常规磁铁设计

常规磁铁设计

目录

常规磁铁设计 ................................................................................. 1

一、加速器中的磁铁 .............................................................. 1 二、二极磁铁与四极磁铁的物理原理 ................................... 3 三、二极磁铁工程设计 .......................................................... 6 四、四极磁铁工程设计 ........................................................ 12 五、最终设计结果 ................................................................ 17 六、附录 程序代码 .............................................................. 19

一、加速器中的磁铁

加速器技术发展至今，对于带电粒子运动的控制一直都是由磁铁产生的电磁场来完成。带电粒子的输运、聚焦、引入引出等，无不需要磁铁。可以说磁铁的设计是加速器设计中最重要的部分之一。

1930年Earnest O. Lawrence和他的学生建造第一台回旋加速器时，直径只有10cm，所用的磁铁也很简单。随着加速器技术的迅速发展，对磁铁的要求也越来越高，如前苏联的“杜布纳”加速器，需要36000吨磁铁，耗电量达到148MW。在Betatron电子加速器中，要控制使中心处的磁场变化是轨道处磁场变化的二倍，即著名的“二

比一定律”，而且同时要考虑带电粒子运动的聚焦，这就需要对磁铁进行特殊的设计。如今，现代的大型高能加速器对磁铁的要求也更加的高，其中为代表的类型是世界上普遍建造的同步加速器。本文对同步加速器中所需的电磁铁进行了初步的设计与讨论。

同步加速器的基础是强聚焦原理。首先，在介绍强聚焦原理之前，有必要先介绍一下弱聚焦原理。

带电粒子在圆形加速器中运动时，为使束流能稳定存在，必须对粒子束进行聚焦。建立柱坐标系如图一，定义n为磁场降落指数

nrcBz()c Bcr下标c代表粒子闭轨处，下标z表示轴向方向的磁感应强度。

带电粒子沿轴向和和横向方向的运动方程为分别为

•d(mz)m2nz0 dt•d(mx)m2(1n)z0 dt

对这两个方程求解，其结果表明，当n<1时，沿z方向运动稳定；当n>0时，沿r方向运动稳定。其中习惯称沿r方向为沿径向方向，沿z方向为轴向方向。综合起来，只有当0随着高能物理的发展，对粒子能量的追求也越来越高，弱聚焦原理越来越不能满足高能加速器的需求，其中磁铁过重，耗电过大均是很难解决的问题。1958年库兰特提出强聚焦原理，利用将n<<1和n>>0的磁铁进行交替排布以实现聚焦，不再拘泥于0其中同步加速器的前期物理设计的主要工作就是设计出磁铁的排列方式，以使带电粒子稳定的被加速。

二、二极磁铁与四极磁铁的物理原理

对磁多极矩进行分析。在二维恒定磁场中，磁标势x,y满足拉普拉斯方程如下

220 22xy将φ展开成多项式

x,y024

其中i分别为i次项，写出一次项和二次项如下

2a10xa01y2

24a20xa11xya02y

根据拉普拉斯方程，应有有a20=-a02。一次项和二次项分别代表了二极矩与四极矩磁场，即分别为匀强磁场和均匀梯度磁场。

对于二极矩

BxBya10x a01y在加速器中，主环一般是水平放置的，我们通常希望只有垂直方向的磁场，即仅有By。此时磁标势就可以为

ay

即可看出，此时磁标势等位线是和水平方向平行的，即二极磁铁的可以利用两个接近的极面，在极面间的间隙中近似产生匀强磁场。

对于四极矩

BxBy(2a10xa11y)x (a01x2a02y)y再次求导得到磁感应强度梯度

Bx2a20x Bya11y磁标势表达式

4a20（x2-y2）a11xy

即可看出四极矩可以由极面为双曲线的磁铁产生，且产生的磁场磁感应强度梯度为常数。类似的，我们还可以得到更高阶的六极矩、八极矩等。因为二极铁与四极铁相对与其他磁铁要为重要，同时又因为二者都有较强的对称性，故本文仅对二极磁铁与四极磁铁的横截面进行二维的设计。

三、二极磁铁工程设计

二极磁铁通常有C型、H型、框型等，由于C型磁铁一侧是开口的，便于其他部件的安装与维修，故设计采用C型磁铁。将上文lattice设计所得参数列入表中。如表1，表2。其中，好场区宽度指满足均匀度的磁铁极面宽度；磁间隙指极面间隙的高度。

表1 内环二极磁铁参数

好场区宽度 磁间隙g 好场区磁感应强度B 好场区均匀度 偏转角度 长度 曲率半径

表2 外环二极磁铁参数

好场区宽度 磁间隙g 好场区磁感应强度B 好场区均匀度 偏转角度 长度 80 mm 50 mm 1.224 T ≤0.0001 7.5度 1.2488 m 80 mm 50 mm 1.4 T ≤0.0001 T 7.5度 1.0917 m 8.3403 m

曲率半径 9.5403 m 其中内环外环二极磁铁均为平行边磁铁。

首先计算磁铁的安匝数。整个磁路由磁铁和一段气隙组成，由电磁学磁路定理可得安匝数F

FNI0.8fgB

其中f为修正系数，f=1.05~1.10；B为好场区磁感应强度，单位为高斯；g为气隙高度，单位为cm。取f=1.1，可得安匝数F=61600安培

由于二极磁铁的横截面是二维对称的，所以仅研究上半部分即可，即取安匝数的一半。采用外截面为6X6mm^2，内方孔4X4mm^2，内通冷却水的线材，其横截面为20 mm^2，在冷却水正常冷却情况下，允许通过的最大电流密度为100A/mm^2，即每根导线允许通过的最大电流为200A。一般要求实际电流要小于最大电流。取设计电流为170A，则由上文所求安匝数可求得需要的线匝数N为

NF30800180匝 I170为使绕制的线圈接线和冷却方便，故将线圈设计为绕制偶数排与偶数层，即10排18层共180匝。考虑导线之间的绝缘物件，导线绕制要间距1mm，线包外也要留2mm厚的绝缘层，再考虑留下0.5mm的安装空间。最终可得到线圈横截面的尺寸大小，尺寸设计为130X75mm^2.

我们知道，在两个无限大平板磁极间是匀强磁场，但工程是不可能做到这一点的。但为了保证一定的磁感应强度均匀度，极面应在好

场区宽度的基础上向外延长一定的宽度。根据国内外积累的建造加速器的经验，当均匀度达到万分之一时，即可满足加速器的要求。利用半经验公式，我们可估计所需极面要向外延伸的长度

ag2(0.750.36ln(100B)) B0B其中即为磁场均匀度，g为磁间隙高度。带入数据可估计极面

B0应向外延长70mm，则极面宽度应为140+80=220mm。根据线圈的大小和极面的宽度，我们可以设计出磁铁的轮廓如下

磁铁的材质采用硅钢片，其B-H数据见附录。由于硅钢的物理性质，当磁感应强度很强时，将会达到饱和状态。如下图

为避免局部磁场感应强度饱和，在轮廓设计中，在磁铁的内部转角处采用了圆角。而在磁铁的外围由于本身磁场较弱，设计圆角只会增加加工成本，故未采用圆角。

接下来将磁铁的形状参数、安匝数、硅钢片B-H线数据写入possion程序的输入文件，进行计算。其中possion程序的数值计算方法为有限差分法，网格划分为三角形网格。

将输入文件运行后，查看磁铁中是否有磁感应强度超过饱和值，然后对磁感应强度进行分析，确定好场区范围是否达到80mm，若未达到，则对极面进行垫补处理，最后调整安匝数，使磁感应强度为1.4T.本次设计中，第一次计算中有部分区域磁场饱和，进行调整圆角的半径大小；之后好场区仅有60mm左右，经多次调整，最终确定安匝数为30002，单根电线电流为167A；增加垫补如图，单个垫补宽10mm，高0.5mm。

最后计算结果如图所示

其中红色的线为磁感线。分析计算数据，调出磁间隙的磁感应强度数据如图

如图可见，在51cm-59cm的80mm宽度内，磁感应强度上下波动不超过万分之一，满足了好场区宽度的要求。

对于外环设计与内环类似，鉴于减少工厂设计建造费用，故直接采用内环的磁铁尺寸，降低电流达到外环磁感应强度参数即可。计算结果如图

可见基本达到设计要求。除安匝数为25310外，其他参数与内环相同。

四、四极磁铁工程设计

据lattice设计结果，列出内环散焦、聚焦磁铁，外环散焦、聚焦磁铁参数如下表

表三 四极磁铁目标参数

内环聚焦磁铁 聚焦常数KF 磁感应强度梯度 梯度均匀度 磁铁长度 内环散焦磁铁 聚焦常数KD 磁感应强度梯度 梯度均匀度 磁铁长度 外环聚焦磁铁 聚焦常数 磁感应强度梯度 梯度均匀度 磁铁长度 外环散焦磁铁 聚焦常数 磁感应强度梯度 梯度均匀度 磁铁长度 0.872515 10.1879 T/m ≤0.0001 0.6 m -0.846984 9.87 T/m ≤0.0001 0.6 m 0.840794 9.8174 T/m ≤0.0001 0.6 m -0.817091 -9.5407 T/m ≤0.0001 0.6 m

其中，磁感应强度梯度为聚焦常数与磁刚度的乘积，根据前文，磁刚度数值为

350035001.022W(W20)B11.67Tm

c299.792458当四极磁铁极头的横截面顶部曲线严格满足双曲线时，磁铁梯度也严格为常数，但与二极磁铁的设计类似，工程上是无法实现严格的双曲线的，故在保证一定精度下，采用双曲线和直线结合的几何结构。

首先对安匝数进行计算，由磁路定理求得单个磁极的安匝数

NI2Hdl1.1*0.8Ga/2 其中1.1为计算过程中的修正系数。

代入数据可得安匝数NI=11000，同二极磁铁的设计过程，利用此公式计算出的安匝数还需要进一步的微调才能满足设计要求。设计线圈结构为6层10排共60匝，单根导线电流约为180A。依然采用前述导线。则线圈横截面尺寸即为60mmX36mm。

接下来结合线圈尺寸设计磁铁几何结构。先由孔径大小50mm确定四极铁中心内接圆的大小，为保证一定精度，取内接圆半径为100mm。

双曲线断开的位置即B点坐标由经验公式x=（1.3~1.5）a来确定，双曲线断开后设计为一段切线段BC加一段平行线段CD。其中平行线段CD可减少双曲线两端的顶端效应，类似于二极磁铁的垫补。切线段长设计为5mm，平行线段长度由经验取6mm。同样，在磁铁内侧设计圆角以避免磁场饱和。初步设计好磁铁几何尺寸后，写入输入文件进行计算，由于四极磁铁的对称性，所以仅取八分之一部分进行计算即可。根据程序计算结果微调几何结构，经过多次调整切线与平行线的长度及安匝数，最终确定四极磁铁的几何尺寸如图

软件的计算结果如图

调出四种四极磁铁磁感应强度梯度图线如图

以上各图中左端当接近于x=0时，出现数据发散的情况，这是因为程序在对磁感应强度求梯度时，当分母接近于0时误差被放大所致。实际情况下，越靠近图像的左端，梯度是越均匀的。由以上各图，可见在0~25mm内，磁感应强度梯度的均匀度达到了万分之一标准。

为减少设计成本，四个四极磁铁采用同一几何结构，调整线圈电流改变安匝数即可分别达到各个磁铁对磁感应强度梯度大小的要求。

五、最终设计结果

二极磁铁

内环弯转磁铁 安匝数 导线电流 内环弯转磁铁 安匝数 导线电流 四极磁铁

30002 A 166.67 A 25310 A 140.61 A

内环聚焦磁铁 安匝数 导线电流 内环散焦磁铁 安匝数 导线电流 外环聚焦磁铁 安匝数 导线电流 外环散焦磁铁 安匝数 导线电流

参考文献

1、李泉凤.2002. 电磁场数值计算与电磁铁设计 ［M］.北京：清华大学出版社，149-184.

2、裴元吉 王相綦.2012. 加速器物理学.合肥：中国科学技术大学课程讲义，63-94.

10930 A 182.17 A 10608 A 176.80 A 10535 A 175.58 A 10235 A 170.58 A

六、附录 程序代码

二极铁

® kprob=0, ! Poisson or Pandira problem

mode=0, ! Some materials have variable permeability xreg1=4.5,kreg1=2,

xreg2=26.5, kreg2=58, xreg3=29,kreg3=68, xreg4=42, kreg4=124, xreg5=44.5, kreg5=134, xreg6=66.5, kreg6=190, kmax=200,

yreg1=3, lreg1=20, yreg2=11, lreg2=54, yreg3=14, lreg3=74, yreg4=35.5, lreg4=138, lmax=140 &

&po x=0,y=0 & &po x=87,y=0 & &po x=87,y=43& &po x=0,y=43 & &po x=0,y=0 &

® mat=1,cur=30002 & &po x=29,y=3.5 & &po x=29,y=11 & &po x=42,y=11 & &po x=42,y=3.5 & &po x=29,y=3.5&

® mat=1,cur=-30002 & &po x=66,y=3.5& &po x=66,y=11& &po x=79,y=11& &po x=79,y=3.5& &po x=66,y=3.5&

® mat=2,mtid=1,mshape=0 & &po x=5, y=0& &po x=27,y=0&

&po x=27, y=7&

&po nt=2,x0=33,y0=7,x=0,y=6& &po x=38,y=13&

&po nt=2,x0=38,y0=7,x=6,y=0 & &po x=44,y=4.5 &

&po nt=2,x0=46,y0=4.5,x=0,y=-2 &

&po x=47,y=2.5 & &po x=47,y=2.45 & &po x=48,y=2.45 & &po x=48,y=2.5 &

&po x=62,y=2.5 & &po x=62,y=2.45 & &po x=63,y=2.45 & &po x=63,y=2.5 &

&po x=, y=2.5 &

&po nt=2,x0=,y0=4.5,x=2,y=0 & &po x=66, y=35& &po x=5, y=35& &po x=5, y=0&

&mt mtid=1

bgam=0.00000 0.0017513135 900 0.001747079 950 0.001741742 1000 0.001735498 1050 0.001728309 1100 0.00172014 1150 0.001710963 1200 0.001700753 1250 0.00194 1300 0.001677174 1350 0.001663786 2800 0.001080694 2850 0.001068051 2900 0.001056142 2950 0.001044912 3000 0.001034309

3050 0.0010242 3100 0.001014809 3150 0.001005828 3200 0.000997312 3250 0.0009226 3300 0.000981539 3350 0.000974222 4000 0.000904952 4500 0.000856798 5000 0.000818493 5500 0.000788085 6000 0.0007202 6500 0.000745863 7000 0.000732376 7500 0.000723261 8000 0.000718209 8500 0.000717054 9000 0.000719758 9500 0.0007211 10000 0.000737231 10500 0.000752594 10578 0.0007562580 11319 0.0007951022 11940 0.0008375209 12451 0.0008834703 12912 0.0009293680 13313 0.00097671 13654 0.0010253255 13935 0.00107263 14216 0.0011254924 14447 0.0011767475 14618 0.0012313603 147 0.0012846865 15020 0.0013315579 15131 0.0013879251 15252 0.0014423770 15432 0.0014912019 15594 0.00153351 15705 0.0015918497 16180 0.0018542555 16840 0.0023752969 17150 0.0029154519 17360 0.0034566194 17620 0.0039729837

17830 0.0044863167 18200 0.0054945055 150 0.00791765 19500 0.01025103 20200 0.0148588410 20650 0.0193798450 20950 0.0238663484 21600 0.0370370370 21900 0.0456621005 23000 0.0869565217 23386 0.1002810000 23850 0.1181630000 24408 0.1387420000 25079 0.1622460000 25885 0.1888580000 26854 0.2186950000 28019 0.2517840000 &

四极铁

® kprob=0, ; Poisson or Pandira problem

mode=-1 ; Materials have fixed permeability dx=.05,dy=.05, ; Mesh intervals

yminf=0,ymaxf=15 ; Fixed Y for field interpolation xminf=0,xmaxf=15 ; X range for field interpolation ;; The next 6 terms refer to the harmonic analysis: ktype=4, ; Quadrupole symmetry nterm=10, ; Number of coefficients

nptc=10, ; Number of arc points for interpolation rint=7.0, ; Radius of the arc for interpolation

angle=45, ; Angular extent of arc (default start = 0) rnorm=1.0 & ; Aperture radius for normalization

&po x=0.0,y=0.0 & &po x=34,y=0.0 & &po x=34,y=34 & &po x=0.0,y=0.0 &

® mat=3,mtid=3 & &po x=3.5355,y=3.5355 & &po nt=3,r=5,x=7,y=1.7857 & &po x=8.049,y=1.627 & &po x=10.355,y=1.627 &

&po x=19.137,y=5.146&

&po nt=2,x0=20.253,y0=2.362,x=3,y=0 & &po x=23.253,y=0.0 & &po x=32.253,y=0 &

&po x=32.253,y=12.362 & &po x=22.375,y=22.375& &po x=3.5355,y=3.5355 &

® mat=1,cur=10930 & &po x=15.819,y=3.6 & &po x=21.819,y=3.6& &po x=21.819,y=0& &po x=15.819,y=0& &po x=15.819,y=3.6 &

® ibound=0 & &po x=34,y=34 &

&po x=3.5355,y=3.5355 & &po x=0.0,y=0.0 &

&mt mtid=3

bgam=0.00000E+00 0.0017513135 ! Start of B,Gamma data 0.11420E+04 0.0017513135 0.29530E+04 0.0010159504 0.51140E+04 0.0007821666 0.84760E+04 0.00070784 0.96670E+04 0.0007241130 0.10578E+05 0.0007562580 0.11319E+05 0.0007951022 0.11940E+05 0.0008375209 0.12451E+05 0.0008834703 0.12912E+05 0.0009293680 0.13313E+05 0.00097671 0.13654E+05 0.0010253255 0.13935E+05 0.00107263 0.14216E+05 0.0011254924 0.14447E+05 0.0011767475 0.14618E+05 0.0012313603 0.147E+05 0.0012846865 0.15020E+05 0.0013315579 0.15131E+05 0.0013879251 0.15252E+05 0.0014423770 0.15432E+05 0.0014912019 0.15594E+05 0.00153351

0.15705E+05 0.0015918497 0.16180E+05 0.0018542555 0.16840E+05 0.0023752969 0.17150E+05 0.0029154519 0.17360E+05 0.0034566194 0.17620E+05 0.0039729837 0.17830E+05 0.0044863167 0.18200E+05 0.0054945055 0.150E+05 0.00791765 0.19500E+05 0.20200E+05 0.20650E+05 0.20950E+05 0.21600E+05 0.21900E+05 0.23000E+05 0.23386E+05 0.23850E+05 0.24408E+05 0.25079E+05 0.25885E+05 0.26854E+05 0.28019E+05 0.010251030.01485884100.01937984500.02386634840.03703703700.04566210050.08695652170.10028100000.11816300000.13874200000.16224600000.18885800000.21869500000.2517840000 &