虚数

4n

1；n為自然數，則

4n+1

= i ，i

4n+2

= -1，i

4n+3

= -i

2.設a、b為實數，則

Z = a + bi稱為複數，其中a稱為實部，b稱為虛部。

3.設a、b、c、d為實數，則

a + bi = c + di  a = c ，b = d

4.若Z = a + bi，a、b為實數，則 Z的共輒複數為Zabiabi

5.設a、b、c為實數，a≠0，方程式ax+ bx + c = 0的二根可由判別式 b – 4ac來判定根的性質：

2

(1) b – 4ac > 0  二根為相異實數 (2) b – 4ac = 0  二根為相等實數 (3) b – 4ac < 0  二根為共輛虛根

6.若實係數方程式有虛根，必定有二根呈共輒出現。

7.複數的四則運算規則：

(1) (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d) i (2) (a + bi) (c + di) = (a c- bd) + (ad + bc) I (3)

8. 若Z = a + bi ，則 ZZa2b2

9.共輒複數的性質： (1) Z1Z2Z1Z2 (2) Z1Z2Z1Z2

Z1Z1ZZ22abicdi22

2

2

acbdbcadicd22

(3)

(4) ZZ

10.若a < 0，b < 0，則

abab

11. (r , θ)為極坐標上的點，其中r稱為向徑，θ稱為幅角。

12.設P點的極坐標為(r , θ)，直角坐標為(x , y)，則 (1)極坐標化為直角坐標 x = r cosθ y = r sinθ (2)直角坐標化為極坐標

r2x2y2x cos rysinr

13. 複數Z = a + bi  |Z| =

14.複數絕對值的性質： (1) |Z| = Z

2

(2) Z〃Z = |Z|

ab22

(3) |Z1〃Z2| = |Z1|〃|Z2| (4) |Z | = |Z| ，n為自然數 (5)

15.將複數Z用其絕對值和幅角表示為Z = |Z| (cosθ+ isinθ)的形式稱為 複數Z的極式，且 Z = x + yi

Z1Z2Z1Z2n

n

(Z2 ≠ 0)

= |Z|

xyi ZZ = |Z| (cosθ+ isinθ)

16.複數極式的積和商：

(1) 相乘時，將其絕對值相乘，幅角相加。 (2) 相除時，將其絕對值相除，幅角相減。

17.隸美弗定理:

設Z = |Z| (cosθ+ isinθ)，n 為整數，則

Z n = |Z|n (cosnθ+ isin nθ)

18.複數Z的極式為Z = |Z| (cosθ+ isinθ) ，則z的n次方根為 xkn2k2kzcosisin

nn k = 0、 1 、2 、3 、‥‥‥、 n-1