八年级数学下册24一元一次不等式导学案北师大版

第 1 课时 （二）学习目标：

1. 体会一元一次不等式的形成过程；

2. 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析问题、解决问题的能力. （三）重难点：

重点：明确什么是一元一次不等式，

难点: 体会建立不等式模型解决实际问题的全过程,体会学习不等式的作用. （四）教学过程 【导入环节】 学生看书第46页 【自学环节】 1.自主学习

观察下列不等式：（1）这些不等式有哪些共同特点？

不等式的概念：左右两边都是______，只含有_____ _____，并且未知数的最高次数是_____的不等式，叫做一元一次不等式 【导学环节】

例1：解不等式3(x+2)－8≥1－2(x－1)，并把它的解集表示在数轴上．

例2：解不等式

解一元一次不等式大致要分五个步骤进行：（1）____________ （2）____________ （3）____________ （4）_______ _____ （5）____ _______ 【训练环节】

，并把它的解集表示在数轴上．

； （2）

（3）x＜4 （4）

＞240

＞

（1）

A．x可取任何数 B．全体正数 C．全体负数 D．无解

（2）关于x的方程5－a(1－x)＝8x－(3－a)x的解是负数，则a的取值范围是（ ）

1

A．a＜－4 B．a＞5 C．a＞－5 D．a＜－5

（3）不等式

的正整数解是 ．

（4）解不等式

，并把它的解集表示在数轴上．的值分别满足以下条件：

①是非负数； ②不大于1。

(6)若2(x＋1)－5＜3(x－1)＋4的最小整数解是方程3x－mx＝5的解，求代数式的值．

（五）教学反思

2

（一）章节题目：第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组

2.4 一元一次不等式 第 2 课时

(二）学习目标：

1.进一步熟练掌握解一元一次不等式 2.利用一元一次不等式解决简单的实际问题 （三）重难点：

重点：一元一次不等式的应用

难点: 将实际问题抽象成数学问题的思维过程。 （四）教学过程 【导入环节】

(1)不等式的左右两边都是 ，只含有 未知数，并且未知数

的 ，像这样的不等式，叫做一元一次不等式．

(2)解一元一次不等式的一般步骤是：① ；② ； ③ ④ ；⑤ ．

(3) 小红读一本500页的科普书，计划10天内读完，前5天因种种原因只读了100页，问从第6天起平均每天至少读________________页，才能按计划完成。 【导学环节】

例1：一次环保知识竞赛共有25道题目，规定答对一题得4分，答错或者不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或者85分以上），小明至少答对了几道题目？

例2：小王准备用21元钱买笔和笔记本，已知每支笔3元钱，每个笔记本2.2元钱，他买了2个笔记本，请你帮他算一算，她还可以买几支笔？

【训练环节】

(1)2x＋1是不小于－3的负数，表示为 （ ）

A．－3≤2x＋1≤0 B．－3＜2x＋1＜0 C．－3≤2x＋1＜0 D．－3＜2x＋1≤0 (2)不等式

的负整数解有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3

(3)亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省

30元，直到他至少有300元．设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（ ）

A．30x－45≥300 B．30x＋45≥300 C．30x－45≤300 D．30x+45≤300

(4)小颖准备用21元钱买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2元，她买了4个笔记本，则她最多还可以买（ ）支笔． A、1

B、2

C、3

D、4

(5)幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 _____________件．

(6)小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买 瓶甲饮料。 (7)解下列不等式：

(8)某种商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商家准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，你认为该商品至多可以打几折？

（五）教学反思

，并把解集在数轴上表示出来．

4

八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．16＝（ ） A．±4 【答案】B

【解析】16表示16的算术平方根，为正数，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：164， 故选B． 【点睛】

本题考查了算术平方根，本题难点是平方根与算术平方根的区别与联系，一个正数算术平方根有一个，而平方根有两个．

2．已知a22a1b2(c5)20，则以a,b,c为三边的三角形的面积为（ ） A．5 【答案】B

【分析】根据二次根式与偶数次幂的非负性，求出a，b，c的值，从而得到以a,b,c为三边的三角形是直角三角形，进而即可求解．

【详解】∵a22a1b2(c5)20， ∴(a1)2b2(c5)20， 又∵(a1)20，b20，(c5)20， ∴(a1)2=0，b2=0，(c5)2=0， ∴a=1，b=2，c=5， ∴a2b2c2，

∴以a,b,c为三边的三角形是直角三角形， ∴以a,b,c为三边的三角形的面积=故选B． 【点睛】

本题主要考查二次根式与偶数次幂的非负性以及勾股定理的逆定理，掌握二次根式与偶数次幂的非负性以

5

B．4 C．±2 D．2

B．1 C．2 D．5 2121． 2及勾股定理的逆定理，是解题的关键． 3．x为整数，且12x1的值也为整数，那么符合条件的x的个数为（ ） A．4个 B．3个

C．2个

D．1个

【答案】A

【分析】根据题意可知，x1是2的约数，则x1为或2，然后求出x的值，即可得到答案. 【详解】解：∵x为整数，且12x1的值也为整数， ∴x1是2的约数， ∴x11或x12， ∴x为1、0、2、3，共4个； 故选：A. 【点睛】

本题考查了分式的值，正确理解分式的意义是解题的关键． 4．下列运算正确的是（ ） A．3x+4y=7xy B．（﹣a）3•a2=a5

C．（x3y）5=x8y5

D．m10÷m7=m3

【答案】D

【解析】分析：根据同类项的定义、幂的运算法则逐一计算即可判断． 详解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误； B、（-a）3•a2=-a5，此选项错误； C、（x3y）5=x15y5，此选项错误； D、m10÷m7=m3，此选项正确； 故选D．

点睛：本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的运算法则．

5．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm

【答案】B

【解析】解：如图，

）

6

∵AE平分∠BAD交BC边于点E， ∴∠BAE=∠EAD，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=5， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE=3， ∴EC=BC-BE=5-3=1． 故选B．

6．以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A．2，3，4 【答案】C

【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．

【详解】解：A、22+32≠42，故不能构成直角三角形； B、42+52≠62，故不能构成直角三角形； C、52+122＝132，故能构成直角三角形； D、52+62≠72，故不能构成直角三角形． 故选C． 【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

7．如图，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．ABC的周长为19，ACE的周长为13，则AB的长为（ ）

B．4，5，6

C．5，12，13

D．5，6，7

7

A．3 【答案】B

B．6 C．12

D．16

【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵AB的垂直平分线交AB于点D， ∴AE=BE，

∵△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=13，△ABC的周长=AC+BC+AB=19， ∴AB=△ABC的周长-△ACE的周长=19-13=6， 故答案为：B． 【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

8．已知△ABC的周长是24，且AB=AC，又AD⊥BC，D为垂足，若△ABD的周长是20，则AD的长为( ) A．6 【答案】B

【分析】根据三线合一推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长． 【详解】解：∵AB=AC，且AD⊥BC， ∴BD=DC=

B．8

C．10

D．12

1BC， 2∵AB+BC+AC=2AB+2BD=24， ∴AB+BD=12，

∴AB+BD+AD=12+AD=20， 解得AD=1． 故选：B．

8

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求． 9．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是（ ） A．等边三角形 C．等腰三角形 【答案】A

【解析】∵这个三角形是轴对称图形 ， ∴一定有两个角相等， ∴这是一个等腰三角形. ∵有一个内角是60°， ∴这个三角形是等边三角形. 故选A.

B．等腰直角三角形 D．含30°角的直角三角形

xm010．若关于x的不等式组的整数解共有3个，则m的取值范围是（ ）

72x2A．5＜m＜6 【答案】B

【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m的范围．

【详解】解不等式x﹣m＜0，得：x＜m， 解不等式7﹣2x≤2，得：x≥因为不等式组有解， 所以不等式组的解集为

B．5＜m≤6

C．5≤m≤6

D．6＜m≤7

5， 25≤x＜m， 2因为不等式组的整数解有3个， 所以不等式组的整数解为3、4、5， 所以5＜m≤1． 故选：B． 【点睛】

此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．

9

二、填空题

11．将长方形纸片ABCD沿EF折叠，如图所示，若∠1＝48°，则∠AEF＝_____度．

【答案】114°

【分析】根据折叠性质求出∠2和∠3，根据平行线性质求出∠AEF＋∠2＝180°，代入求出即可． 【详解】根据折叠性质得出∠2＝∠3＝∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠AEF＋∠2＝180°， ∴∠AEF＝114°， 故答案为：114°．

11（180°－∠1）＝×（180°－48°）＝66°， 22

【点睛】

本题考查了矩形性质，平行线性质，折叠性质的应用，关键是求出∠2的度数和得出∠AEF＋∠2＝180°． 12．如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为________ cm.（π取3）

【答案】15cm．

【解析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长． 解：如图所示，

10

圆柱展开图为长方形，

则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长， 由勾股定理得AB=12232=225=15cm． 故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3）

“点睛”解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可． 13．如图，将RtABC绕着顶点A逆时针旋转使得点C落在AB上的C''处，点B落在B'处，联结BB''，如果AC4，AB5，那么BB'__________．

【答案】10

【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据旋转的性质求出AC′、B′C′，在Rt△BC′B′中，求出BC′，B′C′即可解决问题． 【详解】在RtABC中，

AC4，AB5，C90，

BCAB2AC252423，

由旋转的性质可得：

， ACAC'4，BCBC3，∠AC′B′=∠C=90°

BC'ABAC'541，∠B′C′B=90°，

'''2BB'BC'2BC123210．

故答案为：10． 【点睛】

本题考查旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质及勾股定理． 14．若多项式xm1x9是一个完全平方式，则m的值为_________．

2 11

【答案】－5或1

【解析】试题解析：∵x2- (m-1)x+9=x2-(m-1)x+32， 2×3×x， ∴(m-1)x=±解得m=-5或1．

15．人体中红细胞的直径约为0.00000792m，用科学记数法表示这个数应为_________m． 【答案】7.92106

【分析】科学计数法的表示形式为a10n(1≤a10)，表示较小数时n为负整数，且n等于原数中第一个非零数字前面所有零（包括小数点前边的零）的个数. 【详解】解：0.000007927.92106. 故答案为：7.92106. 【点睛】

本题考查了科学计数法，熟练掌握科学计数法的表示方法是解题的关键.

16．在某次数学测验后，王老师统计了全班50名同学的成绩，其中70分以下的占12%，70～80分的占24%，80～90分的占36%，则90分及90分以上的有__________人． 【答案】1

【分析】先求出90分及90分以上的频率，然后根据“频数=频率×数据总和”求解． 【详解】90分及90分以上的频率为：1-12%-24%-36%=28%， ∵全班共有50人，

∴90分及90分以上的人数为：50×28%=1(人)． 故答案为：1． 【点睛】

本题考查了频数和频率的知识，解答本题的关键是掌握频数=频率×数据总和．

17．如图，点E在△DBC边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）

①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．

【答案】①③

12

【分析】①由已知条件证明DAB≌EAC即可； ②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；

③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE1＝BC1－EC1＝1AB1－（CD1﹣DE1）＝1AB1－CD1+1AD1＝1（AD1+AB1）－CD1可判断④． 【详解】解：∵DAE＝BAC＝90°， ∴DAB＝EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC，

∴AED=ADE=ABC=ACB=45°， ∵在DAB和EAC中，

AD＝AEDAB＝EAC， AB＝AC∴DAB≌EAC，

∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确；

由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误；

+45°=90°∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°， ∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；

∴BE1＝BC1－EC1＝1AB1－（CD1﹣DE1）＝1AB1－CD1+1AD1＝1（AD1+AB1）－CD1． ∴BE1＝1（AD1+AB1）－CD1，故④错误． 故答案为：①③． 【点睛】

本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键． 三、解答题

18．在ABC中，ABAC，在ABC的外部作等边三角形ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若BAC96，求BDF的度数；

（2）如图2，ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

13

①补全图2；

②若BNDN，求证：MBMN．

【答案】（1）BDF18；（2）①补全图形，如图所示.见解析；②见解析． 【解析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可； （2）①根据要求画出图形即可；

②设∠ACM=∠BCM=α，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2α，可得∠NAC=∠NCA=α，

∠DAN=60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN=∠ADN=30°，∠BAN=∠DAN=60°+α，∠BAC=60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出α，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中，

在等边三角形ACD中，

CADADC60，ADAC.

∵E为AC的中点， ∴ADE1ADC30， 2∵ABAC， ∴ADAB，

∵BADBACCAD，BAC96，CAD60， ∴BADBACCAD156， ∴ADBABD12， ∴BDFADFADB18. （2）①补全图形，如图所示.

14

②证明：连接AN. ∵CM平分ACB，

∴设AOMBCMa， ∵ABAC，

∴ABCACB2a. 在等边三角形ACD中， ∵E为AC的中点， ∴DNAC， ∴NANC，

∴NACNCAa， ∴DAN60a， 在ABN和ADN中，

ABADBNDN ANAN∴ABN≌ADNSSS，

∴ABNADN30，BANDAN60a， ∴BAC602a，

在ABC中，BACACBABC180 ∴602a2a2a180， ∴a20，

∴NBCABCABN10， ∴MNBNBCNCB30， ∴MNBMBN， ∴MBMN. 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

15

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

19．某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

（2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？ 【答案】（1）商场两次共购进这种运动服600套；（2）每套运动服的售价至少是200元

【分析】（1）设该商场第一次购进这种运动服x套，第二次购进2x套，然后根据题意列分式解答即可； （2）设每套售价是y元，然后根据“售价-两次总进价≥成本×利润率”列不等式并求解即可． 【详解】解：（1）设商场第一次购进x套运动服，由题意得

680003200010 2xx解这个方程，得x200 经检验，x200是所列方程的根

2xx2200200600；

答：商场两次共购进这种运动服600套； （2）设每套运动服的售价为y元，由题意得

600y320006800020%，

3200068000解这个不等式，得y200．

答：每套运动服的售价至少是200元． 【点睛】

本题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，弄清题意、确定量之间的关系、列出分式方程和不等式是解答本题的关键．

20．请在下列三个2×2的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画．．．．．．．．．的三个图形不能重复）

16

【答案】

【解析】试题分析：可分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 试题解析：如图所示：

考点：利用轴对称设计图案

21．在△ABC中，∠CAB＝45°，BD⊥AC于点D，AE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，AE与DF交于点G，连接BG． （1）求证：AG＝BG；

（2）已知AG＝5，BE＝4，求AE的长．

【答案】（1）见解析；（2）1

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质证明结论；

（2）根据勾股定理求出GE，利用AE＝GA+GE即可求解． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，∠CAB＝45°， ∴△ADB为等腰直角三角形， ∴DA＝DB， ∵DF⊥AB， ∴AF＝FB， ∴GF垂直平分AB， ∴AG＝BG；

（2）解：∵GA＝GB，GA＝5， ∴GB＝5， ∵AE⊥BC

17

∴GEB90

∴GE＝GB2BE2＝5242 ＝3， ∴AE＝GA+GE＝1． 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理，掌握等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理是解题的关键．

22．两个工程队共同参与一项筑路工程，若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元；若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元． （1）求乙队单独完成这项工程需多少天？ （2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？

（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？

【答案】（1）乙队单独完成这项工程需90天；（2）甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费为8万元；（3）乙队最少施工30天

【分析】（1）设乙队单独完成这项工程需x天，根据“甲、乙合作30天的工作量＋乙队15天的工作量=1”列分式方程即可；

（2）设甲队每天的施工费为a万元，乙队每天的施工费为b万元，根据题意列二元一次方程组即可求出a、b的值；

（3）先求出甲的效率，设乙队施工y天，则甲队还需施工1不超过840万元”列出不等式即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x天 由题意可得：解得：x=90

经检验：x=90是原方程的解

答：乙队单独完成这项工程需90天．

（2）设甲队每天的施工费为a万元，乙队每天的施工费为b万元 由题意可知：y1天完成任务，然后根据“总费用906011×30+151 36x30ab15b810

36ab828a15解得：

b8答：甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费为8万元．

18

（3）甲的效率为

111 369060y1天完成任务 9060设乙队施工y天，则甲队还需施工1y11根据题意可得15×＋8y≤840 9060解得：y≥30

答：乙队最少施工30天． 【点睛】

此题考查的是分式方程的应用、二元一次方程组的应用和不等式的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．

23．如图，ABC和AED是等腰直角三角形，ABAC，AEAD，BACEAD90，点E在ABC的内部，且BEC130．

图1 备用图 备用图 （1）猜想线段EB和线段DC的数量关系，并证明你的猜想； （2）求DCE的度数；

（3）设AEB，请直接写出为多少度时，CED是等腰三角形． 【答案】（1）EBDC，证明见解析；（2）40；（3）为115或85或145 【分析】（1）EB＝DC，证明△AEB≌△ADC，可得结论；

（2）如图1，先根据三角形的内角和定理可得∠ECB＋∠EBC＝50°，根据直角三角形的两锐角互余得：∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠ACE＋∠ABE＝90°−50°＝40°，由（1）中三角形全等可得结论； （3）△CED是等腰三角形时，有三种情况：①当DE＝CE时，②当DE＝CD时，③当CE＝CD时，根据等腰三角形等边对等角可得的值． 【详解】解：（1）证明：EBDC

BACEAD90

BACCAEEADCAE

EABDAC

在AEB与ADC中

19

ABACEABDAC AEADAEBADC，

EBDC；

（2）

BEC130，

BEAAEC360130230 AEBADC，

AEBADC，

ADCAEC230，

又

AED是等腰直角三角形，

DAE90，

四边形AECD中，DCE3609023040；

（3）当△CED是等腰三角形时，有三种情况： ①当DE＝CE时，∠DCE＝∠EDC＝40°， ∴＝∠ADC＝40°＋45°＝85°， ②当DE＝CD时，∠DCE＝∠DEC＝40°， ∴∠CDE＝100°，

∴＝∠ADE＋∠EDC＝45°＋100°＝145°， ③当CE＝CD时， ∵∠DCE＝40°， ∴∠CDE＝

18040＝70°， 2∴＝70°＋45°＝115°，

综上，当的度数为115或85或145时，AED是等腰三角形．

【点睛】

本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质等知识，第一问证明全等三角形是关键，第二问运用整体的思想是关键，第三问分情况讨论是关键．

20

24．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作两个等边三角形△ABD，△ACE．连接BE、CD交点F，连接AF．

（1）求证：△ACD≌△AEB； （2）求证：AF+BF+CF=CD．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAB＝60，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）如图，延长FB至K，使FK＝DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【详解】（1）∵△ABD和△ACE为等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAB=60°， ∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC． 在△ACD和△AEB中，

ADAB∵DACBAE， ACAB∴△ACD≌△AEB(SAS)； （2）由（1）知∠CDA=∠EBA， 如图∠1=∠2，

∴180°﹣∠CDA﹣∠1=180°﹣∠EBA﹣∠2， ∴∠DAB=∠DFB=60°，

如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK， ∴△DFK为等边三角形， ∴DK=DF，

∴△DBK≌△DAF(SAS)， ∴BK=AF，

∴DF=DK，FK=BK+BF， ∴DF=AF+BF，

21

又∵CD=DF+CF， ∴CD=AF+BF+CF．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

25．如图，在ABC中，ABAC，BAC120，直线DE垂直平分AC，交BC于点D，交AC于点E，且DE2cm，求BC的长.

【答案】BC12cm

【分析】首先连接AD，由DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质，易得AD=CD，又由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，易求得∠DAC=∠B=∠C=30°，继而可得∠BAD=90°，然后利用含30°角的直角三角形的性质，可求得CD、BD的长，进而得出BC的长． 【详解】连接AD． ∵DE垂直平分AC， ∴AD=CD，∠DEC=90°， ∴∠DAC=∠C．

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C180BAC30°，

2∴∠DAC=∠C=∠B=30°， ∴∠ADB=∠DAC+∠C=60°， ∴∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB=90°， 在Rt△CDE中，∠C=30°，DE=2cm， ∴CD=2DE=4cm， ∴AD=CD=4cm，

在Rt△BAD中，∠B=30°，

22

∴BD=2AD=8cm， ∴BC=BD+CD=12cm．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

23

24

八年级上学期期末数学试卷

一、选择题（每题只有一个答案正确）

1．如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ）

A．2个 【答案】B

B．4个 C．6个 D．8个

【解析】试题分析：观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．

根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点． 故选B．

考点：本题考查三角形全等的判定方法

点评：解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏．

2．如图，△ABC的面积为8cm2 ， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ）

A．2cm2 【答案】C

B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2

【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积． 【详解】延长AP交BC于E．

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，∴∠ABP＝∠EBP，∠APB＝∠BPE＝90°．

25

APBEPBBPBP在△APB和△EPB中，∵，∴△APB≌△EPB（ASA），∴S△APB＝S△EPB，AP＝PE，ABPEBP∴△APC和△CPE等底同高，∴S△APC＝S△PCE，∴S△PBC＝S△PBE+S△PCE故选C．

1S△ABC＝4cm1． 2

【点睛】

本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC＝S△PBE+S△PCE3．如果m是15的整数部分，则m的值为（ ） A．1 【答案】C

【分析】找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，即可得出所求的无理数的整数部分． 【详解】解：∵9＜15＜16， ∴3＜15＜4， ∴m＝3， 故选：C． 【点睛】

此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4．点P(－2,3)到x轴的距离是( ) A．2 【答案】B

【解析】直接利用点的坐标性质得出答案． 【详解】点P（-2，1）到x轴的距离是：1． 故选B． 【点睛】

此题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标性质是解题关键． 5．下列语句中，是命题的为( )．

26

1S△ABC． 2B．2 C．3 D．4

B．3 C． D．5

A．延长线段AB到C B．垂线段最短 【答案】B

C．过点O作直线a∥b D．锐角都相等吗

【分析】根据命题的定义对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】A，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题； B，是，因为能够判断真假，故是命题；

C，不是，因为不能判断其真假，故不构成命题； D，不是，不能判定真假且不是陈述句，故不构成命题； 故选B． 【点睛】

此题主要考查学生对命题与定理的理解及掌握情况．

6．在平面直角坐标系中，如果点A的坐标为(﹣1，3)，那么点A一定在( ) A．第一象限 【答案】B

【分析】根据平面直角坐标系中点P(a,b)，①第一象限：a>1，b>1；②第二象限：a<1，b>1；③第三象限：a<1，b<1；④第四象限：a>1，b<1；据此求解可得． 【详解】解：∵点A的横坐标为负数、纵坐标为正数， ∴点A一定在第二象限． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查坐标确定位置，解题的关键是掌握①第一象限：a>1，b>1；②第二象限：a<1，b>1；③第三象限：a<1，b<1；④第四象限：a>1，b<1．

7．已知ABC中，B是A的2倍，C比A大20，则A等于( ) A．30 【答案】B

【分析】设Ax，则B,C可表示出来，然后利用三角形内角和定理即可求出A的度数． 【详解】设Ax，则B2x,Cx20 根据三角形内角和定理得，x2xx20180 解得x40 故选：B． 【点睛】

本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

27

B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

B．40 C．60 D．80

8．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A．1.5 【答案】B

【分析】根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、1.5B．

3 3C．9 D．1 36，不是最简二次根式，本选项错误； 2B、

3是最简二次根式，本选项正确； 3C、93不是最简二次根式，本选项错误； D、13不是最简二次根式，本选项错误； 33故选B． 【点睛】

此题考查了最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．

9．下列说法中正确的是（ ） A．带根号的数都是无理数 C．无限小数都是无理数 【答案】D

【分析】根据无理数的定义判断各选项即可． 【详解】A中，例如42，是有理数，错误； B中，例如π，是无理数，错误； C中，无限循环小数是有理数，错误； D正确，无限不循环的小数是无理数 故选：D 【点睛】

本题考查无理数的定义，注意含有π和根号开不尽的数通常为无理数． 10．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）

B．不带根号的数一定是有理数 D．无理数一定是无限不循环小数

28

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故错误； B、不是轴对称图形，故错误； C、是轴对称图形，故正确； D、不是轴对称图形，故错误． 故选：C． 【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 二、填空题

x29

11．若分式的值为0，则x的值为_______.

x3

【答案】-1

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

x29=0【详解】解：根据题意得：，

x30解得：x=-1． 故答案为：-1. 【点睛】

若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为2；（2）分母不为2．这两个条件缺一不可． 12．一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转(090)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则的度数为______.

【答案】15°或60°.

【分析】分情况讨论：①DE⊥BC，②AD⊥BC，然后分别计算的度数即可解答. 【详解】解：①如下图，当DE⊥BC时， 如下图，∠CFD＝60°，

29

旋转角为：＝∠CAD＝60°-45°＝15°； （2）当AD⊥BC时，如下图，

旋转角为：＝∠CAD＝90°-30°＝60°；

【点睛】

本题考查了垂直的定义和旋转的性质，熟练掌握并准确分析是解题的关键. 13．已知点P(a，b)在一次函数y＝2x+1的图象上，则2a﹣b＝_____． 【答案】-1

【分析】把P点的坐标代入，再求出答案即可． 【详解】∵点P(a，b)在一次函数y＝2x+1的图象上， ∴代入得：b＝2a+1， ∴2a﹣b＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能得出b=2a+1是解此题的关键．

14．在ABC中，将B，C按如图所示方式折叠，点B，C均落于边BC上一点Q处，线段MN，EF为折痕，若A82，则MQE______.

【答案】82

【分析】由折叠的性质，得到∠MQN=∠B，∠EQF=∠C，由三角形内角和定理，得到∠B+∠C=98°，根据平角的定义，即可得到答案.

【详解】解：由折叠的性质，得到∠MQN=∠B，∠EQF=∠C， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=180°8298°，

30

∴∠MQN+∠EQF=98°， ∴MQE1809882； 故答案为：82. 【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，以及平角的定义，解题的关键是熟练掌握折叠的性质进行解题.

15．直角三角形的两边长分别为3和5,则第三条边长是________. 【答案】4或34 【分析】由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分5是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】∵直角三角形的两边长分别为3和5，

∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x，则x=5232=4； ②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x，则x=5232=34， 综上所述，第三边的长为4或34， 故答案为4或34. 【点睛】

本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．注意分类讨论思想的运用.

16．D、E为△ABC两边AB、AC的中点，如图，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=55°，则∠BDF=_______°．

【答案】1

【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出∠ADE=∠FDE=55°，则∠BDF即可求． 【详解】解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线． ∴DE∥BC ∴∠ADE=∠B=55° ∴∠EDF=∠ADE=55° ∴∠BDF=180-55-55=1°．

31

故答案为：1． 17．计算24181= ． 3【答案】6．

【解析】化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解：

2418三、解答题 18．因式分解:

1=266=6． 3（1）x16y； （2）x39x6x2

【答案】（1）(x4y)(x2y)(x2y)；（2）xx3.

22442【分析】（1）两次利用平方差公式分解因式即可；

（2）先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

22224422【详解】解：（1）x16y=(x4y)(x4y)=(x4y)(x2y)(x2y)； 2（2）x39x6x2=x(x6x9)=xx3．

2【点睛】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

19．如图，在ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是BAC和ABC的角平分线，它们相交于点O，AOB125．求CAD的度数．

【答案】CAD20．

【分析】根据角平分线的性质，由AOB125，得到CABCBA110，然后得到∠C，由余角的性质，即可求出答案.

【详解】解：∵AE，BF分别是BAC和ABC的角平分线，

32

11OABBAC，OBAABC．

22CABCBA2(OABOBA)2180AOB AOB125， CABCBA110， C70． AD是BC边上的高

ADC90，

CAD20．

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出C70，从而求出答案.

20．如图，直角坐标系xOy中，一次函数y函数的图像l2与l1交于点Cm,3．

1x5的图像l1分别与x、y轴交于A,B两点，正比例2

（1）求m的值及l2的解析式； （2）求SAOCSBOC的值；

（3）在坐标轴上找一点P，使以OC为腰的OCP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）m=4，l2的解析式为y3x；（2）5；（3）点P的坐标为（5，0），（0，5），（0，45），（5，0），（8，0），（0，6）.

【分析】（1）先求得点C的坐标，再运用待定系数法即可得到l2的解析式；

（2）过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=3，CE=4，再根据A（10，0），B（0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S△AOC-S△BOC的值；

（3）由等腰三角形的定义，可对点P进行分类讨论，分别求出点P的坐标即可.

33

【详解】解：（1）把C（m，3）代入一次函数y12x5，可得 312m5，

解得m=4， ∴C（4，3），

设l2的解析式为y=ax，则3=4a， 解得：a=

34， ∴l32的解析式为：y4x； （2）如图，过C作CD⊥AO于D，CE⊥BO于E，则CD=3，CE=4，

由y12x5，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10， ∴A（10，0），B（0，5）， ∴AO=10，BO=5， ∴S△AOC-S△BOC=

12×10×312×5×4=15-10=5； （3）∵OCP是以OC为腰的等腰三角形， 则点P的位置有6种情况，如图：

∵点C的坐标为：（4，3），

34

∴OC42325，

∴OCOP1OP2OP3OP4CP5CP65，

∴点P的坐标为：（5，0），（0，5），（0，5），（5，0），（8，0），（0，6）. 【点睛】

本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论思想等．

21．计算：（1）(2a3b)(2a3b)(a3b)2 （2）（

11a2a） ）÷（a1a1a1【答案】（1）3a26ab18b2；（2） 1 2aa【分析】(1)先根据平方差公式对第一项式子化简，再根据完全平方公式把括号展开，再化简合并同类项即可得到答案.

(2)先通分去合并，再化简即可得到答案. 【详解】(1)解：（2a+3b）（2a-3b）﹣（a-3b）2 =4a2－9b2－(a2-6ab+9b2) =4a2－9b2－a2+6ab－9b2

=3a26ab18b2 （2）（

11a2a） ）÷（a1a1a12a11aaa=() ÷() (a1)(a1)(a1)(a1)a1a1a22aa2=÷ (a1)(a1)a1=

a2a111×==2.

(a1)(a1)a(a2)a(a1)aa【点睛】

本题主要考查了多项式的化简、分式的化简，掌握通分、完全平方差公式、平方差公式是解题的关键. 22．若∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：AB＝DC

35

【答案】见详解.

【分析】通过AAS证明三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明. 【详解】证明：在△ABC和△DCB中，

A=D21 BCCB∴△ABC≌△DCB ∴AB=DC. 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

23．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．

（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC

（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程； BD，CD之间的数量关系式为：（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD， （不写证明过程）

【答案】（1）见解析；（2）CD＝2AD+BD，理由见解析；（3）CD＝3AD+BD 【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△AEC；

（2）由“SAS”可证△ADB≌△AEC，可得BD＝CE，由直角三角形的性质可得DE＝2AD，可得结论； （3）由△DAB≌△EAC，可知BD＝CE，由勾股定理可求DH＝

3AD，由AD＝AE，AH⊥DE，推出2DH＝HE，由CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD，即可解决问题； 【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，

36

∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）； （2）CD＝2AD+BD， 理由如下：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）； ∴BD＝CE，

∵∠BAC＝90°，AD＝AE， ∴DE＝2AD， ∵CD＝DE+CE， ∴CD＝2AD+BD； （3）作AH⊥CD于H．

∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ADB≌△AEC（SAS）； ∴BD＝CE，

∵∠DAE＝120°，AD＝AE， ∴∠ADH＝30°， ∴AH＝

12AD， ∴DH＝AD2AH2＝32AD，∵AD＝AE，AH⊥DE， ∴DH＝HE，

37

∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝3AD+BD， 故答案为：CD＝3AD+BD． 【点睛】

本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.

24．如图，四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°．

（1）判断∠D是否是直角，并说明理由． （2）求四边形ABCD的面积.

【答案】（1）∠D是直角．理由见解析；（2）2.

【分析】（1）连接AC，先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理，求得∠D=90°即可； （2）根据△ACD和△ACB的面积之和等于四边形ABCD的面积，进行计算即可． 【详解】（1）∠D是直角．理由如下： 连接AC．

∵AB=20，BC=15，∠B=90°， ∴由勾股定理得AC2=202+152=1． 又∵CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=1， ∴AC2=CD2+AD2， ∴∠D=90°．

（2）四边形ABCD的面积=

1111AD•DC+AB•BC=×24×7+×20×15=2． 2222

【点睛】

考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的综合运用，解决问题时需要区别勾股定理及其逆定理．通过作辅助线，将四边形问题转化为三角形问题是关键．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，

38

（1）尺规作图：作△ABC的角平分线AE，交CD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：△CEF为等腰三角形．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧交AC、AB于M、N，分别以M、N为圆心大于为半径画弧，两弧交于点P，直线射线AP交BC于E，线段AE即为所求；4 （2）只要证明∠CEF=∠CFE，即可推出CE=CF； 【详解】（1）如图线段AE即为所求；

1MN长2

（2）证明：∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B，

∵∠CFE＝∠ACF+∠CAF，∠CEF＝∠B+∠EAB，∠CAF＝∠EAB， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF，

∴△CEF是等腰三角形． 【点睛】

本题考查作图-基本作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，灵活运用所学知识解决问题．

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