高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-1-2

基础巩固

一、选择题

1．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：( ) cd

①若ab＜0，bc－ad＞0，则a－b＞0； cd

②若ab＞0，a－b＞0，则bc－ad＞0； cd

③若bc－ad＞0，a－b＞0，则ab＞0. 其中正确命题的个数是 A．0 C．2 [答案] C

1

[解析] ①∵ab＜0，∴ab＜0

1cd

又∵bc－ad＞0∴ab·(bc－ad)＜0即a－b＜0 ∴①错；

cd②∵ab＞0，a－b＞0 cd

∴ab(a－b)＞0 即：bc－ad＞0 ∴②正确；

bc－adcd

③∵a－b＞0∴ab＞0， 又∵bc－ad＞0∴ab＞0∴③正确．

2．如果a、b、c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一

B．1 D．3

定成立的是________( )

A．ab＞ac C．cb2＜ab2 [答案] C

[解析] 由已知c＜0，a＞0，易判断A、B、D正确． 3．下面的推理过程中错误之处的个数为( )

B．c(b－a)＞0 D．ac(a－c)＜0

a>b⇒ac>bcab

⇒ac>bd⇒ d>c c>d⇒bc>bd

③

④

②

①

A．0 C．2 [答案] D

[解析] ①②④三处错误．

B．1 D．3

4．已知a[解析] 特殊值法：令a＝－1，b＝0，满足a|b|，排除D，故选A.

5．已知A＝a5＋b5，B＝a2b3＋a3b2(其中a>0，b>0，a≠b)则( ) A．A≥B C．A>B [答案] C

[解析] A－B＝a5＋b5－a2b3－a3b2 ＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)

＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)，

B．A≤B D．A0 D．|a|<|b|

∵a>0，b>0，a≠b，∴A－B>0，故选C.

6．(2011·余姚高二检测)设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P、Q、R的大小顺序是( )

A．P>Q>R C．Q>P>R [答案] B

[解析] ∵P2＝2，Q2＝10－221，R2＝8－43，

P2－Q2＝221－8>0，P2－R2＝43－6>0，Q2－R2＝2＋43－221<0.

又∵P>0，Q>0，R>0，∴∴P>R>Q. 二、填空题

cd

7．已知三个不等式：①ab>0；②a>b；③bc>ad.以其中两个作条件，余下一个为结论，写出两个能成立的不等式命题________．

[答案] [解析]

B．P>R>Q D．Q>R>P

①

⇒③，⇒②，⇒①中任选两个即可． ②③③

①

②

bc－adcd

a>b⇒ab＞0.若③成立，则①成立∴②③⇒①；

bcadcd

若③成立即bc＞ad，若①成立，则ab＞ab，∴a＞b∴①③⇒②；若①与②成立显然有③成立．

8．实数a、b、c、d满足下列两个条件：①d>c；②a＋d[答案] a[解析] ∵d>c，∴d－c>0， 又∵a＋dc－d>0，

∴b>a. 三、解答题

9．证明下列不等式： ba

(1)已知a(2)已知a>b>0，求证：b>a； 11

(3)已知a>b，a0.

22

bab－a

[解析] (1)a－b＝ab

∵a＜b＜0，∴－a＞－b＞0，∴a2＞b2. 故b2－a2＜0.

b2－a2ba又∵ab＞0，∴ab＜0，∴a＜b. (2)∵a＞b＞0，∴a＞b＞0， ① 111

又∵a＞b＞0，两边同乘正数ab得：b＞a＞0， ② ab

①、②两式相乘得：b＞a.

11b－a

(3)a－b＝ab，∵a＞b，∴b－a＜0， b－a1111

又∵a＜b，∴a－b＜0，∴ab＜0， ∴ab＞0.

10．已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2. [解析] 左边－右边＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a) ＝ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca[(c－b)＋(b－a)] ＝a(a－b)(b－c)＋c(b－c)(b－a)

＝(a－b)(b－c)(a－c)

∵a>b>c，∴(a－b)(b－c)(a－c)>0，命题得证．

能力提升

一、选择题

1．已知a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是( ) A．a2>a>－a2>－a C．－a>a2>a>－a2 [答案] B

[解析] 特殊值法：∵a2＋a<0，∴－1∴令a＝－，a2＝，－a＝，－a2＝－，故选B.

2424

2．已知a，b为非零实数，且aC.2<2 abab[答案] C

[解析] 对于A可举反例，如－2<1，可得(－2)2>12故A错，对于B要使ab2b2－a2ba对于D要使a二、填空题

3．若a>0，b>0则a＋b________a＋b(填上适当的等号或不等号)．

[答案] >

B．ab2a2>－a2>a D．a2>－a>a>－a2

[解析] ∵a>0，b>0，∴(a＋b)2＝a＋b＋2ab，

(a＋b)2＝a＋b，∴(a＋b)2>(a＋b)2，即a＋b>a＋b. b＋ma＋nba

4．设a＞b＞0，m＞0，n＞0，则p＝a，q＝b，r＝，s＝

a＋mb＋n的大小顺序是________________．

[答案] p＜r＜s＜q

13

[解析] 取a＝4，b＝2，m＝3，n＝1，则p＝，q＝2，r＝，s

275

＝则p＜r＜s＜q(特值探路)． 3

具体比较如下：

bb＋mb－amp－r＝a－＝＜0，∴p＜r.

a＋maa＋m∵a＞b＞0，m＞0，n＞0

∴a＋m＞b＋m＞0.a＋n＞b＋n＞0， b＋ma＋n∴＜1，＞1，∴r＜s. a＋mb＋n

b＋ma＋nb－ab＋a＋m＋n或r－s＝－＝＜0.

a＋mb＋na＋mb＋na＋nab－a·n

∴r＜s.s－q＝－＝＜0，

b＋nbbb＋n∴s＜q.∴p＜r＜s＜q.

三、解答题

5．比较log1 5与log1 5的大小．

3

2

[解析] ∵log1 5<0，log1 5<0，

3

2

6．船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？

[分析] 要比较船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度的大小关系，首先要把这两个速度用两地距离和时间的关系表示出来，再作比较．

[解析] 设甲地到乙地的距离为s，船在静水中的速度为u，水流速度为v(u>v>0)，则船在水流速度一定的甲地和乙地间来回行驶一次的时间

2usss

t＝＋＝， u＋vu－vu2－v2－2su2－v2

平均速度u＝t＝u.

－u2－v2u2－v2－u2v2∵u－u＝u－u＝＝－u<0 u－∴u因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中的速度．

7．若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4.

求f(－2)的范围．

[解析] 解法一：设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，

f1＝a＋b∴

f－1＝a－b

1a＝2[f1＋f－1]

，∴

1b＝2[f1－f－1]

.

∵f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)，1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4， ∴6≤f(－2)≤10.

解法二：设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，

3≤f1＝a＋b≤4

由已知得，又f(－2)＝4a－2b，

1≤f－1＝a－b≤2

设存在实数x，y，使得4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， 即4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b，

4＝x＋yx＝1

∴，即. －2＝x－yy＝3

∴3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6.

∴6≤a＋b＋3(a－b)≤10即6≤4a－2b≤10.

πππb

8．已知02233

π0∵

ππ－[解析]

，两式相加得

π5π

－<2a<. 26

b

设3a－＝m(a＋b)＋n(a－b)＝a(m＋n)＋b(m－n)，则有

3

m＋n＝31m－n＝－3

，

45解得m＝，n＝. 33

5b4

∴3a－＝(a＋b)＋(a－b)．

33342π0<a＋b<33

∴

5π55π－6<3a－b<9

，

5πb11π两式相加，得－<3a－<.

639

π5π5π11πb

故2a∈(－，)，3a－∈(－，)．

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