二次函数与几何图形综合 分类专题复习
类型1 利用二次函数图象解决与线段、三角形相关的问题
以函数图象为背景的几何题，图象背景往往就是一件衣服，基本套路是依据“点在图象上→点的坐标满足解析式”求出函数解析式，从而根据题目条件求出更多点的坐标，进而求出线段长度、三角形面积．
1．(牡丹江中考)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
1
2．二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，y＝－x＋b经过点B，
2
且与二次函数y＝－x2＋mx＋n交于点D.(1)求二次函数的表达式；
(2)点N是二次函数图象上一点(点N在BD上方)，过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值．
3．如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
类型2 二次函数图象与“线段之和最短”问题
如果两条线段有公共端点，那么直接构造“线段之和最短”问题解决，如果两条线段没有公共端点，那么需要通过平移将两条线段构造得有公共端点，然后应用“线段之和最短”问题解决．
24．如图，已知抛物线y＝
8
轴交于点C，M为抛物线的顶点．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)设动点N(－2，n)，求使MN＋BN的值最小时n的值．
(x＋2)(x－4)与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，与y
1
5．如图，已知抛物线y＝－(x＋2)(x－m)(m>0)与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点
m
C，且点A在点B的左侧．
(1)若抛物线过点G(2，2)，求实数m的值；
(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．
1
6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OC＝3.
2
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的
4
平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A(0，4)，C(5，0)，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象抛物线经
5
过A，C两点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)F，G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D，E，F，G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值．
8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)．请解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E(2，m)在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
9.如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点. (1)求这个二次函数的解析式；
(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
(3)对于(2)中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由.
参
1.(1)∵抛物线y＝ax2＋2x＋c经过点A(0，3)，B(－1，0)，∴
{c＝3，a＝－1，
解得
0＝a－2＋c.c＝3.
){))∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．∴BE＝2，DE＝4.∴BD＝BE2＋DE2＝25.
4＝－1－m＋n，
2.(1)∵二次函数y＝－x2＋mx＋n的图象经过点A(－1，4)，B(1，0)，∴
0＝－1＋m＋n.
m＝－2，解得∴二次函数的表达式为y＝－x2－2x＋3.
n＝3.1111111
(2)∵y＝－x＋b经过点B，∴－×1＋b＝0.解得b＝.∴y＝－x＋.设M(m，－m＋)，
2222222
11353
则N(m，－m2－2m＋3)，∴MN＝－m2－2m＋3－(－m＋)＝－m2－m＋＝－(m＋)2＋
22224
4949.∴MN的最大值为. 1616
3.(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.将A(4，0)，B(1，
{{)1a＝－，
1516a＋4b－2＝0，2
0)代入，得解得∴此抛物线的解析式为y＝－x2＋x－2.
a＋b－2＝0.522
b＝.2
{){)125
(2)设D点的横坐标为t(022111
于E.由题意可求得直线AC的解析式为y＝x－2.∴E点的坐标为(t，t－2)．∴DE＝－t2＋
222
51111
t－2－(t－2)＝－t2＋2t.∴S△DCA＝×(－t2＋2t)×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4.∴当t＝222222时，△DCA面积最大．∴D(2，1)．
24.(1)令y＝0，得(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4；令x＝0，得y＝－2.∴A(－2，
8
0)、B(4，0)、C(0，－2)．
9
(2)过点A(－2，0)作y轴的平行线l，则点B关于l的对称点B′(－8，0)，又M(1，－2)，
8
连接B′M与l的交点即为使MN＋BN值最小的点．设直线B′M的解析式为y＝kx＋b，则
{10＝－8k＋b，
132.＝－k9解得∴y＝－x－.∴当x＝－2时，n＝－222. 8－2＝k＋b，84
8b＝－2.
){)1
5.(1)抛物线过点G(2，2)时，－(2＋2)(2－m)＝2，解得m＝4.
m
11
(2)∵m＝4，∴y＝－(x＋2)(x－4)．令y＝0，－(x＋2)(x－4)＝0，解得x1＝－2，x2＝4.则
44
A(－2，0)，B(4，0)．∴抛物线对称轴为直线l：x＝
－2＋4
2
C(0，2)．∵B点与A点关于对称轴对称，∴连接BC，BC与直线l的交点便为所求点
13
H.∵B(4，0)，C(0，2)，∴求得线段BC所在直线为y＝－x＋2.当x＝1时，y＝，∴H(1，
22
3
)． 2
c＝3，
6.(1)由已知条件得A(－2，0)，C(0，3)，代入二次函数解析式，得解得
－2－2b＋c＝0.
1
121b＝，∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋3.2
22
c＝3.
(2)连接AD，交对称轴于点P，则P为所求的点．设直线AD的解析式为y＝kx＋t.由已知得
1
1b1－2k＋t＝0，k＝，解得∴直线AD的解析式为y＝x＋1.∵对称轴为直线x＝－＝，22k＋t＝2.22a2
t＝1.
11515
将x＝代入y＝x＋1，得y＝.∴P(，)．
22424
4220＋5b＋c＝0，
7.(1)将A(0，4)、C(5，0)代入二次函数y＝x＋bx＋c，得解得
c＝4，5
24
4224b＝－，故二次函数的表达式为y＝x－x＋4.5
55
c＝4.
(2)延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，GD＝GD′，EF＝E′F，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE，由E(5，2)，D(4，4)，得D′(－4，4)，E(5，－2)．由勾股定理，得DE＝22＋12＝5，D′E′＝（5＋4）2＋（4＋2）2＝313，(DG＋GF＋EF＋ED)最小＝D′E′＋DE＝313＋5.
＝1.令x＝0，则y＝2，所以
{){){){){{))8.(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，∴
{1－b＋c＝0，b＝－2，
解得∴y＝x2－2x
9＋3b＋c＝0.c＝－3.
){)－3.
(2)∵点E(2，m)在抛物线上，∴m＝4－4－3＝－3.∴E(2，－3)∴BE＝（3－2）2＋（0＋3）2＝10.∵点F是101
AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，H是AB中点，∴FH＝BE＝.
22
9、.(1)∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=-1，∴二次函数的解析式为y=x2-3x.
(2)假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D. ∵△AOB的面积等于6，∴
1AO·BD=6.2 当y=0时，x(x-3)=0.解得x=0或3.∴AO=3.∴BD=4，即4=x2-3x.解得x=4或x=-1(舍去). 又∵顶点坐标为(1.5，-2.25)，2.25＜4，∴x轴下方不存在B点.∴点B的坐标为(4，4).
22 (3)∵点B的坐标为(4，4)，∴∠BOD=45°，BO=44=42.
当∠POB=90°时，∠POD=45°.
设P点横坐标为x，则纵坐标为x2-3x，即-x=x2-3x.解得x=2或x=0.
22 ∴在抛物线上仅存在一点P(2，-2).∴OP=22=22.
∴△POB的面积为：
11PO·BO=×22×42=8.22
