第一讲_计算综合[1]

第一讲 计算综合

1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：

123n2

2

222216nn12n1

3．平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)．

1． 已知a=

23111199,b231111991100,试比较a、b的大小.

【分析与解】

a231111981A,b231111981B,

其中A=99,B=99+

971981A1100.因为A1A >98+

1B，

1971981B,

971981B,969711981A96

2341111981A2341111981B,所以有a < b．

2.试求

23411111200511341111112005的和？

第一讲 计算综合 刘强老师整理

【分析与解】 记x3412x1111x,而

12x1111x11112005,则题目所要求的等式可写为：

12x1x2x1.

所以原式的和为1．

评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．

3、 试求1+2+3+4+„4+100的值?

【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．

方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+„ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+„4+ 3+ 2+ 1,

上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050．

方法三：整数裂项(重点)，

原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+„+100×2)÷2

=122(31)3(42)4(53)100(10199)2

=(1223123423453410010199100)2 =1001012 =5050.

4、 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+„+99×100．

【分析与解】方法一：整数裂项

原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+„+99×100×3)÷3

=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+„+99×100×(101-98)]÷3

(123234123345234456345567456991001019899100)3991001013331011003333100333300.方程二：利用平方差公式1+2+3+4+„+n=n 原式：1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+„+99+99

2

2

2

2

2

2

222222n(n1)(2n1)6.

第一讲 计算综合 刘强老师整理

=1+2+3+4+5+„+99+1+2+3+4+5+„+99 =

9910019969910022

2

2

2

2

2

=328350+4950 =333300．

5．计算下列式子的值：

0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.810.0

【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+24+3×5+46+„+9799+98×100。再除以100．

方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． 0.1×0.3+0.20.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.810.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+„+97×99+98×100)÷100

=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+„+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+„+97×98+98×99)+(1+2+3+4+„+97+98)]÷100 =(

13×98×99×100+

12×98×99)÷100

=3234+48.51 =3282.51

方法二：可以使用平方差公式进行计算．

0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+„+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+„+97×99+98×l00)÷100

222222

=(1-1+2-1+3-1+4-1+5-1+„+99-1)÷100

122222

=(1+2+3+4+5+„+99-99)÷100 =(

16×99×100×199-99)÷100

=16.5×199-0.99

=16.5×200-16.5-0.99 =3282.51

评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．

1×2+2×3+3×4+„+(n-1)×n ==

1313×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+„+(n-1)×n×3]

×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+„+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}

123231234342345

(n1)n(n2)(n1)n(n1)=311=(n1)n(n1)

3

第一讲 计算综合 刘强老师整理

6.计算下列式子的值：

24(12314512021)(1121) 22222121210121114151

【分析与解】 虽然很容易看出

123345,可是再仔细一看，并没有什么效果，

因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式1+2+3+„+n=

2

2

2

2

16×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有

1123n22226n(n1)(2n1).

减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?

1111)(22) 2222234520211121210111111)6() =24(23452021123235101112111111)24() =24(2345202124346520222124(11=24(=24(123112431)(1451465)(12021)

20222111)

24462022111) =6(122310111=6(1)

1160=

11

7．计算下列式子的值：

(1(141215131415119801211980122)(1621213114215111122)()1980123451980121)(121)(15198012)(121980121314151198012

)

【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.

2

显然1+1=2;

(1(1(1112121212)()(1)4;2221313)(14212112112)()(1)6;3323121314)(2

)(2131121112)()(1)8;44234第一讲 计算综合 刘强老师整理

所以原式=198012×2=396024．

习题

计算17×18+18×19+19×20+„+29×30的值．

提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式. 答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.