大一高等数学期末考试试卷及答案详解梳理

大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分）

2ex,x0,1. （3分）若f(x)为连续函数,则a的值为( ).

ax,x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知f(3)2,则limh0f(3h)f(3)的值为（ ）.

2h(A)1 (B)3 (C)-1 (D)

1 23. （3分）定积分21cos2xdx的值为（ ）.

2(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2

4. （3分）若f(x)在xx0处不连续,则f(x)在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）

1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(x,y)处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .

2. （3分） (x2x4sinx)dx .

113. （3分） limx2sinx01= . x4. （3分） y2x33x2的极大值为 .

三、计算题（共42分） 1. （6分）求limx0 xln(15x). 2sin3xex2. （6分）设y2,求y.

x13. （6分）求不定积分xln(1x2)dx.

1/5

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4. （6分）求30x,x1,f(x1)dx,其中f(x)1cosx

ex1,x1.yx005. （6分）设函数yf(x)由方程etdtcostdt0所确定,求dy. 6. （6分）设f(x)dxsinx2C,求f(2x3)dx.

37. （6分）求极限lim1.

n2n四、解答题（共28分）

1. （7分）设f(lnx)1x,且f(0)1,求f(x).

n2. （7分）求由曲线ycosxx和x轴所围成图形围着x轴旋转一周

22所得旋转体的体积.

3. （7分）求曲线yx33x224x19在拐点处的切线方程. 4. （7分）求函数yx1x在[5,1]上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)

设f(x)在区间[a,b]上连续,证明

baba1bf(x)dx[f(a)f(b)](xa)(xb)f(x)dx.

22a标准答案

一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1

2yx31; 2 ; 3 0; 4 0.

3x5x三、 1 解 原式lim 5分

x03x2

5 1分 32 解

exxlnyln2ln(x21), 2分

x122/5

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ex12x[2] 4分 y2x12x13 解 原式122ln(1x)d(1x) 3分 2

12x[(1x2)ln(1x2)(1x2)dx] 2分 221x1[(1x2)ln(1x2)x2]C 1分 2

4 解 令x1t,则 2分

03f(x)dx1f(t)dt 1分

12tdt1(et1)dt 1分

1cost212 1分 0[ett]1e2e1 1分

5 两边求导得eyycosx0, 2分

y

cosx 1分 yecosx 1分 sinx1cosxdx 2分

sinx11f(2x3)d(2x2) 2分 2dy6 解

f(2x3)dx1sin(2x3)2C 4分 27 解 原式=lim1n32n2n332 4分

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=e 2分

四、1 解 令lnx32t,则xet,f(t)1et, 3分

f(t)(1et)dt=tetC. 2分

f(0)1,C0, 2分

f(x)xex. 1分

2 解 Vx2cos2xdx 3分

2

202cos2xdx 2分

3 解

22. 2分

y3x26x24,y6x6, 1分

令y0,得x1. 1分 当x1时,y0; 当1x时,y0, 2分

(1,3)为拐点, 1分

该点处的切线为y321(x1). 2分

4 解

y1121x1, 2分

21x21x令y0,得x3. 1分 435y(5)56,2.55,y,y(1)1, 2分

4435 最小值为y(5)56,最大值为y. 2分

44五、证明

ba(xa)(xb)f(x)(xa)(xb)df(x) 1分

ab4/5

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[(xa)(xb)f(x)]aaf(x)[2x(ab)dx 1分 a[2x(ab)df(x) 1分 [2x(ab)]f(x)a2af(x)dx 1分 (ba)[f(a)f(b)]2af(x)dx, 1分

移项即得所证. 1分

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bbbbbb5/5