2012年天津市高考数学试卷(理科)

2012年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题

1．（3分）i是虚数单位，复数A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i

=（ ）

D．﹣2﹣i

2．（3分）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（3分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（ ）

A．﹣1 B．1 C．3 D．9

4．（3分）函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

5．（3分）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（ ） A．10 B．﹣10

C．40 D．﹣40

6．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，

第1页（共27页）

C=2B，则cosC=（ ） A．

B．

C．

D．

7．（3分）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足

，λ∈R．若

A． B．

C．

=﹣，则λ=（ ） D．

，

8．（3分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）

2=1

相切，则m+n的取值范围是（ ）

，1+，2+2

] B．（﹣∞，1﹣

]∪[1+

，+∞）

，+∞）

A．[1﹣C．[2﹣2

] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2

二、填空题

9．（3分）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校．

10．（3分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 m3．

11．（3分）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ，n= ． 12．（3分）已知抛物线的参数方程为

（t为参数），其中p＞0，焦点为

F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= ．

第2页（共27页）

13．（3分）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为 ．

14．（3分）已知函数y=则实数k的取值范围是 ．

三、解答题

15．已知函数f（x）=sin（2x+

的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，

）+sin（2x﹣）+2cos2x﹣1，x∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间[

第3页（共27页）

]上的最大值和最小值．

16．现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

第4页（共27页）

17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1． （1）证明：PC⊥AD；

（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；

（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

第5页（共27页）

18．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）．

第6页（共27页）

19．设椭圆

B两点，O为坐标原点．

的左右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，

（1）若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；

．

（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞

第7页（共27页）

20．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0． （1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值； （3）证明：

（n∈N*）．

第8页（共27页）

2012年天津市高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题

1．（3分）（2012•天津）i是虚数单位，复数A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i

D．﹣2﹣i

=（ ）

【分析】由题意，可对此代数分子分母同乘以分母的共轭，整理即可得到正确选项

【解答】解：故选B

2．（3分）（2012•天津）设φ∈R，则“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】直接把φ=0代入看能否推出是偶函数，再反过来推导结论即可． 【解答】解：因为φ=0时，f（x）=cos（x+φ）=cosx是偶函数，成立； 但f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数时，φ=kπ，k∈Z，推不出φ=0． 故“φ=0”是“f（x）=cos（x+φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件． 故选：A．

3．（3分）（2012•天津）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣25时，输出x的值为（ ）

第9页（共27页）

A．﹣1 B．1 C．3 D．9

【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．

【解答】解：当输入x=﹣25时， |x|＞1，执行循环，x=|x|=4＞1，执行循环，x=|x|=1，退出循环，

输出的结果为x=2×1+1=3． 故选：C．

4．（3分）（2012•天津）函数（fx）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

﹣1=4； ﹣1=1，

【分析】根据函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，f（0）f（1）＜0，可得函数在区间（0，1）内有唯一的零点

【解答】解：由于函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内单调递增，又f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，

第10页（共27页）

所以f（0）f（1）＜0，

故函数f（x）=2x+x3﹣2在区间（0，1）内有唯一的零点， 故选B．

5．（3分）（2012•天津）在（2x2﹣）5的二项展开式中，x项的系数为（ ） A．10 B．﹣10

C．40 D．﹣40

【分析】由题意，可先由公式得出二项展开式的通项Tr+1=

得出x项的系数

【解答】解：（2x2﹣Tr+1=

令10﹣3r=1，得r=3 故x项的系数为故选D

6．（3分）（2012•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，则cosC=（ ） A．

B．

C．

D．

=，再令10﹣3r=1，得r=3即可

）

5

的二项展开式的通项为

=

=﹣40

【分析】直接利用正弦定理以及二倍角公式，求出sinB，cosB，然后利用平方关系式求出cosC的值即可．

【解答】解：因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知8b=5c，C=2B，

所以8sinB=5sinC=5sin2B=10sinBcosB，所以cosB=，B为三角形内角，所以B∈（0，

）．C

． =．

=

，

第11页（共27页）

所以sinB=

所以sinC=sin2B=2×

cosC=故选：A．

=．

7．（3分）（2012•天津）已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足

，λ∈R．若

A． B．

C．

=﹣，则λ=（ ） D．

，

【分析】根据向量加法的三角形法则求出

进而根据数量积的定义求出

求出λ． 【解答】解：∵∴

，

，

，λ∈R

，

再根据

=﹣即可

∵△ABC为等边三角形，AB=2 ∴

=

+λ

+（1﹣λ）

=2×2×cos60°+λ×2×2×cos180°+（1﹣λ）×2×2×cos180°+λ（1﹣λ）×2×2×cos60°

=2﹣4λ+4λ﹣4+2λ﹣2λ2， =﹣2λ2+2λ﹣2 ∵

=﹣

∴4λ2﹣4λ+1=0 ∴（2λ﹣1）2=0 ∴故选A

8．（3分）（2012•天津）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（ ） A．[1﹣

，1+] B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）

第12页（共27页）

C．[2﹣2，2+2] D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）

【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径r，由直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后利用基本不等式变形，设m+n=x，得到关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为m+n的范围．

【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，

∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d=

=1，

整理得：m+n+1=mn≤设m+n=x，则有x+1≤

，

，即x2﹣4x﹣4≥0，

，x2=2﹣2

， ）≥0，

∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2∴不等式变形得：（x﹣2﹣2解得：x≥2+2

或x≤2﹣2

）（x﹣2+2，

则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2故选D

二、填空题

]∪[2+2，+∞）．

9．（3分）（2012•天津）某地区有小学150所，中学75所，大学25所．先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取 18 所学校，中学中抽取 9 所学校．

【分析】从250所学校抽取30所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为3：25，得到每个个体被抽到的概率，根据三个学校的数目乘以被抽到的概率，分别写出要抽到的数目，得到结果．

【解答】解：某城地区有学校150+75+25=250所， 现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取30所， 每个个体被抽到的概率是

=

，

第13页（共27页）

∵某地区有小学150所，中学75所，大学25所． ∴用分层抽样进行抽样，应该选取小学故答案为：18，9．

10．（3分）（2012•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为 18+9π m3．

×150=18所，选取中学

×75=9所．

【分析】由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），下部为两个半径均为的球体．分别求体积再相加即可． 【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一个长方体，长、宽、高分别为6，3，1（单位：m），体积6×3×1=18． 下部为两个半径均为的球体，体积2×故所求体积等于18+9π 故答案为：18+9π

11．（3分）（2012•天津）已知集合A={x∈R||x+2|＜3}，集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，且A∩B=（﹣1，n），则m= ﹣1 ，n= 1 ．

【分析】由题意，可先化简A集合，再由B集合的形式及A∩B=（﹣1，n）直接作出判断，即可得出两个参数的值．

【解答】解：A={x∈R||x+2|＜3}={x∈R|﹣5＜x＜1}， 又集合B={x∈R|（x﹣m）（x﹣2）＜0}，A∩B=（﹣1，n）． 如图

第14页（共27页）

•（）3=9π

由图知m=﹣1，n=1， 故答案为﹣1，1．

12．（3分）（2012•天津）已知抛物线的参数方程为

（t为参数），其中p

＞0，焦点为F，准线为l．过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E．若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p= 2 ．

【分析】把抛物线的参数方程化为普通方程为y2=2px，则由抛物线的定义可得及|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形，设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m），把点M的坐标代入抛物线的方程可得 p=程可得p的值．

【解答】解：抛物线的参数方程为

（t为参数），其中p＞0，焦点为F，

．再由|EF|=|ME|，解方

准线为l，消去参数可得x=2p，

化简可得y2=2px，表示顶点在原点、开口向右、对称轴是x轴的抛物线， 故焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．

则由抛物线的定义可得|ME|=|MF|，再由|EF|=|MF|，可得△MEF为等边三角形． 设点M的坐标为（3，m ），则点E（﹣，m）．

把点M的坐标代入抛物线的方程可得m2=2×p×3，即 p=再由|EF|=|ME|，可得 p2+m2=﹣6 （舍去）， 故答案为 2．

13．（3分）（2012•天津）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相

第15页（共27页）

．

，即 p2+6p=9+

+3p，解得p=2，或p=

交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为 ．

【分析】由相交弦定理求出FC，由相似比求出BD，设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD求解．

【解答】解：由相交弦定理得到AF•FB=EF•FC，即3×1=×FC，FC=2，在△ABD中AF：AB=FC：BD，即3：4=2：BD，BD=，

设DC=x，则AD=4x，再由切割线定理，BD2=CD•AD，即x•4x=（）2，x= 故答案为：

14．（3分）（2012•天津）已知函数y=

的图象与函数y=kx﹣2的图象恰

有两个交点，则实数k的取值范围是 （0，1）∪（1，4） ． 【分析】先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围． 【解答】解：y=

=

=

的图象

函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2） 在同一个坐标系下画出函数y=

的图象与函数y=kx﹣2的图象

第16页（共27页）

结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4） 故答案为：（0，1）∪（1，4）

三、解答题

15．（2012•天津）已知函数f（x）=sin（2x+∈R．

（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间[

]上的最大值和最小值．

）

）+sin（2x﹣

）+2cos2x﹣1，x

【分析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将（fx）=sin（2x++sin（2x﹣

）+2cos2x﹣1化为f（x）=

sin（2x+

），即可求得函数f（x）的

最小正周期；

（2）可分析得到函数f（x）在区间[上是减函数，从而可求得f（x）在区间[【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x•coscos2x•sin

+cos2x

]上是增函数，在区间[

，

]

]上的最大值和最小值． +cos2x•sin

+sin2x•cos

﹣

=sin2x+cos2x =

sin（2x+

），

第17页（共27页）

∴函数f（x）的最小正周期T=（2）∵函数f（x）在区间[数， 又f（﹣

）=﹣1，f（

）=

=π．

]上是增函数，在区间[

，

]上是减函

，f（）=1，

，最小值为﹣1．

∴函数f（x）在区间[

]上的最大值为

16．（2012•天津）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

【分析】依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），故P（Ai）=

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）；

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，利用互斥事件的概率公式可求；

（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．

【解答】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的人数的概率为

设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai（i=0，1，2，3，4），∴P（Ai）

第18页（共27页）

=

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为P（A2）=；

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B，则B=A3∪A4，

∴P（B）=P（A3）+P（A4）=

（3）ξ的所有可能取值为0，2，4，由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故P（ξ=0）=P（A2）=

P（ξ=2）=P（A1）+P（A3）=∴ξ的分布列是

ξ P

数学期望Eξ=

0

，P（ξ=4）=P（A0）+P（A4）=

2

4

17．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1． （1）证明：PC⊥AD；

（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；

（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

【分析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出

第19页（共27页）

•=0，

证出PC⊥AD．

（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解． （3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜关于h的方程求解即可．

解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．

（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解

（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可． 【解答】解法一：如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2）． （1）证明：易得AD． （2）解：

=（0，1，﹣2），

即

=（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为=

＞=cos30°=，得出

=（0，1，﹣2），=（2，0，0），于是•=0，所以PC⊥

（x，y，z），则

取z=1，则以=（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为=（1，0，0），于是cos＜

＞=

=

，sin＜

＞=．

=（

，﹣，h）．由

=（2，

所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为

（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得

﹣1，0），故cos＜＞===

所以

=cos30°=，解得h=，即AE=．

第20页（共27页）

解法二：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD， 又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC， 又PC⊂平面PAC， 所以PC⊥AD．

（2）解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=中，DH=正弦值为

．

=

，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH

=

．所以二面角A﹣PC﹣D的

，因此sin∠AHD=

（3）解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交， 设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角． 由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD=∠AFB=

．

，AB=

，sin∠FAB=sin135°=

，可得

，sin∠ADC=

，故sin

在△AFB中，由BF=

，

由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF=， 设AE=h，在RT△EAF中，EF=在RT△BAE中，BE=

=

=，

，

在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°， 由余弦定理得到，cos30°=解得h=即AE=

， ．

，

第21页（共27页）

18．（2012•天津）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4﹣b4=10． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，证明：Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）． 【分析】（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项． （2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；

第22页（共27页）

方法二：用数学归纳法证明其成立．

【解答】解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d， 由条件a4+b4=27，s4﹣b4=10， 得方程组

，解得

，

故an=3n﹣1，bn=2n，n∈N*．

（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an﹣1+23an﹣2+…+2na1； ①； 2Tn=22an+23an﹣1+…+2na2+2n+1a1； ②；

由②﹣①得，Tn=﹣2（3n﹣1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2 =

+2n+2﹣6n+2

=10×2n﹣6n﹣10；

而﹣2an+10bn﹣12=﹣2（3n﹣1）+10×2n﹣12=10×2n﹣6n﹣10； 故Tn+12=﹣2an+10bn（n∈N*）． 方法二：数学归纳法，

③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，﹣2a1+10b1=16，故等式成立， ④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=﹣2ak+10bk， 则当n=k+1时有，

Tk+1=ak+1b1+akb2+ak﹣1b3+…+a1bk+1 =ak+1b1+q（akb1+ak﹣1b2+…+a1bk） =ak+1b1+qTk

=ak+1b1+q（﹣2ak+10bk﹣12） =2ak+1﹣4（ak+1﹣3）+10bk+1﹣24 =﹣2ak+1+10bk+1﹣12．

即Tk+1+12=﹣2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立． ③④对任意的n∈N*，Tn+12=﹣2an+10bn成立．

19．（2012•天津）设椭圆

的左右顶点分别为A，B，点P在

第23页（共27页）

椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点． （1）若直线AP与BP的斜率之积为

，求椭圆的离心率；

．

，

（2）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞【分析】（1）设P（x0，y0），则即可求得椭圆的离心率；

，利用直线AP与BP的斜率之积为

（2）依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），则，进

一步可得，利用AP|=|OA|，A（﹣a，0），可求得，从

而可求直线OP的斜率的范围． 【解答】（1）解：设P（x0，y0），∴

①

∵椭圆的左右顶点分别为A，B，∴A（﹣a，0），B（a，0）

∴，

∵直线AP与BP的斜率之积为代入①并整理得∵y0≠0，∴a2=2b2 ∴∴

，∴

∴椭圆的离心率为；

（2）证明：依题意，直线OP的方程为y=kx，设P（x0，kx0），∴

∵a＞b＞0，kx0≠0，∴

第24页（共27页）

∴②

∵|AP|=|OA|，A（﹣a，0）， ∴∴∴

代入②得∴k2＞3

∴直线OP的斜率k满足|k|＞

．

20．（2012•天津）已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0． （1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值； （3）证明：

（n∈N*）．

【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；

（2）当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）=0，可得x1=0，

，分类讨论：①当k≥时，

，g（x）在

，对

（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）=0；②当0＜k＜时，于

，g′（x）＞0，因此g（x）在

上单调递增，由此

可确定k的最小值；

（3）当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，不等式成立；当n≥2时，

，在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，从

第25页（共27页）

而可得，由此可证结论．

【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）=0，可得x=1﹣a＞﹣a

令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a ∴x=1﹣a时，函数取得极小值且为最小值 ∵函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0， ∴f（1﹣a）=1﹣a﹣0，解得a=1

（2）解：当k≤0时，取x=1，有f（1）=1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意 当k＞0时，令g（x）=f（x）﹣kx2，即g（x）=x﹣ln（x+1）﹣kx2， 求导函数可得g′（x）=g′（x）=0，可得x1=0，①当k≥时，

，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，

+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）=0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立； ②当0＜k＜时，在因此取

，对于

，g′（x）＞0，因此g（x）

上单调递增，

时，g（x0）≥g（0）=0，即有f（x0）≤kx02不成立；

综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为 （3）证明：当n=1时，不等式左边=2﹣ln3＜2=右边，所以不等式成立 当n≥2时，

在（2）中，取k=，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）． ∴

=f（2）+

第26页（共27页）

＜2﹣

ln3+=2﹣ln3+1﹣＜2

综上，

（n∈N*）．

第27页（共27页）