向量与三角形

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）OAOBOC0O是ABC的重心.

证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)

ABAC平分BAC, cbbcABAC)，令 AO(abccbbcABAC（) AOabccb化简得(abc)OAbABcAC0

aOAbOBcOC0

（4）OAOBOCO为ABC的外心。

典型例题：

例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

x1x2x3x(x1x)(x2x)(x3x)03 O是OAOBOC0(y1y)(y2y)(y3y)0yy1y2y33ABC的重心.

证法2：如图

AOPOA(ABAC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示ABC，D、E分别为边BC、AC的

中点.

OAOBOC OA2OD0 AO2OD

A、O、D三点共线，且O分AD

为2：1

O是ABC的重心

BOEAABAC2AD

DCOPOA2AD OPOAAP AP2AD

EOE（2）OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心.

证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.

BDCOAOBOBOCOB(OAOC)OBCA0 OBAC

同理OABC，OCAB

AAP//AD

点P的轨迹一定通过ABC的重心，即选C.

CO为ABC的垂心

BD例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是ABC的内心

OPOA(ABABACAC)，0, ，则点P的轨迹一定通过ABC的（ B ）

aOAbOBcOC0O为ABC的内心. ABAC证明：、分别为AB、AC方向上的单位向量，

cbA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：第 1 页 共 2 页

ABAC分别为AB、、AC方向上的单位向量，

ABAC

ABABACAC

平分BAC,

之比是（ ）

A．0 B．

354 C． D． 243点P的轨迹一定通过ABC的内心，即选B.

例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

4．ABC的外接圆的圆心为O，若OHOAOBOC，则H是ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OABCOB

222OPOA(ABABcosBACACcosC则点P的轨迹一定通过ABC的（ ） 0, ，)，

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足.

ACAOCAB，则O是ABC的（ ）

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

6．ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，

E222(ABABcosBABBCABcosBACACcosCACBC)BC

则实数m =

→→→→1ABACABAC→→→

7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC

2→→→→|AB||AC||AB||AC|

= BDCACcosCACBCcosCACcosC 为( )

A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形

C．等腰非等边三角形 D．等边三角形

8．已知ABC三个顶点A、B、C，若ABABACABCBBCCA，则ABC为（ ）

A．等腰三角形 B．等腰直角三角形

C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C

2ABBCcosB=ABcosB=BC+BC=0

点P的轨迹一定通过ABC的垂心，即选D.

练习：

1．已知ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PAPBPC0，若实数满足：ABACAP，则的值为（ ）

A．2 B．

3 C．3 D．6 22．若ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OAOBOC0，则OAOB( ) A．

11 B．0 C．1 D． 223．点O在ABC内部且满足OA2OB2OC0，则ABC面积与凹四边形ABOC面积

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