3n2n323n13n223n322...2n13n1

∴

11n1 an31n11331111111∴...12...n11a1a2a3an3332 13（法二）∵an13n12n123n2n12an

∴

111 an12an111 a32a2111 a42a3当n2时，

111 a52a4………

111 an2an111累乘得： an2n2a21

n211111111∴...1...a1a2a3an525220. （1）由e173 5522得a23b2，椭圆方程为x23y23b2 322椭圆上的点到点Q的距离dx2y23b23y2y2

2y24y43b2byb

当①b1即b1,dmax63b23得b1

当②b1即b1,dmaxb24b43得b1（舍） ∴ b1

x2∴ 椭圆方程为y21

311OAOBsinAOBsinAOB 221当AOB90，SAOB取最大值，

2（2）SAOB点O到直线l距离d∴m2n22

m2n21 又∵331解得：m2,n2

221m2n22 262626262所以点M的坐标为 ,或,或,或,222222221AOB的面积为

221.

（1）记hx2x231ax6aa1 91a2 948aa31a31① 当0，即a1，D0,

31② 当0a，

333a9a230a933a9a230a9D0,, 4433a9a230a9, ③ 当a0，D4（2）由fx6x261ax6a0得x=1，a得

1① 当a1，fx在D内有一个极大值点a，有一个极小值点1

31② 当0a，∵h1231a6a=3a10

3ha2a231aa6a=3aa20

∴ 1D,aD

∴ fx在D内有一个极大值点a ③ 当a0，则aD

又∵h1231a6a=3a10 ∴ fx在D内有无极值点