最短路线1

1 问题的理论依据

最短路径问题的理论依据是平面几何中两个最基本的公理，1．两点之间，线段最短；2．垂线段最短．前者是点与点之间的最短路径，后者是点与直线之间的最短路径． 2 两个经典设计的本质是基本理论加几何变换

2．1 （2000年湖北省初中数学竞赛选拔赛试题）如图，ABCD -A' B'C'D'为长方体，AA'＝50cm，AB＝40cm，AD＝30cm，把上、下底面都等分成3×4个小正方形，其边长均为10cm，得到点E、F、C、H和E'、F'、G'、H'．假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面E点沿表面爬行至上底面G'点至少要花时间 秒．

图1

蚂蚁从下底面E点沿表面爬行至上底面G'点至少要经过三个面，我们将相关的表面展开，利用两点之间，线段最短的原理，可以得到EG'＝202802＝2017和EG'＝

1 102902＝1082．比较1082与2017的大小得最短时间为20171017．2此题将两点设置在立体图形的不同表面，我们将立体图形展开成平面图形，把问题转化到基本公理中来．

2．2 将军饮马问题：如图2在河l的同侧有军营A，草场B，军马在B处吃草后到河边喝水，再回军营，在河l上找一喝水点P，使军马从草场经河边回军营的总路径长最短．

AABBlPlB'

图2 图3

此问题难在点A，点B在直线l的同侧，我们可以利用轴对称变换将点B反射到直线l的另一侧点B＇，问题转化为在直线l上找一点P，使PA＋PB＇最小，只要连接AB＇即可（如图3）．轴对称变换加基本公理解决了问题． 3 对传统问题的新思考

3．1 2005年贵阳市中考题引发的争议

文【1】分析了“蚂蚁从几何体的某点出发，爬行到另一点或某直线上，求蚂蚁爬行的最短距离的问题”，认为“解决这类问题通常是把几何体展开成平面图形，再利用‘两点之间线段最短’或‘点到直线垂线段最短’等性质，找出蚂蚁的最短路线”．文【1】列举五道例题佐证观点，其中例1列举了2005年贵阳市中考题：如图4，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为4cm，一只蚂蚁从A出发沿着圆柱体的表面爬到点C的最短路程大约是( ).

A. 6cm B.12cm C.13cm D.16cm

B Ｃ

A 图4

运用文【1】的方法得出答案C．

文【1】的解法引起质疑，文【2】经计算发现蚂蚁沿圆柱母线先从A到B，再沿底面直径到C，路径更短．答案为B．

那么，什么情况下用文【1】的方法？什么情况下用文【2】的方法？这一有趣的问题引起命题专家的关注，2007年浙江衢州一道中考题对该问题作了研究．该题在列举了两个特例之后追问，“在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．”经计算，我们可以得出此类问

4h时，沿

244h侧面走的最短路径长l1等于先沿母线从A到B，再沿底面直径到C的路径长l2；当r＞244h时，l1＞l2；当r＜2时，l1＜l2．

4题的完美解答，路径的选择取决于圆柱的底面半径r和高h的关系，当r3．2

2008年两道中考题的分析

无独有偶，2008年中考中，两个地区同时以铺水管的最短路径为背景，设计了富有创意的中考题，下面我们来剖析这两题，看看此类经典的传统问题在当今引起怎样了的新思考．

2008年陕西省中考题：

某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处．

如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的23km处．

为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：

方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；

方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；

方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．

综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？

北 东

B A O 30° C 乙村 D M E O 30° F A C 乙村 D M E B F 图② 图①

本题有两个亮点，使传统的问题焕发出新的勃勃生机．其一，在方案三中，若乙村抽

象成一点，则就是将军饮马问题，等同于方案二，但本题将将军饮马问题中的一个点换成线段，巧妙地将轴对称变换的解题思想与点到直线的距离的问题背景融合在一起，对学生的能力提出了挑战．

其二，本题的三个方案涉及到最短路径问题多种情况，方案一是分别找点与直线，点与线段上的点之间的最小距离，方案二是将军饮马问题，方案三是将军饮马问题的变式．题目没有停留在传统的作图上，而是设置一些数据，要学生比较最佳方案，学生须计算各种方案的长度，比较大小，或者运用直角三角形、全等三角形等知识比较大小，一个传统的作图问题演化成了涉及数学多个知识的综合题．既显示了传统问题的张力，有体现了编题者的匠心．

2008河北中考题：

在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB＝akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水． 方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1＝PB＋BA(km)（其中BP⊥l于点P）；图②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2＝PA＋PB(km)(其中点A`与点A关于l对称，A`B与l相较于点P）． A A A B B B K l l l C C P P P

图① A A 图② 图③

观察计算

（1）在方案一中，d1＝ km（用含a的式子表示）；

（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图③所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2＝ km（用含a的式子表示）． 方法指导 探索归纳

当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们（1）①当a＝4时，比较大小：d1 d2；

的平方进行比较：

②当a＝6时，比较大小：d1 d； mn2(mn)(mn)，mn0， 2（2）请你参考右边方框中的方法指导， (m2n2)与(mn)的符号相同． 22就a（当a＞1时）的所有取值情况进 当mn0时，mn0，即mn； 22当mn0时，mn0，即mn； 行分析，要使铺设的管道长度较短，

22当mn0时，mn0，即mn； 应选择方案一还是方案二？

本题也有两个亮点，其一，本题提供的两个方案实际上将我们的视野从将军饮马问题转向对最短路径问题作更一般的审视，直线l上取一点P，在点P和直线同侧两点A，B之间寻找一条最短路径，分三种情况讨论：1，从A出发，途径点P到达点B（如图①），为将军饮马问题；2，从A出发，途径点B到达点P（如图②），可直接运用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”；3，从B出发，途径点A到达点P（如图③），同情况2．

ABBABAPPP

图① 图② 图③

其二，比较三种情况中最短路径的大小，发现结果与A，B两点及直线l的位置有关．对于后面两种情况，由于线段AB一致，只须比较A，B两点与直线l的距离，若A点到直线l的距离较小，则情况3路径较短，反之，情况2路径较短，本题选取了较短是那种情况作

为方案一，与将军饮马问题（方案二）进行比较，并以插入文本框的形式提供方法指导，构思精巧，很有创意．

借用本题提供的方法，我们可以得出更一般的结论，设点A，B与直线l的距离分别为a，b，AB=c，如图，则d12＝（AB＋BD）2＝（c＋b）2，d22＝A`B2＝c2－（a－b）2＋（a＋b）2＝c2＋4ab，d12－d22＝（c＋b）2－(c2＋4ab) ＝b2＋2cb－4ab＝b(b＋2c－4a) ．当c＝2a－

111b时，d1＝d2；当c＞2a－b时，d1＞d2；当c＜2a－b时，d1＜d2． 222AcaEPBbDA'

参考文献 1 2

杨淑霞．爬行中的数学问题[J]．中学生数学(月下)，2006，5 孔德鹏．商榷[J]．中学生数学(月下)，2006，11