2016届全国100所名校高考数学模拟示范卷(理科)(七)解析版

2016年全国100所名校高考数学模拟示范卷（理科）（七）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。 1．（5分）设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁UB）={x|1＜x＜2}，则集合B可以是（ ）

A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x≤1} D．{x|x＞2} 2．（5分）设复数z=

+（1﹣i），则z的模为（ ）

2

A． B． C．2 D． 3．（5分）cos20°sin40°+cos70°sin50°等于（ ） A．cos20°

B．sin20°

C．﹣ D．

|x|

4．（5分）（2015•株洲一模）下列函数中与函数y=﹣3奇偶性相同且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（ ） A．y=﹣

B．y=log2|x| C．y=1﹣x D．y=x﹣1

2

3

5．（5分）（2015秋•桂林期末）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）

A．﹣8 B．3 C．5 D．7

6．（5分）（2014春•鹰潭期末）国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ） A．

B．

C． 、

D．、

=﹣3

，则以下等式

7．（5分）如图，成立的是（ ）

的终点A、B、C在一条直线上，且

A．C．

=﹣=

﹣+

B． D．

=﹣=

+2﹣2

8．（5分）如图是一个几何体的三视图，其侧（左）视图中的弧线是半圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．20+4π B．24+3π C．20+3π D．24+4π 9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出值x∈（16，25），则输入x的值可以是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

525

10．（5分）若将函数f（x）=x表示为f（x）=a0+a1（2+x）+a2（2+x）+…a5（2+x），其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=（ ） A．80 B．﹣80 C．﹣40 D．40

11．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜函数f（x）的图象向左平移式为（ ）

）的图象如图所示，将

个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析

A．g（x）=sin（2x﹣

） B．g（x）=sin（2x+）

） C．g（x）=﹣sin（2x﹣）

D．g（x）=sin（4x+

12．（5分）（2014秋•黄山期末）已知直线交于P，Q两点，若点F

为该椭圆的左焦点，则A．﹣

B．﹣

取最小值的t值为（ ） C．

D．

二、填空题：本大题共4小题。每小题5分.

13．（5分）不等式x+＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立的条件是 ． 14．（5分）若函数f（x）=|3﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是 ． 15．（5分）已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点

x

F1并且垂直于x轴的直线为l，若过原点O和F2并和直线l相切的圆的半径等于点F2到双曲线C的两条渐近线的距离之和，则双曲线C的离心率为 ． 16．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB=CD=1，AD=BD的长为 ．

BC=2，∠A+∠C=

．则

三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤

17．（12分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

（1﹣Sn+1）（n∈N），求数列{

*

*

}的前n项和Tn．

18．（12分）某市于今年1月1日起实施小汽车限购．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示： 申请意向 摇号 竞价（人数） 合计 年龄 电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数） 50 100 50 200 30岁以下

（含30岁） 30至50岁 50 150 300 500 （含50岁） 100 150 50 300 50岁以上 200 400 400 1000 合计 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数； （2）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为X，求X的分布列和数学期望．

19．（12分）（2016•日照一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面． （1）证明：BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

2

20．（12分）已知抛物线C：x=4y，F为抛物线C的焦点，设P为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB． （1）在直线l上取点P（4，2），求直线AB的方程； （2）当点P在直线l上移动时，求|AF|+|BF|的最小值．

21．（12分）（2016•成都模拟）已知函数f（x）=﹣ax+（1+a）x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）．若存在区间[m，n]⊆[，+∞），使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的取值范围．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE=BA•BF．求证： （1）△ADB∽△EFB； （2）∠DFB+∠DBC=90°．

2

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知曲线C的参数方程为

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半

+θ）=2

轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（

（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方

程．

（2）若射线θ=

与l的交点分别为A，射线θ=﹣

与l的交点分别为B，求△OAB的面

积．

[选修4-5：不等式选讲] 24．（2014•兴庆区校级四模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=2，解不等式f（x）≥2；

（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围．

2016年全国100所名校高考数学模拟示范卷（理科）（七）

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．（5分）设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁UB）={x|1＜x＜2}，则集合B可以是（ ）

A．{x|﹣2＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x≤1} D．{x|x＞2} 【分析】在画出数轴标出集合关系，即可判断选项．

【解答】解：设全集U=R，集合A={x|﹣1＜x＜2}，A∩（∁UB）={x|1＜x＜2}， 可知集合B={x|x≤1}．

故选：C．

【点评】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．

2．（5分）设复数z=

+（1﹣i），则z的模为（ ）

2

A． B． C．2 D．

【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为i，从而求得它的模． 【解答】解：z=∴|z|=

+（1﹣i）==

，

2

+1﹣1﹣2i=1﹣i﹣2i=1﹣3i，

故选：A．

【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 3．（5分）cos20°sin40°+cos70°sin50°等于（ ） A．cos20°

B．sin20°

C．﹣ D．

【分析】利用两角和的正弦函数公式化简后即可得答案．

【解答】解：cos20°sin40°+cos70°sin50°=cos20°sin40°+sin20°cos40°=sin（20°+40°）=sin60°=故选：D．

【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．

4．（5分）（2015•株洲一模）下列函数中与函数y=﹣3奇偶性相同且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（ ） A．y=﹣

B．y=log2|x| C．y=1﹣x D．y=x﹣1

|x|

2

3

|x|

【分析】先判定函数y=﹣3的奇偶性以及在（﹣∞，0）上的单调性，再对选项中的函数进行判断，找出符合条件的函数．

【解答】解：∵函数y=﹣3是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数， ∴对于A，y=﹣是奇函数，不满足条件；

对于B，y=log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上是减函数，∴不满足条件；

2

对于C，y=1﹣x是偶函数，且在（﹣∞，0）上是增函数，∴满足条件；

3

对于D，y=x﹣1是非奇非偶的函数，∴不满足条件． 故选：C．

【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性问题，解题时应对选项中的函数进行判定，从而得出正确的结论，是基础题．

|x|

5．（5分）（2015秋•桂林期末）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为（ ）

A．﹣8 B．3 C．5 D．7

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=3x+y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=﹣2 时，z取得最大值．

【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，

得到如图的△ABC及其内部， 其中A（ 3，﹣2），

设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值 ∴z最大值=F（ 3，﹣2）=7 故选D．

【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

6．（5分）（2014春•鹰潭期末）国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，．假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】根据甲、乙、丙去北京旅游的概率，得到他们不去北京旅游的概率，至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游，根据三人的行动相互之间没有影响，根据相互事件和对立事件的概率得到结果．

【解答】解：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，． ∴他们不去北京旅游的概率分别为，，， 至少有1人去北京旅游的对立事件是没有人取北京旅游 ∴至少有1人去北京旅游的概率为P=1﹣××=．

故选B

【点评】本题考查相互事件和对立事件的概率，相互事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．

7．（5分）如图，成立的是（ ）

、

、

的终点A、B、C在一条直线上，且

=﹣3

，则以下等式

A．C．

=﹣=

﹣+

B． D．

=﹣=

+2﹣2

【分析】利用向量的三角形法则即可得出． 【解答】解：如图所示， ∵∴

=﹣3

， =﹣3

，

可得：=﹣+．

故选：A．

【点评】本题考查了向量的三角形法则、线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图是一个几何体的三视图，其侧（左）视图中的弧线是半圆，则该几何体的表面积是（ ）

A．20+4π B．24+3π C．20+3π D．24+4π

【分析】由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体，下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半，由此能求出该几何体的表面积．

【解答】解：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体， 下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半， ∴该几何体的表面积S=5×2+π×1+

2

2

=20+3π．

故选：C． 【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题． 9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出值x∈（16，25），则输入x的值可以是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，n的值，当n=4时，不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值，由x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7∈（16，25），结合各个选项即可得解．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得 n=1

满足条件n≤3，执行循环体，x=2x+1，n=2

满足条件n≤3，执行循环体，x=2（2x+1）+1，n=3

满足条件n≤3，执行循环体，x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4 不满足条件n≤3，退出循环，输出x的值．

∵由题意可得：x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7∈（16，25）， ∴可解得：＜x＜，对比各个选项，则输入x的值可以是2．

故选：B． 【点评】本题主要考查了程序框图和算法的应用，模拟执行程序框图，得到退出循环时x=2[2（2x+1）+1]+1=8x+7是解题的关键，属于基础题．

10．（5分）若将函数f（x）=x表示为f（x）=a0+a1（2+x）+a2（2+x）+…a5（2+x），其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=（ ） A．80 B．﹣80 C．﹣40 D．40

5252

【分析】由x=a0+a1（2+x）+a2（2+x）+…a5（2+x），对两边三次求导：5×4×3x=3×2

2

×1×a3+4×3×2×a4（2+x）+5×4×3×（2+x），令x=﹣2即可得出．

525

【解答】解：x=a0+a1（2+x）+a2（2+x）+…a5（2+x），

22

对两边三次求导：5×4×3x=3×2×1×a3+4×3×2×a4（2+x）+5×4×3×（2+x），

2

令x=﹣2时，6a3=60×（﹣2），解得a3=40． 故选：D．

【点评】本题考查了导数的应用、二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

5

2

5

11．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜函数f（x）的图象向左平移式为（ ）

）的图象如图所示，将

个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的解析

A．g（x）=sin（2x﹣

） B．g（x）=sin（2x+）

） C．g（x）=﹣sin（2x﹣

）

D．g（x）=sin（4x+

【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式． 【解答】解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜可得A=1，

=

﹣

，求得ω=2． +φ=π，∴φ=

，f（x）=sin（2x+

）．

）+

]

）的图象，

再根据五点法作图可得2•

将函数f（x）的图象向左平移=sin（2x+

）=sin（﹣2x+

个单位长度得到函数g（x）=sin[2（x+）=﹣sin（2x﹣

）的图象，

故选：C．

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，还考查了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

12．（5分）（2014秋•黄山期末）已知直线

交于P，Q两点，若点F

为该椭圆的左焦点，则A．﹣

B．﹣

取最小值的t值为（ ） C．

D．

，即可求得结论．

【分析】确定F的坐标，设出P，Q的坐标，表示出【解答】解：由题意，F（﹣4，0） 由椭圆的对称性，可设P（t，s），Q（t，﹣s），则

=（t+4，s）•（t+4，﹣s）=（t+4）﹣s=

∴t=﹣

时，

取最小值

22

故选B．

【点评】本题考查椭圆的性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共4小题。每小题5分.

13．（5分）不等式x+＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立的条件是 【分析】x∈（0，+∞），则不等式x+＞1化为：a＞x﹣x，由于x﹣x=，即可得出．

【解答】解：∵x∈（0，+∞）， ∴不等式x+＞1化为：a＞x﹣x， ∵x﹣x=

2

2

2

2

． +≤

+≤，当x=时取等号，

不等式x+＞1（a∈R）在x∈（0，+∞）上恒成立， ∴a＞． 故答案为：

．

【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

14．（5分）若函数f（x）=|3﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是 0＜b＜2． ．

xx

【分析】由函数f（x）=|3﹣2|﹣b有两个零点，可得|3﹣2|=b有两个零点，从而可得函

x

数y=|3﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围．

x

【解答】解：由函数f（x）=|3﹣2|﹣b有两个零点，

x

可得|3﹣2|=b有两个零点，

x

从而可得函数y=|3﹣2|函数y=b的图象 有两个交点，

结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件， 故答案为：0＜b＜2．

x

【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．

15．（5分）已知双曲线C：

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点

F1并且垂直于x轴的直线为l，若过原点O和F2并和直线l相切的圆的半径等于点F2到双曲线C的两条渐近线的距离之和，则双曲线C的离心率为

．

【分析】求出双曲线的焦点和渐近线方程，运用点到直线的距离公式和直线与圆相切的条件：d=r，可得4b=3c，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：双曲线C：

﹣

=1焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），

渐近线方程为y=±x，

可得点F2到双曲线C的两条渐近线的距离的和为2•

=2b，

过原点O和F2并和直线l相切的圆的半径为r=+c=由题意可得2b=可得c=故答案为：

2

2

，

，即9c=16b=16（c﹣a），

．

2222

a，即有e==

．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的焦点和渐近线方程，以及直线

和圆相切的条件：d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

16．（5分）如图，已知四边形ABCD中，AB=CD=1，AD=BD的长为

．

BC=2，∠A+∠C=．则

【分析】利用两次余弦公式，求得3cosA+sinA=1，将∠C=值，可求得BD．

【解答】解：在△ABD中由余弦定理可知：BD=AB+AD﹣2AB•AD•cosA，

222

在△CDB中与余弦定理可知：BD=DC+BC﹣2AB•AD•cosC， 将AB=CD=1，AD=2cosA﹣

cos（

BC=2代入，整理得：2cosA﹣﹣A）=1，

cosC=1，∠A+∠C=

，

2

2

2

∠A，代入求得cosA=的

整理得：3cosA+sinA=1，

22222

两边平方（3cosA+sinA）=9cosA+6cosAsinA+sinA=cosA+sinA， 整理得：sinA=﹣cosA=， BD=BD=

，

． ，

，

故答案为：

【点评】本题考查余弦定理及三角恒等变换，属于中档题．

三、解答题:解答写出文字说明、证明或验算步骤

17．（12分）已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+an=1（n∈N）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

（1﹣Sn+1）（n∈N），求数列{

*

*

}的前n项和Tn．

【分析】（1）当n=1时可求得a1=，当n≥2时，化简可得an=an﹣1，从而求通项公式；

（2）化简bn=法求其和．

（1﹣Sn+1）=n+1，从而化简

=﹣，从而利用裂项求和

【解答】解：（1）当n=1时，S1+a1=1， 故a1=；

当n≥2时，Sn+an=1，Sn﹣1+an﹣1=1， 故an+an﹣an﹣1=0， 故an=an﹣1，

故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， 故an=•（）

n﹣1

=；

，

（2）由（1）知，1﹣Sn+1=•an+1=故bn=故

=

（1﹣Sn+1）=n+1，

=

﹣

， ﹣

）

故Tn=（﹣）+（﹣）+…+（=﹣

=

．

【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及等比数列的性质应用，同时考查了对数运算的应用． 18．（12分）某市于今年1月1日起实施小汽车限购．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示： 申请意向 摇号 竞价（人数） 合计 年龄 电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数） 30岁以下 50 100 50 200 （含30岁） 30至50岁 50 150 300 500 （含50岁） 100 150 50 300 50岁以上 200 400 400 1000 合计 （1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；

（2）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为X，求X的分布列和数学期望．

【分析】（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，每个人被抽到的概率为由此能求出各种意向人数．

（2）根据题意得出X～B（4，），由此能求出X的分布列和E（X）． 【解答】解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人， ∵30至50岁的有500人， ∴每个人被抽到的概率为p1=

=

，

=1，

，

根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×非电动小汽车，摇号的有300×

=6．

（2）根据题意得出：样本总人数1000人，电动小汽车摇号的有200人， 非电动小汽车摇号的有400人，竞价的有400人，总共有1000人，

用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p=

，

摇号申请电动小汽车意向的人数记为X，X=0，1，2，3，4，且X～B（4，），P（X=0）=

=

，

===，

， ， ，

P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=P（X=4）=∴X的分布列为： X 0 P E（X）=

+ 1 +

+3×

2 +4×

3 =．

4 【点评】本题考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．

19．（12分）（2016•日照一模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面． （1）证明：BC⊥AB1；

（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）要证明BC⊥AB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以CO垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；

（Ⅱ）分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，求出

，平面ABC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可得出结论．

【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形， D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=， 所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B=

=

，

在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，

所以∠AB1B=∠ABD，

又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°， 所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°， 即BD⊥AB1，

又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1， 所以CO⊥AB1

所以，AB1⊥面BCD， 因为BC⊂面BCD，

所以BC⊥AB1．

（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣0），D（又因为所以0，﹣

，0，0）， =2=（﹣），

，所以，

，0），

=（0，

，

），

=（

，

，

），

=（

，

，0），B（﹣

，0，0），C（0，0，

），B1（0，

，

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，

设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为

，

．…（12分）

【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．

20．（12分）已知抛物线C：x=4y，F为抛物线C的焦点，设P为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB． （1）在直线l上取点P（4，2），求直线AB的方程； （2）当点P在直线l上移动时，求|AF|+|BF|的最小值． 【分析】（1）设切线斜率为k，联立方程组，令判别式△=0解出k，利用导数的几何意义得出切线方程，求出切点A，B的坐标，从而得到直线AB的方程； （2）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），根据（1）的结论得出AB的方程，联立抛物线方程得出y1+y2，于是AF|+|BF|=y1+y2+2，得出|AF|+|BF|关于x0的函数，求出函数的最小值即可． 【解答】解：（1）设切线方程为y﹣2=k（x﹣4）， 联立方程组

2

2

，消元得x﹣4kx+16k﹣8=0，

，k2=2﹣

．

2

∴△=16k﹣4（16k﹣8）=0，解得k1=2+由x=4y得y=

2

，∴y′=．

，x2=2k2=4﹣2

）．

．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=2k1=4+2

∴A（4+2，6+4），B（4﹣2，6﹣4∴直线AB的斜率为kAB=

=2，

∴直线AB的方程为y﹣6﹣4=2（x﹣4﹣2），即2x﹣y﹣2=0． （2）由抛物线定义可知|AF|=y1+1，|BF|=y2+1． 设P（x0，y0），由（1）可知直线AB方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．

联立方程组

2

，消元得y+（2y0﹣x0）y+y0=0．

222

∴y1+y2=x0﹣2y0，

2

∴|AF|+|BF|=x0﹣2y0+2，

∵P（x0，y0）在直线l：x﹣y﹣2=0上， ∴y0=x0﹣2．

22

∴|AF|+|BF|=x0﹣2（x0﹣2）+2=（x0﹣1）+5． ∴当x0=1时，|AF|+|BF|取得最小值5．

【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

21．（12分）（2016•成都模拟）已知函数f（x）=﹣ax+（1+a）x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间；

（Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）．若存在区间[m，n]⊆[，+∞），使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的取值范围． 【分析】（Ⅰ）对f（x）进行求导，讨论a=1，a＞1.0＜a＜1，利用导数为负，求函数的减区间；

（Ⅱ）要求存在区间，使f（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，将其转化为g（x）=k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，函数f（x）=﹣ax+（1+a）x﹣lnx的导数为 f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣

当a=1时，f′（x）≤0，f（x）递减；

当a＞1时，1＞，f′（x）＜0，可得x＞1或0＜x＜； 当0＜a＜1时，1＜，f′（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞． 综上可得，a=1时，f（x）的减区间为（0，+∞）； a＞1时，f（x）的减区间为（1，+∞），（0，）； 0＜a＜1时，f（x）的减区间为（，+∞），（0，1）； （Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）=x﹣xlnx， 令g′（x）=2x﹣lnx+1（x＞0）， 则g′（x）=2﹣=

，（x＞0），

2

2

2

，（x＞0），

当x≥时，g′（x）≥0，g（x）为增函数；

g（x）在区间[m，n]⊆[，+∞）递增，

∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]， 所以g（m）=k（m+2）﹣2，g（n）=k（n+2）﹣2，≤m＜n， 则g（x）=k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根，

k=，令F（x）==，

求导得，F′（x）=

2

（x≥），

令G（x）=x+3x﹣2lnx﹣4（x≥） 则G′（x）=2x+3﹣=

，

所以G（x）在[，+∞）递增，G（）＜0，G（1）=0， 当x∈[，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0， 当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0， 所以F（x）在[，1）上递减，在（1，+∞）上递增， ∴F（1）＜k≤F（）， ∴k∈（1，

]．

【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原

函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用了分类讨论和转化的思想，此题是一道中档题．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且满足BD•BE=BA•BF．求证： （1）△ADB∽△EFB； （2）∠DFB+∠DBC=90°．

【分析】（1）利用BD•BE=BA•BF，可得

=

，从而可知△ADB∽△EFB，即可得到结

论；

（2）先证明E、F、A、D四点共圆，从而可得∠DFB=∠AEB，利用AB是⊙O的直径，可证结论成立． 【解答】证明：（1）连接AD，则∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°

在△ADB和△EFB中， ∵BD•BE=BA•BF， ∴

=

…（2分）

又∠DBA=∠EBF，

∴△ADB∽△EFB．…（5分）

（2）在△ADB中，∠ADB=∠ADE=90°

又∠EFB=90°∴E、F、A、D四点共圆； …（7分） ∴∠DFB=∠AEB，…（9分）

又AB是⊙O的直径，则∠ACB=90°，

∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°．…（10分）

【点评】本题考查三角形的相似，考查四点共圆，掌握三角形相似的判定方法是关键，属于中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．已知曲线C的参数方程为

（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半

+θ）=2

轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（

（1）将曲线C上各点的纵坐标伸长为原来的两倍，得到曲线C1，写出曲线C1的极坐标方

程．

（2）若射线θ=积．

与l的交点分别为A，射线θ=﹣与l的交点分别为B，求△OAB的面

【分析】（1）设曲线C1上的任意一点（x，y），则

在曲线C上，可得参数方程：

，消去参数可得直角坐标方程，利用互化公式可得极坐标方程．

（2）射线θ=

与射线θ=﹣

分别代入直线l的极坐标方程可得ρ1，ρ2，利用△OAB的

面积S=ρ1•ρ2sin

即可得出．

在曲线C上，

【解答】解：（1）设曲线C1上的任意一点（x，y），则

∴，可得参数方程：

2

2

，

消去参数可得直角坐标方程：x+y=4．

2

化为极坐标方程：ρ=4，即ρ=2． （2）射线θ=可得ρ1=

代入直线l的极坐标方程ρsin（

=

=4

．

+θ）=2

，

射线θ=﹣可得ρ2=

代入直线l的极坐标方程为ρsin（

=

=4

+θ）=2．

，

∠AOB=．

=×

×4（

+1）×

=8

．

∴△OAB的面积S=ρ1•ρ2sin

【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其应用、极坐标的应用、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

[选修4-5：不等式选讲] 24．（2014•兴庆区校级四模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=2，解不等式f（x）≥2；

（2）若a＞1，∀x∈R，f（x）+|x﹣1|≥1，求实数a的取值范围． 【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）≥2的解集；

（2）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，根据一次函数的单调性可得函数在R上先减后增，

得到函数的最小值为f（1）+|1﹣1|=f（1）=a﹣1，而不等式f（x）+|x﹣1|≥1解集为R即a﹣1≥1恒成立，解之即可得到实数a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=2时，，

由于f（x）≥2，

则①当x＜1时，﹣2x+3≥2，∴x≤； ②当1≤x≤1时，1≥2，无解； ③当x＞2时，2x﹣3≥2，∴x≥．

综上所述，不等式f（x）≥2的解集为：（﹣∞，]∪[，+∞）；

（2）令F（x）=f（x）+|x﹣1|，则，

所以当x=1时，F（x）有最小值F（1）=a﹣1，

只需a﹣1≥1，解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，+∞）． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力．第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题．