1992考研数一真题及解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数yy(x)由方程e222xycos(xy)0确定,则

dy____________. dx(2) 函数uln(xyz)在点M(1,2,2)处的梯度graduM____________. (3) 设f(x)1, ____________.

(4) 微分方程yytanxcosx的通解为y____________.

a1bna1b1 a1b2 ab ab ab21222n(5) 设A,其中ai0,bi0,i1,2ab ab ab n2nnn1r(A)____________.

n.则矩阵A的秩

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)

x21x1e1的极限 ( ) (1) 当x1时,函数

x1(A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为 (D) 不存在但不为 (2) 级数

(1)n(1cos)(常数0) ( ) nn1 (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与有关 (3) 在曲线xt,yt,zt的所有切线中,与平面x2yz4平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在 (4) 设f(x)3xx|x|,则使f(0)存在的最高阶数n为 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

32n231 0(5) 要使10,2 1都是线性方程组Ax0的解,只要系数矩阵A为 ( ) 21(A) 2 1 1 (B)  2 0 1

 0 1 10111 0 2(C)  (D) 422

 0 1 1011

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 limx0exsinx111xx2.

2z(2) 设zf(esiny,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求.

xy22231x, x0,(3) 设f(x)x求f(x2)dx.

1e, x>0,

四、(本题满分6分.)

求微分方程y2y3ye

五、(本题满分8分)

计算曲面积分面z3x的通解.

(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy,其中为上半球

a2x2y2的上侧.

六、(本题满分7分)

设f(x)0,f(0)0,证明对任何x10,x20,有f(x1x2)f(x1)f(x2).

七、(本题满分8分)

在变力Fyzizxjxyk的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面

x2y2z21上第一卦限的点M(,,),问当,,取何值时,力F所做的功W最a2b2c2大?并求出W的最大值.

八、(本题满分7分)

设向量组1、2、3线性相关,向量组2、3、4线性无关,问：

(1) 1能否由2、3线性表出？证明你的结论. (2) 4能否由1、2、3线性表出？证明你的结论.

九、(本题满分7分)

设3阶矩阵A的特征值为11,22,33,对应的特征向量依次为

1111,2,3,又向量2, 11233149(1) 将用1,2,3线性表出. (2) 求A(n为自然数).

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.) (1) 已知P(A)P(B)P(C)n11,P(AB)0,P(AC)P(BC),则事件A、B、 4162XC全不发生的概率为___________.

(2) 设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E(Xe

十一、(本题满分6分)

设随机变量X与Y,X服从正态分布N(,),Y服从[,]上的均匀分布,试求ZXY的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数(x)表示,其中

2)___________.

1(x)2

xedt).

t221992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)

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3

exyysin(xy)(1)【答案】xy

exsin(xy)【解析】函数yy(x)是一个隐函数,即它是由一个方程确定,写不出具体的解析式. 方程两边对x求导,将y看做x的函数,得exy(1y)sin(xy)(xyy)0.解出y,即

dyexyysin(xy)yxy. dxexsin(xy)【相关知识点】1.复合函数求导法则：

如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x) 或 . dxdxdudx2.两函数乘积的求导公式：

f(x)g(x)(2)【答案】

f(x)g(x)f(x)g(x).

21,2,2 9【解析】对函数u求各个分量的偏导数,有

u2xu2yu2z2；；. xxy2z2yx2y2z2zx2y2z2由函数的梯度(向量)的定义,有

uuu1gradu,,22x,2y,2z, 22xyzxyz所以 graduM122,4,41,2,2.

1222(2)29【相关知识点】复合函数求导法则：

如果ug(x)在点x可导,而yf(x)在点ug(x)可导,则复合函数yfg(x)在点x可导,且其导数为

dydydyduf(u)g(x) 或 . dxdxdudx(3)【答案】

【解析】x是[,]区间的端点,由收敛性定理—狄利克雷充分条件知,该傅氏级数在

122x处收敛于

111[f(0)f(0)][112]2. 222【相关知识点】收敛性定理—狄利克雷充分条件：

函数f(x)在区间[l,l]上满足：(i) 连续,或只有有限个第一类间断点；(ⅱ) 只有有限个极值点.则f(x)在[l,l]上的傅里叶级数收敛,而且

a0nn(ancosxbnsinx) 2n1ll f(x), 若x(l,l)为f(x)的连续点,1f(x0)f(x0), 若x(l,l)为f(x)的第一类间断点, 21f(l0)f(l0), 若xl.2(4)【答案】yxcosxCcosx,C为任意常数

【解析】这是标准形式的一阶线性非齐次方程,由于etanxdx1,方程两边同乘

|cosx|1,得 cosx1cosx积分1y1yxC.

cosx故通解为yxcosxCcosx,C为任意常数. (5)【答案】1

【解析】因为矩阵A中任何两行都成比例(第i行与第j行的比为

ai),所以A中的二阶aj子式全为0,又因ai0,bi0,知道a1b10,A中有一阶子式非零.故r(A)1.

【相关知识点】矩阵秩的定义：如果矩阵中存在r阶子式不为零,而所有的r1阶子式全为零时,则此矩阵的秩为r.

二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D)

【解析】对于函数在给定点x0的极限是否存在需要判定左极限xx0和右极限xx0资料搜集QQ微信

5

是否存在且相等,若相等,则函数在点x0的极限是存在的.

11x21x1x21x11x11x1elim(x1)e, limelim(x1)e0, limx1x1x1x1x1x10,故当x1时函数没有极限,也不是.故应选(D).

(2)【答案】(C)

【解析】对原级数的通项取绝对值后,再利用等价无穷小1cos1n1(n), 2n2(1)(1cos)1cosnnn22n2(n),

又因为p级数：

1当p1时收敛；当p1时发散. pnn112所以有 收敛. 2n12n(1)n(1cos)收敛.所以原级数绝对收敛.应选(C).

nn1注：对于正项级数

an,确定无穷小an关于

n11的阶(即与p级数作比较)是判断它的敛散性n的一个常用方法.该题用的就是这个方法. (3)【答案】B

【解析】先求出切线的方向向量,再利用方向向量与平面的法向量的数量积为0得切点对应的t值.

求曲线上的点,使该点处的切向量与平面x2yz4的法向量n1,2,1垂直,即可以让切线与平面平行.

曲线在任意点处的切向量x(t),y(t),z(t)1,2t,3t2,nn0,即

114t3t30,解得 t1,t.(对应于曲线上的点均不在给定的平面上)

3因此,只有两条这种切线,应选(B). (4)【答案】(C)

3【解析】因3x处处任意阶可导,只需考查x|x|(x),它是分段函数,x0是连接点.

2所以,写成分段函数的形式,有

3x,x0, (x)3x, x0,对分段函数在对应区间上求微分,

23x,x0, (x)23x, x0,再考查(x)在连接点x0处的导数是否存在,需要根据左导数和右导数的定义进行讨论.

(0)(x3)23x,x0,即 (x)2

3x, x0.x0(0)(x3)0,x00(0)0,

同理可得 (x)6x,x0,6x,x0 (0)0,即 (x)6|x|.

6x, x06x,  x0,(0)1,y(0)1. 对于yx有y所以yx在x0不可导,(0)不存在,应选(C). (5)【答案】(A)

【解析】1,2向量对应的分量不成比例,所以1,2是Ax0两个线性无关的解,故

nr(A)2.由n3知r(A)1.

再看(A)选项秩为1；(B)和(C)选项秩为2；而(D)选项秩为3.故本题选(A). 【相关知识点】对齐次线性方程组Ax0,有定理如下:

对矩阵A按列分块,有A1,2,,n,则Ax0的向量形式为

xnn0.

x11x22那么, Ax0有非零解 1,2,,n线性相关

r1,2,

,nn rAn.

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1)【解析】由等价无穷小有x0时,11x211(x2)x2, 22原式=limx0ex1sinx11x2ex1sinxlim, x012x27

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上式为“

0”型的极限未定式,又分子分母在点0处导数都存在,所以连续应用两次洛必达法0excosxexsinx10洛必达lim原式洛必达lim1.

x0x0x11则,有

(2)【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数,重要的是要分清函数是如何

复合的.

由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,所以本题可以先求由复合函数求导法则得

zz(). ,再求yxxzf1(exsiny)f2(x2y2)f1exsinyf22x, xxx2z(f1exsinyf22x) xyyexcosyf122y)exsinyf1excosy(f21excosyf222y)2x (f11e2xsinycosy2f12ex(ysinyxcosy)4f22xyf1excosy. f11【相关知识点】多元复合函数求导法则：如果函数u(x,y),v(x,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数

zf((x,y),(x,y))在点(x,y)的两个偏导数存在,且有

zzuzvuvf1f2； xuxvxxxzzuzvuvf1f2. yuyvyyy(3)【解析】分段函数的积分应根据积分可加性分段分别求积分.另外,被积函数的中间变量

非积分变量,若先作变量代换,往往会简化计算.

令x2t,则dxdt.当x1时,t1；当x3时,t1,于是

311711f(x2)dxf(t)dt分段1t2dtetdttt3et0.

1103e311010

四、(本题满分6分.)

【解析】所给方程为常系数的二阶线性非齐次方程,所对应的齐次方程的特征方程

r22r3(r1)(r3)0有两个根为r11,r23,而非齐次项ex,3r2为单

特征根,因而非齐次方程有如下形式的特解Yxae解为yC1eC2ex3x3x,代入方程可得a1,故所求通4xe3x,其中C1,C2为常数. 4*【相关知识点】1.二阶线性非齐次方程解的结构：设y(x)是二阶线性非齐次方程

yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程 yP(x)yQ(x)y0的通解,则yY(x)y*(x)是非齐次方程的通解.

2. 二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解

Y(x),可用特征方程法求解：即yP(x)yQ(x)y0中的P(x)、Q(x)均是常数,方程

变为ypyqy0.其特征方程写为rprq0,在复数域内解出两个特征根r1,r2； 分三种情况：

(1) 两个不相等的实数根r1,r2,则通解为yC1erx12C2er2x;

rx(2) 两个相等的实数根r1r2,则通解为yC1C2xe1;

x(3) 一对共轭复根r1,2i,则通解为yeC1cosxC2sinx.其中C1,C2为常数.

3.对于求解二阶线性非齐次方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解y(x),可用待定系数法,有结论如下：

x*kx如果f(x)Pm(x)e,则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y(x)xQm(x)e

*的特解,其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式,而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.

x如果f(x)e[Pl(x)cosxPn(x)sinx],则二阶常系数非齐次线性微分方程

yp(x)yq(x)yf(x)的特解可设为

(1)(2)y*xkex[Rm(x)cosxRm(x)sinx],

(1)(2)其中Rm(x)与Rm(x)是m次多项式,mmaxl,n,而k按i(或i)不是特征

方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.

五、(本题满分8分) 【解析】将原式表成IPdydzQdzdxRdxdy,则

PQR3(x2y2z2). xyz资料搜集QQ微信

9

以考虑用高斯公式来求解,但曲面不是封闭的,要添加辅助面.如果本题采用投影法计算是比较复杂的,故不采用.

添加辅助面S:z0(xya),法向量朝下,S与围成区域,S与取的外法向量.在上用高斯公式得

222I(x3az2)dydz(y3ax2)dzdx(z3ay2)dxdy3(x2y2z2)dV.

S用球坐标变换求右端的三重积分得

3(xyz)dV3d2sind22d

000a16322sind4d321a5a5.

00552222a注意S垂直于平面yOz与平面xOz,将积分投影到xOy平面上,所以左端S上的曲面积分为

PdydzdxQdzdxRdxdy

S 00R(x,y,0)dxdyaydxdyaydxdy

SSDxya022adr2sin2rdr (极坐标变换)

02asind022a0a4rdraa5.

443因此 I655295aaa. 5420【相关知识点】1.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,函数

P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数,则有

PQRdvxyz或

PdydzQdzdxRdxdy,

PQRdvxyzPcosQcosRcosdS,

这里是的整个边界曲面的外侧,cos、cos、cos是在点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式. 2.对于球面坐标与直角坐标的关系为：

xrsincos,yrsinsin, zrcos,其中为向量与z轴正向的夹角,0；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到向量在xOy平面上投影线段的角,02；r为向量的模长,0r.

球面坐标系中的体积元素为dvrsindrdd,则三重积分的变量从直角坐标变换为球面坐标的公式是：

2f(x,y,z)dxdydzf(rsincos,rsinsin,rcos)r2sindrdd.



六、(本题满分7分)

【解析】证法一: 用拉格朗日中值定理来证明.

不妨设x2x10,要证的不等式是f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0). 在[0,x1]上用中值定理,有f(x1)f(0)f()x1,0x1；

在[x2,x1x2]上用中值定理,又有f(x1x2)f(x2)f()x1,x2x1x2 由f(x)0,所以f(x)单调减,而x1x2,有f()f(),所以

f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0)f(x1),

即f(x1x2)f(x1)f(x2).

证法二：用函数不等式来证明.要证f(x1x)f(x1)f(x),x0,构造辅助函数

(x)f(x1)f(x)f(x1x),

则(x)f(x)f(x1x).由f(x)0,f(x)单调减,f(x)f(x1x),(x)0. 由此,(x)(0)f(x1)f(0)f(x1)0(x0).改x为x2即得证.

【相关知识点】拉格朗日中值定理:如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间

a,b内可导,那么在a,b内至少有一点(ab),使等式

f(b)f(a)f()(ba)

成立.

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11

七、(本题满分8分)

【解析】(1)先求出在变力F的作用下质点由原点沿直线运动到点M(,,)时所作的功

W的表达式.点O到点M的线段记为L,则

WFdsyzdxzxdyxydz.

LL(2)计算曲线积分：L的参数方程是 xt,yt,zt,t从0到1,

W(t2t2t2)dt3t2dt.

0011化为最值问题并求解：问题变成求W在条件的最大值与最大值点.

22a2b22c21(0,0,0)下

222用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函数为F(,,,)2221,

bca则有

FFFF222a20,0,

b2c20,10.22a2b22c2解此方程组：对前三个方程,分别乘以,,得

2a22b22c2,(0时)

代入第四个方程得 111a,b,c. 333相应的 W133abc3abc.当0时相应的,,得 W0. 93111abc. a,b,)时W取最大值9333因为实际问题存在最大值,所以当(,,)(【相关知识点】拉格朗日乘子法：

要找函数zf(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数

L(x,y)f(x,y)(x,y),

其中为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来：

fx(x,y)x(x,y)0,fy(x,y)y(x,y)0, (x,y)0.由这方程组解出x,y及,这样得到的(x,y)就是函数f(x,y)在附加条件(x,y)0下的可能极值点.

八、(本题满分7分)

【解析】(1) 1能由2、3线性表出.

因为已知向量组2、3、4线性无关,所以2、3线性无关,又因为1、2、3线性相关,故1能由2、3线性表出. (2) 4不能由1、2、3线性表出,

反证法：若4能由1、2、3线性表出,设 4k11k22k33. 由(1)知, 1能由2、3线性表出,可设1l12l23,那么代入上式整理得

4(k1l1k2)2(k1l2k3)3.

即4能由2、3线性表出,从而2、3、4线性相关,这与已知矛盾. 因此,4不能由1、2、3线性表出.

【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数k1,k2,使k11k22关．

九、(本题满分7分)

【解析】(1)设x11x22x33,即是求此方程组的解.

对增广矩阵(1,2,3,)作初等行变换,

第一行乘以1分别加到第二行和第三行上,再第二行乘以3加到第三行上,第三行自

,km,

kmm0,则称1,2,,m线性相关；否则,称1,2,,m线性无

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13

乘

1,有 2111111111111123101200120, 149303820011第三行乘以2、1分别加到第二行和第一行上,再第二行乘以1加到第一行上,有

1002增广矩阵0102.

001 1解出x31,x22,x12,故21223.

(2) 由为A的特征值可知,存在非零向量使A,两端左乘A,得

A2A(A)A()A2,再一直这样操作下去,有Ann.

因为0,故0.按特征值定义知是A的特征值,且为相应的特征向量.

nn所以有Aiii,Aiii(i1,2,3),据(1)结论21223,有

nnAA(21223)2A12A2A3,

nnnnnnnn于是 AA(21223)2A12A2A321122233

n1n111223nnn2n1 2122233223.

n3n2149223【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征

向量.

十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)

【解析】由条件概率和乘法公式：从P(AB)0,可知P(ABC)P(AB)P(AB|C)0, 由加法公式：

P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)

11111500, 444161683BC)1P(ABC).

8故 P(ABC)P(A(2)【解析】依题意,随机变量X服从参数为1的指数分布,故X的概率密度为

ex,x0, f(x)0,x0,根据连续型随机变量函数的数学期望的求法,得出

E(Xe2X)(xe2x)f(x)dx(xe2x)exdx

0

十一、(本题满分6分)

0xedxe3xdx10x14. 33【解析】方法一：利用分布函数求密度函数：

首先,因XN(,2),所以X的密度函数为fX(x)1e2(x)22,

因Y服从[,]上的均匀分布,故Y的密度函数为fY(y)11.

()2因为随机变量X与Y相互,所以二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为

f(x,y)fX(x)fY(y).要求Z的密度函数,先求Z的分布函数

FZ(z)P(Zz)P(XYz)xyzf(x,y)dxdy

xyzfX(x)fY(y)dxdy

(x)211e22xyzzy2dxdy.

(x)2dy11e222dx12dyzy1e2(x)22dx

12zydy(由标准正态分布来表示一般正态分布) 求出Z的分布函数,因此,对分布函数求导得密度函数,Z的密度函数为

fZ(z)FZ(z)121zydy 其中(x)是标准正态分布的概率分布密度.由于(x)是偶函数,故有

资料搜集QQ微信

zyyz

15

于是 fZ(z)121yz1dy2zz. 最终用标准正态分布函数(x)表示出来ZXY的概率分布密度. 方法二：用卷积公式直接计算：

直接应用相互随机变量之和密度的卷积公式,求fZ(z)更为简单. 因为随机变量X与Y相互,由卷积公式

fZ(z)12fX(zy)fY(y)dy

(zy)211e222dy121e2(zy)22dy

1212121e2(yz)22dy

yzdy 1yzdy 12zz. 最终用标准正态分布函数(x)表示出来ZXY的概率分布密度.