2021年北京市西城区中考数学一模答案 2021.04

2021年北京市西城区中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是( )

A．圆柱

B．三棱锥

C．三棱柱

D．正方体

【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案． 【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形， 故该几何体是一个柱体， 又俯视图是一个三角形， 故该几何体是一个三棱柱． 故选：C．

【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．

2．（2分）2021年2月27日，由嫦娥五号带回的月球样品（月壤）正式入藏中国国家博物馆，盛放月球样品的容器整体造型借鉴自国家博物馆馆藏的系列青铜“尊”造型，以体现稳重大方之感，它的容器整体外部造型高38.44cm，象征地球与月亮的平均间距约384400km．将384400用科学记数法表示应为( )

A．38.44104

B．3.844105

C．3.844104

D．0.3844106

【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数． 【解答】解：3844003.844104． 故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（2分）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

B．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．（2分）若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则以下结论正确的是( )

A．ab0

B．ab0

C．ba

D．a2b

【分析】根据数轴上点的位置，先确定a、b对应点的数，再逐个判断得结论． 【解答】解：根据数轴，a0，b0． ab0，ab0，故A、B选项错误． 4a3，2b3． 3a4． ba．

故C错误．

4a3，2b3． a2b，故D正确

故选：D．

【点评】本题考查了实数与数轴的对应关系、绝对值及有理数乘法的符号法则．认真分析数轴得到有用信息是解决本题的关键．

5．（2分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是(

) A．4

B．5

C．6

D．8

【分析】任何多边形的外角和是360，内角和等于外角和的2倍则内角和是720．n边形的内角和是(n2)180，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． 【解答】解：根据题意，得： (n2)180720，

解得：n6． 故选：C．

【点评】本题考查内角和与外角和的知识，关键在于设立未知数，转化为方程的问题来解决．属于基础题．

6．（2分）如图，AB是O的直径，CD是弦（点C不与点A，点B重合，且点C与点D位于直径AB两侧），若AOD110，则BCD等于( )

A．25

B．35

C．55

D．70

【分析】连接AC，求出ACB和ACD，即可得到答案． 【解答】解：连接AC，如图：

AB是O的直径，

ACB90， AOD110， ACD55，

BCDACBACD35，

故选：B．

【点评】本题考查圆心角及圆周角的关系，掌握同（等)圆中，同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键．

7．（2分）春回大地万物生，“微故宫”微信公众号设计了互动游戏，与大家携手走过有故宫猫陪伴的四季．游戏规则设计如下：每次在公众号对话框中回复【猫春图】，就可以随机抽取7款“猫春图”壁纸中的一款，抽取次数不限，假定平台设置每次发送每款图案的机会相同，小春随机抽取了两次，她两次都抽到“东风纸鸢”的概率是( )

A．

1 7B．

2 7C．

1 49D．

2 49【分析】画树状图，共有49个等可能的结果，小春两次都抽到“东风纸鸢”的结果有1个，再由概率公式求解即可．

【解答】解：把7款“猫春图”分别记为A、B、C、D、E、F、G， 画树状图如图：

共有49个等可能的结果，小春两次都抽到“东风纸鸢”的结果有1个，

小春两次都抽到“东风纸鸢”的概率为

1， 49故选：C．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 8．（2分）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．下表中列出了当气温为5C时，风寒温度T(C)和风速v(km/h)的几组对应值，那么当气温为5C时，风寒温度T与风速v的函数关系最可能是( ) 风速v（单位：km/h) 风寒温度T（单位：C) A．正比例函数关系 C．二次函数关系

0 5 10 3 20 1 30 40 3 1 B．一次函数关系 D．反比例函数关系

【分析】利用待定系数法求解即可．

【解答】解：当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系， 设风寒温度T和风速v的关系式为：Tkvb， b5根据题意，得：，

10kb3k0.2解得，

b5所以T0.2v5， 故选：B．

【点评】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键． 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．（2分）如果分式

x3的值为0，那么x的值为 3 ．2222aa x2【分析】根据分式的分子为0，分母不为0，可得答案． 【解答】解：x30，且x20， x3，

故答案为：3．

【点评】本题考查了分式值为0的条件，分式的分子为0，分母不为0是解题关键． 10．（2分）将一副直角三角板如图摆放，点A落在DE边上，AB//DF，则1 75 ．

【分析】根据平行线的性质可得2的度数，再利用外角的性质可得1． 【解答】解：如图：

AB//DF， 2F45．

由外角的性质可得：1CABF， 1304575．

故答案为：75．

【点评】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，得出2的度数是解题关键． 11．（2分）比7大的整数中，最小的是 3 ． 【分析】估算出7的大小即可求解． 【解答】解：479，

273，

比7大的整数中，最小的是3．

故答案为：3．

【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，估算出7的范围是解答本题的关键． 12．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线的交点，那么DAC与ACB的大小关系为：DAC  ACB（填“”，“ ”或“” )．

【分析】把DAC和ACB分别拆分成两个角的和，再进行比较． 【解答】解：如图，

由图形可知，AE//CF， EACACF， tanDAEtanBCFDE1， AE2BF1， CF3DAEBCF，

又DACDAEEAC，ACBACFBCF， DACACB．

故答案为：．

【点评】本题主要考查角度的和差计算，角度的正切值等；利用背景图形去判断角度大小是常见的一种做题方法．

2xy513．（2分）已知方程组，则xy的值为 2 ．

x2y1【分析】将两方程相加后，再两边同除以3即可得到答案． 2xy5①【解答】解：

x2y1②①②得，3x3y6 xy2．

故答案为：2．

【点评】此题考查的是解二元一次方程组，掌握其解法是解决此题关键．

14．（2分）某公司销售一批新上市的产品，公司收集了这个产品15天的日销售额的数据，制作了如下的统计图．

关于这个产品销售情况有以下说法：

①第1天到第5天的日销售额的平均值低于第6天到第10天的日销售额的平均值； ②第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差； ③这15天日销售额的平均值一定超过2万元． 所有正确结论的序号是 ①②③ ．

【分析】读出图中显示的数据；①计算第1天到第5天的日销售额的平均值和第6天到第10天的日销售额的平均值，然后再比较即可；②计算第6天到第10天日销售额的方差和第11天到第15天日销售额的方差，再进行比较；③计算这15天日销售额的平均值跟2万元比较即可．

【解答】解：由图可知这15天的数据大概是：2，3，3.5，4，4.2，4.6，4.4，4.5，4.5，4.5，3.5，3.2，2，1.8，0.8．

第1天到第5天的日销售额的平均值3.57；

第6天到第10天的日销售额的平均值4.53.57，故①正确；

由图中的数据可知，第6天到第10天日销售额的波动小于第11天到第15天日销售额的波动，即第6天到第10天日销售额的方差小于第11天到第15天日销售额的方差；故②正确； 这15天的平均值3.362，故③正确． 故答案为：①②③．

【点评】本题主要考查数据的平均值，方差，理解方差表示的是这组数据的波动情况可避免繁杂计算．

15．（2分）将二次函数yx2的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量x的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的x的取值范围是 0x3 ． 【分析】由函数yx2的图象平移可得出平移后函数的解析式为：y(x3)2，分别得出两个函数的增减性即可．

【解答】解：将二次函数yx2的图象向右平移3个单位得到新函数：y(x3)2， 函数图象如图所示：

由yx2可知，当x0时，y随x的增大而增大，即函数的图象从左往右上升；x0时，y随x的增大而减小，即函数的图象从左往右下降；

由y(x3)2，当x3时，y随x的增大而增大，即函数的图象从左往右上升；当x3时，

y随x的增大而减小，即函数的图象从左往右下降．

当0x3时，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下

降．

故答案为：0x3．

【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，二次函数的平移等内容，同时利用数形结合思想解决问题，使问题更直观．

16．（2分）某商家需要更换店面的瓷砖，商家打算用1500元购买彩色和单色两种地砖进行搭配，并且把1500元全部花完．已知每块彩色地砖25元，每块单色地砖15元，根据需要，购买的单色地砖数要超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍，那么符合要求的一种购买方案是 购买24块彩色地砖、60块单色地砖（或购买27块彩色地砖、55块单色地砖） ．

【分析】设购买x块彩色地砖，则购买

150025x块单色地砖，根据“购买的单色地砖数要15超过彩色地砖数的2倍，并且单色地砖数要少于彩色地砖数的3倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x，各购买方案，任写一种即可．

【解答】解：设购买x块彩色地砖，则购买

150025x块单色地砖， 15150025x均为正整数，即可得出15

150025x2x15依题意得：，

150025x3x15解得：又

300300， x1311150025x均为正整数， 15x，

x可以取24，27．

当x24时，

150025x60； 15当x27时，

150025x55． 15故答案为：购买24块彩色地砖、60块单色地砖（或购买27块彩色地砖、55块单色地砖）． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．

三、解答题（本题共68分，第17～21题，毎小题5分，第22题6分，第23题5分，第24～26题，每小题5分，第27～28题，每小题5分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

117．（5分）计算：4sin60()212|5|．

3【分析】直接利用二次根式以及负整数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． 【解答】解：原式4239235

39235 214．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 5(x1)7x1,18．（5分）解不等式组x1x2并求它的整数解．

,43【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式5(x1)7x1，得：x3， 解不等式

x1x2，得：x2， 34则不等式组的解集为2x3，

所以不等式组的整数解为1、0、1、2．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 19．（5分）已知x23x40，求代数式(2x1)(2x1)3x(x1)的值．

【分析】先根据整式的运算法则进行化简，然后将x23x4整体代入即可求出答案． 【解答】解：原式4x213x23x x23x1，

当x23x4时， 原式41 3．

【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 20．（5分）阅读材料并解决问题：

已知：如图，AOB及内部一点P． 求作：经过点P的线段EF，使得点E，F分别在射线OA，OB上，且OEOF． 作法：如图． ①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线OA，OB于点M，N； ②连接NP，作线段NP的垂直平分线，得到线段NP的中点C； ③连接MC并在它的延长线上截取CDMC； ④作射线DP，分别交射线OB，OA于点F，E．线段EF就是所求作的线段． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明证明：连接MN．

由②得，线段CN  CP（填“”，“ ”或“” )． 在MCN和DCP中，

， MCNDCP． NMCPDC．

． MN//EF( )（填推理的依据）又由①得，线段OMON． 可得OEOF．

【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）利用全等三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）图形如图所示：

（2）连接MN． 由作图可知，CNCP， 在MCN和DCP中， CMCDMCNDCP， CNCPMCNDCP(SAS)， NMCPDC，

， MN//EF（内错角相等两直线平行）又由①得，线段OMON， 可得OEOF．

故答案为：，内错角相等两直线平行．

【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等

知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21．（5分）奥林匹克森林公园南园（奥森南园）是深受北京长跑爱好者追捧的跑步地点．小华和小萱相约去奥森南园跑步踏青，奥森南园有5千米和3千米的两条跑道（如图所示）．小华选择了5千米的路线，小萓选择了3千米的路线，已知小华平均每分钟比小萱平均每分钟多跑100米，两人同时出发，结果同时到达终点．求小萱的速度．

【分析】根据ts可分别求出小华小萱的时间，再让两者相等，建立分式方程求解即可． v【解答】解：设小萱的速度为x米/分，则小华的速度为(x100)米/分， 5千米5000米，3千米3000米， 由题意得： 50003000， x100x解得x150，

经检验，x150是原方程的解，且符合题意．

小萱的速度为100米/分．

【点评】本题主要考查分式方程的应用，正确寻找二者存在的等量关系是解决此题的关键． 22．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，CEDE2BC．DC的中点为F，DE的中点为G，连接AF，FG． （1）求证：四边形AFGD为菱形； （2）连接AG，若BC2，tanB3，求AG的长． 2

【分析】（1）由平行四边形的性质得到AD//BC，ADBC，由三角形的中位线定理得到1FG//CE，FGCE，即CE2FG，结合条件得到ADFG，证得四边形AFGD是平行

2四边形，由已知条件证得ADDG，根据菱形的判定定理即可证得结论；

（2）由菱形的性质得到AOGO，AGDF，根据三角函数和勾股定理求出AO，即可得到AG．

【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， AD//BC，ADBC，

F为DC的中点，G为DE的中点，

1FG//CE，FGCE，

2即CE2FG， FG//BC， FG//AD， CE2BC2AD， ADFG，

四边形AFGD是平行四边形，

CEDE2BC2AD，G为DE的中点， CE2DG， ADDG，

四边形AFGD为菱形；

（2）解：四边形ABCD是平行四边形， ADBC2，ADOB，

四边形AFGD为菱形， AOGO，AGDF， 3tanB，

2tanADO

3， 2AO3， DO2设AO3x，DO2x， AO2DO2AD2，

(3x)2(2x)222， x213， 13613， 131213． 13AOAG2AO【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握菱形的性质和判定是解决问题的关键．

k23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线yxb与双曲线y(k0)交于A，B两

x点，点A，点B的横坐标xA，xB满足xAxB，直线yxb与x轴的交点为C(3,0)，与y轴的交点为D． （1）求b的值；

（2）若xA2，求k的值；

（3）当AD2BD时，直接写出k的取值范围． 【分析】（1）将点C代入yxb求解．

（2）把xA2代入一次函数解析式求出点坐标，再代入反比例函数解析式求解．

（3）分类讨论k0与k0两种情况，根据坐标系中中点公式求解． 【解答】解：（1）把(3,0)代入yxb得03b， b3．

（2）将x2代入yx3得y231，

点A坐标为(2,1)．

将(2,1)代入y解得k2．

kk得1， x2（3）由（1）得一次函数解析式为yx3．

直线与y轴交点D的坐标为(0,3)．

如图，当k0时，直线与双曲线交点在第一象限，

k当AD2BD时点A为BD中点，设点A坐标为(m,)，点B坐标为(a,b)，

m3am2，

0bk2ma2m3解得， 2kbm(2m3)2kk， m解得m2，

|k|越大双曲线越远离坐标轴，

0k2．

当k0时，交点B在第二象限，交点A在第四象限，ADBD，不满足题意．

【点评】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，解题关键是熟练掌握一次函数及反比例函数的性质．

24．（6分）国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们选择时参考的重要指标．某汽车杂志根据当前汽车行业常用的两种续航里程测试标准（标准M和标准N)，对市面上常见的9种车型进行了续航里程实测，并与这些厂家公布的工信部续航里程进行了对比，下面是部分信息：

a．标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，

463.2（单位：km)；

b．标准N下实测续航里程与工信部续航里程情况统计图（图1)；

c．标准N下实测续航里程频数分布直方图，为方便记录，将续航里程设为x（单位：km)，

数据分为A~F六组（图2)．

不同标准下实测续航里程统计表（单位：km)

标准M下实测续航里程 标准N下实测续航里程

平均数 中位数 根据信息回答以下问题： （1）补全图2；

400.5 a 316.6 b （2）不同标准下实测续航里程统计表中，a 403.7 ，在A~F六组数据中，b所在的组是 （只填写A~F中的相应代号即可）；

判断a与b的大小关系为a b（填“”，“ ”或“” )．

（3）在选购纯电动汽车时，实测续航里程与工信部续航里程的比值（简称“续航里程达成比” )越高越好，但续航里程达成比受到实测时各种实际条件的只能达到一定比例，晓春打算为家里选购纯电动汽车，如果在标准N下，他希望续航里程达成比不低于75%，请在图1中圈出实测续航里程不低于300km的车型中，符合他要求的车型所对应的点． 【分析】（1）根据题目中的信息，可以得到C组和D组的频数，从而可以将图2补充完整； （2）根据题目中的信息，可以得到a的值，b在哪一组，a和b的大小情况； （3）根据题意，可以将相应的点圈出来． 【解答】解：（1）由图1可得， C组的频数为4，D组的频数为1，

补全的图2如右图所示；

（2）标准M下的实测续航里程数据为324.8，355.8，378.2，385，403.7，407.9，441.2，445，463.2， a403.7，

由图1可知，b在C组， ab，

故答案为：403.7，C，； （3）由图1可知，

不低于300km的车型中对应的实际续航里程各数据约为：330，300，350，330，380，440，相对应的工程部续航里程为：410，440，475，510，525，570，相对应的“续航里程达成比”为：33041080%，30044068%，35047574%，33051065%，38052572%，44057077%，

符合晓春要求的车型所对应的点如下图所示．

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

25．（6分）如图，AB为O的弦，C为AB的中点，D为OC延长线上一点，DA与O相切，切点为A，连接BO并延长，交O于点E，交直线DA于点F． （1）求证：BD；

1（2）若AF42，sinB，求O的半径．

3

【分析】（1）由切线的性质可得OAD90，由余角的性质可求解； （2）通过证明FAE∽FBA，可得【解答】解：（1）连接OA，AE，

AFEF1，即可求解． BFAF3

OAOB， BOAB，

DA与O相切，

OAD90，

OABDAC90DCAD， DOABB；

（2）BE是直径， BAE90， sinBAE1， AB3设AEx，AB3x，

OAOE， OEAOAE，

OAEFAE90BBEA，

FAEB，

又FF，

FAE∽FBA，



AEAFEF， ABBFAFAFEF1， BFAF3EF1421，AFBF， AF33314242(BE)，

33

BEOB322， 3162， 3162． 3O的半径为【点评】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，证明FAE∽FBA是本题的关键．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax22a2x1(a0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线与抛物线交于点B． （1）直接写出抛物线的对称轴；

（2）若AB4，求抛物线所对应的函数解析式；

（3）已知点P(a4,1)，Q(0,a1)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

【分析】（1）根据抛物线对称轴公式即可的；

（2）根据题意求得a2，即可求得抛物线所对应的函数解析式；

（3）根据点P(a4,1)，Q(0,a1)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，即可求a的取值范围．

【解答】解：（1）抛物线yax22a2x1(a0)，

2a2抛物线的对称轴为直线xa；

2a（2）由题意可知抛物线的对称轴为直线x2， a2，

抛物线所对应的函数解析式为y2x28x1或y2x28x1；

（3）当a0时，抛物线过点P(a4,1)时，则

a4a，解得a4， 2

Q(0,5)，

此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．

当a0时，抛物线过点P(a4,0)时，a40，解得a4，

此时，Q(0,0)，抛物线与线段PQ有一个公共点；

综上所述，当0a4或4a0时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．

27．（7分）如图，在ABC中，过ABAC，BAC90，ADCBAC．D是ABC内一点，点B作BE//CD交AD的延长线于点E． （1）依题意补全图形； （2）求证：CADABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．

【分析】（1）根据要求作出图形即可．

（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．

（3）结论：CDAE，证明ABECAT(AAS)，即可解决问题． 【解答】（1）解：图形如图所示．

（2）证明：CD//BE， CDEAEB， ADCBAC，

ABCACBDACACDCDEAEB，

BAEABEAEB180，BAEDAC2ABC180， BAEABE2ABC180， CADABE．

（3）解：结论：CDAE．

理由：在AE的延长线上取一点T，使得CDCT， CDCT， TCDT， CD//BE，

AEBT，

ABAC，ABECAT，

ABECAT(AAS)， AECT， CDAE．

【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在PQR使得SPQRPQ2，则称PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．

（1）已知A(3,0)．

①在点P 1(1,3)，P2(2,6)，P3(5,1)，P4(3,6)中，是线段OA的“等幂点”的是 P2，P4 ；

②若存在等腰OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；

（2）已知点C的坐标为C(2,1)，点D在直线yx3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形” CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标xD的取值范围．

【分析】（1）①分别计算出对应三角形的面积，和OA2进行比较，若相等即为线段OA的等幂点；

②若OAB既是线段OA的“等幂三角形”，又是等腰三角形，需要分类讨论，当若OBAB，OAOB3，OAAB3时，分别求点B的坐标；

（2）先找到使得线段CD的“等幂三角形” CDE为锐角三角形的点E，再根据题目中的条件求出点D的横坐标的取值范围即可． 【解答】解：（1）①

A(3,0)，则OA3，OA29，

P1(1,3)，P2(2,6)，P3(5,1)，P4(3,6)，

191SOAP_133，SOAP_2369，

222131SOAP_331，SOAP_4369，

222是线段OA的“等幂点”的是P2，P4；

②若OBAB，OAB为OA的等幂三角形，则yB6， B(1.5,6)或B(1.5,6)；

若OAOB3，OAB为OA的等幂三角形，则yB6，即OB6，显然不成立； 若OAAB3，OAB为OA的等幂三角形，则yB6，即OB6，显然不成立； B(1.5,6)或B(1.5,6)；

（2）设D(m,m3)， C(2,1)，

CD2(2m)2(2m)22m28m8，

直线yx3与x轴交于但(3,0)，与y轴交于点(0,3)，T(1,0)， 设CD与x轴交于点F，而CFO45，

点T到CD的距离为2，

存在点E使CD的等幂三角形CDE，

CDE为锐角三角形， 1且SCDECD2CDh，

2则hmax22， 即2222|2m|，



3252， m223252． xD22【点评】本题属于新定义类问题，并在平面直角坐标系的背景下考查三角形的面积问题；理解给出的定义“等幂三角形”是解题关键．