第25题--综合题分类讨论思想(市北初级尤文奕整理)

第25题――分类讨论（市北初级尤文奕整理）

（说明：分类讨论思想是综合题中常见的数学思想，运用分类讨论思想的综合题比比皆是，因此在这里我们仅选取了部分常见的体现不同解题思路的综合题供老师们参考）

（一）等腰三角形

1、如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上，有一个 动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH的重心为G．

（1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持 不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度； （2）设PH=x, GP=y求y关于x的函数解析式,并写出函数定义城； （3）如果△PGH是等腰三角形,试求出线段PH长.

（答案：（1）GH=2；（2）y=

2、已知，在ABC中(AB)，ABAC8,cosABPGOHA1；（3）6或2） 363x2（037. 8（1）求BC的长（如图a）；

（2）P、Q分别是AB、BC上的点，且BP:CQ2:1，连结PQ并延长，交AC的延长线于点E，设CQx,CEy（如图b）.

①求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域；

②当x为何值时，PEA是等腰三角形？

AAPBCB图aQ图bCE27.（1）BC=4

x2（2）①y0x2

2x②若APAE，AP8，AE8，矛盾∴APAE不存在. …1分 若AEPE，则AAPE,APEB,AB，矛盾

∴AEPE不存在.………………………………………………… 1分 若APEP，过点P作PMAE,垂足为点M.

AE8y………………………………………………………1分 AM22页脚内容1

必修1第25课

8yAM7cosA2………………………………………………1分

AP82x8x26整理得7x2y12，又y，解得x1,x24（舍）……1分

2x56∴当x时，PEF是等腰三角形. …………………………………1分

5

3、如图5，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB与小圆相切于点A，与大圆相交于B，大圆的弦BC⊥AB，过点C作大圆的切线交AB的延长线于D，OC交小圆于E． O（1） 求证：△AOB∽△BDC；

（2） 设大圆的半径为x，CD的长为y，求

Ay与x之间的函数解析式，并写出定义域．

（3） △BCE能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由． 25．解：（1）略；（2）函数解析式为yCEBD图2xx12，定义域为x1．

（3）当EB=EC时，∠ECB=∠EBC，而∠ECB=∠OBC，∴EBEC．

当CE=CB时，OC=CE+OE=CB+OE=2+1=3．………………………………（1分） 当BC=BE时，∠BEC=∠ECB=∠OBC，则△BCE∽△OCB．………………（1分）

117x12CEBC(负值舍去). ,设OC = x,则CE=x1,,x2BCOC2x117∴OC=.…………………………………………………………………（1分）

2117综上所述，△BCE能成为等腰三角形，这时大圆半径为3或．

2则

（二）直角三角形

1、如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，cosB=

4，点P为BC边上一动点（不与点B、C重合），过点P5作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B．

（1）设BP=x，CM=y．求 y与x的函数解析式，并写出 函数的定义域．

（2）当△PCM为直角三角形时, 求点P、B之间的距离．

MBx28x25（答案：（1）y=（054页脚内容2

必修1第25课

2、已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝5，AD＝6，BC＝12，点E在 AD边上，且AE：ED＝1：2，连接CE，点P是AB边上的一个动点，（P不与A，B重合）

过点P作PQ∥CE，交BC于Q，设BP＝x，CQ＝y， （1）求CosB的值；

（2）求 y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）连接EQ，试探索△EQC有无可能是直角三角形，若可能，试求出x的值，若不能，请简要说明理由。

A E D P

B Q C

25．解：（1）过点A作AH⊥BC，则BH=3，从而cosB=3。…………（3分）

5 （2）过点E作EF∥AB，则BF=AE=2，EF=AB=5，FC=10， 又BP=x，BQ=12-y,

不难得△BPQ∽△FEC，∴BPFE，即

BQFCx5，…………（6分）

12y10∴y2x12，(0x5) …………（8分） （3）显然 ∠ECQ≠90°，且tg∠ECQ=4，CE=

72 若∠QEC=90°，则 cos∠ECQ=EC=765，cos∠ECQ=765，…（9分）

65 若∠EQC=90°，则 CQ=7，即y=7, 从而 x=5；…………（11分）

QC65y=65， 从而 x=19；…………（（13分）

65，即

65765， y6514 综上，x=5或x=19 …………（14分）

1427

（三）相似

1、如图4：一次函数y=－x+m的图象与二次函数y=ax+bx－4的 图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（－2，0）． 页脚内容3

2

y A O x 必修1第25课

（1）求一次函数的解析式；

2

（2）设二次函数y=ax+bx－4的对称轴为直线x=n（n<0），n是

2

方程2x－3x－2=0的一个根，求二次函数的解析式；

（3）在（2）条件下，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一 点C，使以点A、B、C组成的三角形与ADB相似.试求出C点的 坐标.

2

（答案：（1）y=－x－2；（2）y=2x+2x－4； （3）若点C在点A的右边，由（1）得：OA=OB，∠CAB=450 而ADB没有一个角等于450，所以这种情况不存在；1若点C在点A的左边，

由（1）（2）可知：点B、D的坐标分别为(0.2)、(0,4) 1

， ，

∴AB=22 BD=2 OA=2 ∠ABD=∠CAB=1350

CABDCA 2）当AB∴1）当AB，

时，CABD2 ∴OC=4 点C的坐标为(4,0) 1 ABAB，

时，CA4 ∴OC=6 点C的坐标为(6,0) 1 BD∴点C的坐标为(4,0)或(6,0).）

2、抛物线y＝

1211x＋x＋6与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线44y＝kx＋b经过点A、C．点D（0，m）（其中m≤6）在y轴上，经过点B、D的直线与直线y＝kx＋b交于

点M，

（1）求k和b的值；

（2）如果以点M、C、D为顶点的三角形与以点M、A、B为顶点的三角形相似，求点D、M的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，求△MCD与△MAB的面积比．

27、解：（1）k＝

3，b＝6． 4M A y C （2）由上面的条件可以知道OA＝8，OB＝3，OC＝6 ． 当m≤0时，即点D（0，m）在y轴的负半轴上时， 设有△MCD∽△MBA， ∴∠MDC＝∠MAB，

ODOBx B O ∴Rt△OAC∽Rt△ODB．∴＝， OAOCD OBOC6∴＝＝，∴OD＝4，∴点D（0，－4）．…………………………………………1 ODOA8页脚内容4

必修1第25课

∴经过点B、D的直线为y＝－联列y＝－

4x－4， 3241243x－4和y＝x＋6成为方程组，可以解得x＝－，y＝，

5534y 2412∴点M1（－，）．………………………………………………………………………1

55当0＜m≤6时，即点D在线段OC上时，

设有△MCD∽△MBA，

∴∠MDC＝∠MAB， 即 ∠BDO＝∠CAO， ∴Rt△OAC∽Rt△ODB．∴∴

C D A B O x M ODOB＝， OAOCOBOC6＝＝，∴OD＝4，∴点D（0，4）．……1 ODOA84∴经过点B、D的直线为y＝x＋4，

3246043联列y＝x＋4和y＝x＋6成为方程组，可以解得x＝，y＝，

77342460∴点M2（，）．…………………………………………………………………………1

77（3）当m≤0时，S△MCD︰S△MAB＝（CD︰AB）＝（10︰5）＝4︰1 ．

22

当0＜m≤6时，S△MCD︰S△MAB＝（CD︰AB）＝（2︰5）＝4︰25 ．

3、已知：如图七，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC B ＝6，AC＝8．点P是边AB的中点，以P为顶点，作

P

（∠MPN＝∠A，∠MPN的两边分别与边AC交于点M、

图N． 七A C ）N M

（1）当△MPN是直角三角形时，求CM的长度； （2）当∠MPN绕点P转动时，下列式子：（甲）CM·AN，（乙）CN·AM的值是否保持不变？若保持不变，试求出这个不变的值，并证明你的结论；

（3）连接BM，是否存在这样的点M，使得△BMP与△ANP相似？若存在，请求出这时CM的长；若不存在，请说明理由．

25．解：（1）显然∠MPN≠90°，若∠PMN＝90°，则CM＝4．…………………（1分）

若∠PNM＝90°，则PN＝3，CN＝4，MN＝

2

2

97，∴CM＝．…………………（2分） 44（2）（甲）CM·AN 的值不确定（显然，CM可以为0，从而CM·AN的值为0）；

（乙）CN·AM的值保持不变，且CN·AM＝25．………………………………（2分） 证明如下：连CP，由已知：∠ACB＝90°，AB＝10，

∵点P是AB中点，∴CP＝AP＝5．…………………………………………………（1分） ∴∠PCA＝∠PAC＝∠MPN．∴∠PMA＝∠CPN．∴△CPN∽△AMP．………（2分）

∴CN︰AP＝CP︰AM，∴ CN·AM＝25．…………………………………………（1分） （3）解：∵∠MPN＝∠A，

页脚内容5

必修1第25课

∴∠APN＋∠ANP＝∠APN＋∠BPM，∴∠ANP＝∠BPM．……………………（1分） 要使△BMP与△ANP相似，

① 若∠MBP=∠A，则BM=AM，又P是AB中点，∴ MP⊥AB，∴△AMP∽△ABC． ∴AM＝

257，从而 CM＝；………………………………………………………（2分） 44② 若∠BMP＝∠A，则∠BMP＝∠MPN，∴△BMP∽△BAM．

∴BM＝52，从而 CM＝14．……………………………………………… （2分）

（四）点在直线（射线）上运动

1、如图，AB⊥BD，CD⊥BD，B、D分别为垂足. (1)已知：∠APC=90º，求证：△ABP∽△PDC. (2)已知：AB=2，CD=3，BD=7，点P是线段BD 上的一动点，若使点P分别与A、B和C、D构成的两 个三角形相似，求线段PB的值.

(3)已知：AB=2，CD=3，点P是直线BD上的一动 点，设PB=x，BD=y，使点P分别与A、B和C、D构 成的两个三角形相似，求y关于x的函数解析式. （答案：（1）证略；（2）PB的值取1或6或2C

A

B

第（2）

P

题

D

C

A

B

第（3）题

P

D

4；（3） 56x210x6或者yxx0 ①点P在射线BE上的时， yx2x26x0或者y5xx0. ②点P在线段BD上的时，yx2x26x6.(注：定义域不写不扣分) ③点P在射线DF上的时， 解得：yx（08年1月普陀初三定位考第27题）

2、在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射线BC上的一 个动点，作PE⊥AP，PE交射线DC于点E，射线AE交射线

页脚内容6

DEC（第25题第（1）小

FD必修1第25课

BC于点F，设BP=x，CE=y．

（1）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C都不 重合），求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当x=3时，求CF的长；

1时，求BP的长． 215（答案：（1）yx2x，定义域为044（3）当tg∠PAE=

（3）（i）当点P在边BC上时，BP=3；（ii）当点P在边BC的延长线上时，BP=7．） （08年1月静安、浦东等区初三定位考第27题）

3、已知直角坐标系中，点A（6，0），点B（0，8），点C（-- 4，0）。点M从点C出发，沿着CA方向，以每秒2个单位的速度向点A运动；点N从点A出发，沿着AB方向，以每秒5个单位的速度运动，MN与y轴的交点为P。点M、N同时开始运动，当点M到达点A时，运动停止。在运动过程中，设运动的时间为t秒，

（1）当t为多少时， MN⊥AB；

（2）在点M从点C到点O的运动过程中（不包括O点），出这个不变的值，若会发生变化，试说明理由；

（3）在整个运动过程中，△BPN是否可能是等腰三角形？若能，试求出相应的t的值，若不能，试说明理由。

页脚内容7 MP的值是否会发生变化？若不变，试求PNyyB B N P C M O A x C O A x

备用必修1第25课

30105；（2）不变；（3）当点N在线段AB上时，t，t；当点N在线段AB3117430的延长线上时，t）

11（答案：（1）t（08年1月宝山初三定位考第27题）

4、已知在ABC中，C=90，AC=BC=4，在射线AC、CB上分别有两动点M、N，且 AM=BN，连结MN交AB于点P.

（1）如图1：当点M在边AC（与点A、C不重合）上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你得到的结论；

（2）当点M在射线AC上，若设AM=x，BP=y，求y与x之间的函数关系式，并写出它的定义域； （3）过点M作直线AB的垂线，垂足为点Q，随着点M、N的移动，线段PQ的长能确定吗？若能确定，请求出PQ的长；若不能确定，请简要说明理由.

A M 1

图

图

C

A M 备用

C

P

N B

P

N B

0（答案：（1）PM=PN，证略；（2）若点M在线段AC上（图2），y2x22，定义域为0x4；2若点M在线段AC的延长线上（图3），y2x22，定义域为x4；（3）若点M在线段AC上，2页脚内容8

必修1第25课

PQ=22；若点M在线段AC的延长线上，PQ=22，∴线段PQ的长能确定且PQ=22）

（05嘉定第25题）

5、如图1,在四边形ABCD中，D90，BC∥AD，BC=20，DC=16，AD=30，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）

(1)设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式;

(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形; (3)当线段PQ与线段AB相交于点0，且2AO=OB时，求∠BQP的正切值; (4)是否存在时刻t，使得PQ⊥BD?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.

N

N B

P

P Q B C

A C 图

M K

Q A D M 图

BQ CBCBCA

P(图1)DAD(图2,供备用)AD(图3,供备用)（答案：（1）S＝－8t＋160；（2）t3.6秒或t如图3：t12.8秒）

（06崇明第25题）

20秒；（3）如图2：∠BQP的正切值为1；（4）3页脚内容9

必修1第25课

BOPAQCBQCE图2DAPG图3D6、如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为射线BC上的一点，且PB=PD， 过D点作AC边上的高DE。

（1）求证：PE=BO；

（2）设AC=8，AP=x，SPBD为y，求y与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围；

（3）是否存在这样的P点，使得PBD的面积是ABC面积的如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由。

APO3， 8BDEC（答案：（1）P在AO上（如下左图）：PE=BO；P在OC上（如下右图）：PE=BO；（2）P在AO上（如下左图）：SPBD=

112；P在OC上（如下右图）：SPBD(8xx)(0x8)；(8xx2)（022（3）AP等于2或6）

（06奉贤第25题）

A

A

PO页脚内容10

OPEBCD必修1第25课

7、已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连结AE交射线DC于点F，若ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处.

（1）如图6：若点E在线段BC上，求CF的长； （2）求sinDAB1的值； （3）如果题设中“BE=2CE”改为“

BE其它条件都不变，试写出ABE翻折后与正方形ABCDx”，

CE公共部分的面积y与x的关系式及定义域.（只要写出结论，不要解题过程）

E

（答案：（1）CFD 图6

图

C F

D 备用

C

A B A B

35；（2）若点E在线段BC上，如图1，sinDAB1=；若点E在边BC的延213页脚内容11

必修1第25课

长线上，如图2，sinDAB1=边BC的延长线上，y39x；（3）若点E在线段BC上，y，定义域为x0；若点E在52x29x9，定义域为x1） 2x（07嘉定第25题）

8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AP⊥BC，垂足为点P，AB=CD=2，BC=5，∠B=60°， （1）求AD的长；

（2）若把三角尺60的顶点与点P重合，使三角尺绕点 P旋转，该60°角的两边PE与PF（看作射线）分别与边AD 交于点E（点E不与点A、点D重合），与射线DC交于点F (点F不与点C重合)，如设AE为x，CF为y，求y与x的 函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在第（2）小题的条件下，三角尺绕点P旋转过程中， △PED与△PDF这两个三角形中，哪一个三角形可能成为等腰

三角形？如有可能，请指出是哪一个三角形，并求出AE的长；

如不能，请说明理由．（07年1月青浦初三定位考第25题） （答案：（1）AD=3；

（2）①点F在线段CD上，y=2-2x（0页脚内容12

A 1 2 BB A B

E C 图

F

B1 N D 图2 E

F C

D1 M ADBPADCBP备用图C必修1第25课

（3）只有点F在线段DC的延长线上，当AE=3时，△PDF为等腰三角形） （07年1月青浦初三定位考地25题）

AE

DF

AN E DBPM

CBPC提示：过点E作EM∥AB交BC于点M，可证△EMP∽△PCF； 提示：过点P作EN∥AB交AD于点N，可证△ENP∽△FCP．

9、已知梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC=2，AB=5，M为边AB上的一点，且∠DMC=∠A=60． （1）求出AM的长，并请写出图中所有的相似三角形；

（2）∠DMC绕点M顺时针旋转后，得到∠D1MC1（点D1、C1依次与点D、C对应），射线M D1交线段DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DE= x，BF= y．

求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.

O

F

DCDCA第28题图

BA备用图

B（答案：（1）△ADM∽△BMC∽△MCD；（2）当AM=1且点F在线段BC上时，y=2-2x(0≤x≤1)；当AM=1且点F在线段CB的延长线上时，y=2x-2（1≤x≤3）；当AM=4时，此时点E在CD上运动时，点F总在线段BC上，y=2-

1）（08年1月奉贤初三定位考第28题） x（0≤x≤3）

2页脚内容13

必修1第25课

FAMBDE CDE C

AMBF

10、已知：Rt△POQ中，∠POQ=90°，PO=6，QO=8． Rt△ABC中，∠B=90°，AB＝BC＝6，点P是AB的中点． 如图，将△ABC以点P为旋转中心进行旋转，当△ABC

的某一条边同时与直线PO、直线QO都有交点（设与直线PO 的交点为点E，与直线QO的交点为点F）时，△OEF是否可能 会与△OPQ相似？如果△OEF会与△OPQ相似，那么请求出 OE的长；如果△OEF不会与△OPQ相似，那么请说明理由． （答案：当OE的长为

AMDE CFB

Q C

A P B

O

12529或1或时，△ABC的某一条边同时与x、y轴都有交点（设与x轴

24的交点为点E，与y轴的交点为点F），且△OEF与△OPQ相似．）

（07年1月闸北初三定位考地25题）

附历年中考同类型题目： 01年中考

页脚内容14

必修1第25课

27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点

E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．

02年中考

27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．

图5

探究：设A、P两点间的距离为x．

（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；

页脚内容15

图6图7

必修1第25课

（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．

（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）

05年中考

25、在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。

（1）如图8，求证：△ADE∽△AEP；

（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BF＝1时，求线段AP的长.

07年中考

已知：∠MAN＝60°，点B在射线 AM上，AB＝4（如图10）．点P为直线AN上一动点， 以BP为边作等边三角形BPQ（点B、P、Q按顺时针

排列），点O是△BPQ的外心．

（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O 在∠MAN 的平分线上；

（2）当点P在射线AN上运动（点P与点A不 重合）时，AO与BP交于点C，设AP＝x，AC·AO ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）若点D在射线AN上，AD＝2，圆I为 △ABD的内切圆．当△BPQ的边BP或BQ与圆I相

切时，请直接写出点A与点O的距离．

页脚内容16

FBPDC图8BEOACA图9（备用图）A

P

B ·O

N

M

A

Q

（图十） P

B ·O

图）N

M

Q

（备用必修1第25课

08年中考

已知AB2，AD4，DAB90，AD∥BC（如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．

（1）设BEx，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长； （3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A求线段BE，N，D为顶点的三角形与△BME相似，的长．

D D A A M

C B B E C

备图

13

用图

A

P

B ·O

N

M

Q

（图十） 页脚内容17