16章二次根式全章导学案

学习目标：

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式,掌握二次根式有意义的条件。 2、掌握二次根式的基本性质：a0(a0)和(a)2a(a0)

· ·预 习 案

（一）复习回顾：

（1）已知x2a，那么a是x的_ ____;x是a的___ _, 记为_ ___,a一定是__ __数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数a的算术平方根为_____， 40的算术平方根为____；式子a0(a0)的意义是 。 思考：16 ，

s,b3等式子.说一说他们的共同特征.

”称为 。

定义: 一般地我们把形如a（a0）叫做二次根式，a叫做______。“

1、判断下列各式，哪些是二次根式在后面“√”，哪些不是在后面“×”为什么

23a3（ ）165x1（ ） 4(a0)（ ），（ ），（ ），（ ），，

32、当a为正数时a指a的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字母a必须满足 , a才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ：

(3) = （3）(0.5)2 = （4）((1) (4)2 = (2) (a)2________（a0） 根据计算结果，你能得出结论： 212)= 34、由公式(a)2a(a0)，我们可以得到公式a=(a)2 ,利用此公式可以把任意一个非负数

写成一个数的平方的形式。如(5)2=5或5=(5)2.

练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6= =

合 作 探 究

例1：当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义

练习1:x取何值时，下列各二次根式有意义

3x① ②

214x2x ③ 32

12x例2：在式子中，x的取值范围是什么

1x

练习2:x取何值时，下列各二次根式有意义

1① 2 ② xx3x3 ③ ④x45x x5x5

训练案

1、计算： (3)2= (0.5)2= (122)= (a)= 32、二次根式a1中，字母a的取值范围是（ ）

A、 a＜l B、a≤1 C、a≥1 D、a＞1 3、已知x30则x的值为（ ）

A、 x>-3 B、x<-3 C、x=-3 D、 x的值不能确定

12xx的取值范围是________. 4、若a33a有意义，则a的值为_______．若有意义，

1x5、当x= 时，代数式4x5有最小值，其最小值是 。 6、在实数范围内因式分解：

（1）x29x2( )2=（x+ ）(y - )（2）x23x2( )2=（x + ）(y - )

二次根式的性质

学习目标 ：

1、掌握二次根式的基本性质：a2a ，能利用上述性质对二次根式进行化简.

预习案

一、复习引入：

1、定义: 一般地我们把形如a（a0）叫 ，a叫做______。“2、二次根式

2有意义，则x = 。 x5”称为 。

3、在实数范围内因式分解：x26x2( )2=（x + ）(y — ) （二）自主学习 1、计算：

442 0.22 ()2 202

5观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时,a2 2、计算：

4(4)2 (0.2)2 ()2 (20)2

5观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时,a2 3、计算：

02 当a0时,a2

aa0归纳总结：a2a00

aa0练习1、化简下列各式：

（1）、0.32 （2）、(0.5)2 （3）、(6)2 （4）、

2a2= （a0）

4、讨论二次根式的性质(a)2a(a0)与a2a有什么区别与联系。

练习2：化简：（1）42= (2) x(xp0)=

（3）(4)2= (4)(a3)2(a3)=

注：利用a2a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。

22探究案

例1：化简：

（1）

（3）2xxy

练习3：(2x1)2-(2x3)2(x2) 练习4：若2＜x＜3，化简：(x2)2x3

例2：5、已知x24+2xy＝0，求xy的值

2x32（x＜-2） （2）若0＜x＜1，化简：

121(x)24－(x)4

xx2x2y4（x＞0，y＞0） （4）a、b、c为三角形的边，则化简(abc)2bac

1练习5：若2x1y40，求 22的值。

xy

训练案

1、把2x1的根号外的2x适当变形后移入根号内，得（ ） x23A、2xB、x2 C、2x D、x2

2、已知实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：

b

0

a

二次根式的乘法

学习目标：

理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用其进行计算化简

预习案

（一）复习引入

（1）4×9=__ __，49=____； 4×9_ _49 （2）16×25=____，1625=___； 16×25_ _1625 （二）、探索新知

交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为

乘法法则： a·b＝ab．（a≥0，b≥0 积的算术平方根: ab=a·b（a≥0，b≥0） 练习1：（1）5×7 = （2）1274g= ×9= （3）xgygz= （4）433 （5）916= （6）1681= （7）81100= （8）9×27=

探 究 案

例1、计算（应用a·b＝ab．（a≥0，b≥0 2y12yg() ay （3）xyg（1）36×210 （2）5a·5x

练习1：计算： ①55×215 ②

例2、化简(逆用乘法法则 ab=a·b（a≥0，b≥0）)

22 （1）9xy = （2）54 =12xzay gy3g ③12a3·3zyxg = (3) 125=g = 练习2：化简: 20= 18= 24 = 8= 12a2b2 =

总结：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作

为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。

例3、 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(4)(9)49 （2）4121212×25=4××25=4×25=412=83 252525

训 练 案

1、等式x1•x1x21成立的条件是（ ）

A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1或x≤-1 2、二次根式(2)26的计算结果是（ ） A．26 B．-26 C．6 D．12 3、若a2b24b4c2c10，则b2•a•c=（ ） 4 A．4 B．2 C．-2 D．1 2、化简：

4（1）360= （2）2000= （3）510= （4）3a15a= （5）32x=

3、计算：

（1）1830； （2）3

4、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。 (1) -3

21 (2) 2a

2a32； （3）68×（-26）； （4）8ab6ab3； 75

二次根式的除法

学习目标:

掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

预习案

（一）复习回顾

1二次根式的乘法法则： 积的算术平方根的性质： 2、计算： （1）38×（-46） （2）12ab6ab3 3、填空： （1）9999=____，=____； 规律： ______；

1616161616161616=____，=____； ______；

36363636 （2） 一般地，对二次根式的除法规定 除法法则：

练习1、计算：（1）252252412 = （2）= （3） = （4）=

814963aaaa=（a≥0，b>0） 商的算术平方根：=（a≥0，b>0） bbbb 探究案 问题：对于二次根式运算的结果有什么要求 最简二次根式（化简二次根式的要求）：

1．被开方数中不含能 因数或因式（如：82. 分母中不含有根式（由

= ，27= ） ）

a211bbcbcgagaa与g(c0)，则

aacac221（注：分子分母同时乘以 的二次根式，化简= = ）

273.根号内不能是 数或 式（如：3.2= = = =

a1= = = = ） a358= (2) x2y4x4y2= (3) 8x2y3= (4)= 1220练习2：化简:(1) 354m3n64b25x例1：化简：（1）540 （2）（3） （4） (mf0,nf0)22

练习3：化简 （1）248

例2：计算（1）3527125

练习4：计算（1）1253520 (2)

（4）1374412 (5) （6）2bab5•(33b2ab)3a

9a6mn169y（2） 2x38x （3）3227 （4）9x64y2 （2）125354 （3）111232315 11122(6) （3）13212315

3311412(817)1452 a>0,b>0） （

总结：1、灵活变形，大小根号可以互换. 2、除法变成 （除数变成 ）

3、带分数要变成 （注意带分数与分数与根式乘法的区别） 4、注意结果符号（同号得 ，异号得 。）

二次根式的加减学案

学习目标：

理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式，理解和掌握二次根式加减的方法． 预习案 （一）、复习引入

1、计算．（1）2x3x；（2）2x23x25x2；（3）x2x3y；（4）3a22a2a2

（二）计算下列各式．

（1）22+32 = （2）28-38+58 = （3）7+27+37 = 二次根式的被开方数相同也是可以合并，如22与8表面上看不相同，但它们也可以合并（与同类项类似把33与23， 2a与4a称为同类二次根式（化简之后，被开方数 ） 练习1．以下二次根式：①12；②22；③2；④27中，与3是同类二次根式的是（ ）． 3 A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④

练习2．若最简二次根式32x1与3x1是同类二次根式，则x＝______．

32+8=32+ = 33+27=33+ =

所以，二次根式加减时，先将二次根式化成 ，•再将同类二次根式进行 ．

探究案

例1．计算 （1）16x+64x （2）348-9

归纳： 将不是最简二次根式的项化为 二次根式；将 的最简二次根式进行 ．

1+312 （3）（48+20）+（12-5） 3练习3：计算(1) 12(13127) (2) (4820)(125) (3) x1x121x4y2yy （4）3x9x(x2x6xx4)

例2．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（2x9x+y2xy3）-（x21y3x-5xx）的值．

练习4.先化简，再求值．(6xy3xyxy3)(4xxy36xy)，其中x=32，y=27．

训练案

1．下列：①33+3=63；②

177=1；③2+6=8=22；④

243=22，其中错误有（A．3个 B．2个 C．1个 D．0个

2．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( )

(A)3和18

(B)3和

123 (C)a2b和ab (D)a1和a1

3．下列各式的计算中，成立的是( )

A．2525 B.45351 C.x2y2xy D.45205 4．计算二次根式5a-3b-7a+9b的最后结果是________．

5．若最简二次根式3ab与ab2b是同类二次根式，则a＝____，b＝____．

） 6．计算：（1）

13aa27a3a23a108a 3a34二次根式的混合运算

学习目标:

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 预习案 （一）复习回顾

（1）整式混合运算的顺序是： 。 （2）二次根式的乘除法法则是： 。 （3）二次根式的加减法法则是： 。

（4）写出已经学过的乘法公式：① ② 5、计算： （1）6·3a·

11111b  （2） （3）2381250 341625探究案

例1、计算：

(4236)22 (23)(25) (232)2 （1）（83）×6 （2）（3）（4）

练习1：计算： （1）(

注：整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

1227243)12 （2）(235)(23) 33例2：计算（1）(743)(743)(351)2 (2) (3)

总结：1、先确定运算顺序，再逐步计算

13 3772132132 (4) (13)3.1410322 2、分母带跟号： ，若分母能构成平方直接 3、整体平方开根号等于整体的 ，（如13213）

练习2：（1）(723)(723)(231)2 (2) (3)

例3：观察：

13 3737532532 (4) (12)13.14(522)(522)

0(21)2(2)2212122221322 反之，3222221(21)2

∴ 322(21)2 ∴ 322=2-1 仿上求：（1）；423= （2）412= 训 练 案

1、计算：

（1）(8090)5（2）243623（3）(a3b3abab3)(ab)（a>0,b>0）

《二次根式》复习

学习目标：1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算，熟练进行二次根式的加减法运算和化简。

自主复习

1．若a＞0，a的平方根可表示为________，a的算术平方根可表示________ 2．当a______时，12a有意义，当a______时，3a5没有意义。 3．(3)2________(32)2______

4．1448_______;7218________ 5．1227_______;12520_______

125x312(3223)6、计算： (1) 212 (3) 352 (2)249y

7、精讲点拨：在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子： （1）二次根式性质：(a)2a(a0)与a(a)2(a0)

a0aa0 （2）二次根式性质：a2a0aa0（3）二次根式的乘法法则：a•bab(a0,b0)与aba•b(a0,b0) （4）二次根式除法法则aaaa(a0,b0)与(a0,b0)

bbbb（5）完全平方公式与平方差公式：(ab)2a22abb2与(ab)(ab)a2b2

探 究 案（两类式子简算）

例1：（1）

练习1：（1）

总结：第一类：先将分母 ，再消掉 部分，最后检查可否简化。

第二类：先观察底数能否相乘是否为 ，再根据乘方的性质把指数转变成 ， 底数先相乘，最后检查是否可简化。

11120092009LL （2）(310)(310) 315312111911112010LL (2) (3)2009() 21321691983训练案

1、化简

52的结果是（ ）

A 5 B -5 C 士5 D 25

2、代数式

x4x2中，x的取值范围是（ ）

A x4 B x2 C x4且x2 D x4且x2 3、化简

3227的结果是（ ）

A23B23C63D2

4、计算．

(1)272345 (2)

162564 (3)(a2)(a2)

5、已知a32,b23211

求的值 2ab