第五章特殊平行四边形
一、选择题
1.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ） A. 8 B. 4
C. 8
D. 16
2.下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是菱形
3.已知菱形较大的角是较小角的3倍，并且高为4cm，则这个菱形的面积是（ ） A. 8
cm² B. 16
cm² C.
cm² D. 32 cm²
4.下列说法错误的是（ ）
A. 矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 5.菱形具有而矩形不具有性质是（ ）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分且相等 6.如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转后得到矩形A′BC′D′．若边A′B交线段CD于H，且BH=DH，则DH的值是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，D是AB上一动点，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（ ）
A. 2.5 B. 2.4 C. 2.2 D. 2
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（ ）
A. 75° B. 65° C. 55° D. 50°
9.如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD，则四边形ABCD面积的最大值是 （ ）
A. 15 B. 16 C. 19 D. 20
10.如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形(a＞0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）.
A. （2a2+5a）cm2 B. （3a+15）cm2 C. （6a+9）cm2 D. （6a+15）cm2
11.已知：如图，在▱ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N，AF，BE分别平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分别平分∠BCD，∠ADC，则四边形MFNE是 （ ）
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形
12.如图，E是矩形ABCD内的一个动点，连接EA、EB、EC、ED，得到△EAB、△EBC、△ECD、△EDA，设它们的面积分别是m、n、p、q，给出如下结论： ①m+n=q+p； ②m+p=n+q；
③若m=n，则E点一定是AC与BD的交点； ④若m=n，则E点一定在BD上． 其中正确结论的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ②③④
二、填空题
13.若四边形ABCD是矩形，请补充条件________（写一个即可），使矩形ABCD是正方形． 14.矩形中，对角线把矩形的一个直角分成1：2两部分，则矩形对角线所夹的锐角为________ 15.若矩形的一个内角的平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两段，则该矩形的周长为________． 16.菱形的对角线长分别为6和8，则菱形的边长是________，面积是________
17.如图，在矩形ABCD中，O是对角线的交点，AE⊥BD于E，若OE：OD=1：2，AC=18cm，则AB=________cm．
18.如图，在正方形ABCD中，对角线BD长为18cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于________cm．
19.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是________ .
20.正方形ABCD的边长为4，点P在正方形ABCD的边上，BP=5，则CP=________．
21.如图，正方形ABCD的边长为3，E为AD的中点，连接BE、BD、CE，则图中阴影部分的面积是________ ．
三、解答题
22.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．
23.已知如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD． （Ⅰ）求证：四边形AODE是矩形；
（Ⅱ）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．
24.如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．
求证：（1）四边形AMCF是菱形； （2）△ACB≌△MCE．
25.四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O．
（1）如图1，点P是正方形ABCD外一点，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与边BC相交，连接AP，BN． ①依题意补全图1；
②判断AP与BN的数量关系及位置关系，写出结论并加以证明；
（2）点P在AB延长线上，且∠APO=30°，连接OP，以OP为一边，作正方形OPMN，且边ON与BC的延长线恰交于点N，连接CM，若AB=2，求CM的长（不必写出计算结果，简述求CM长的过程）
参
一、选择题
A B B C C C B B A D B B 二、填空题
13. 此题答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等 14. 60°
15. 22cm或26cm 16. 5；24 17. 9 18. 9 19. 8 20. 3或 21. 3 三、解答题
22. 证明：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴∠FAD=∠EDA， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD=∠FAD， ∴∠EAD=∠FAD， ∴AE=ED，
∴四边形AEDF是菱形
23. （Ⅰ）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形， ∵在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∴平行四边形AODE是矩形， 故，四边形AODE是矩形；
（Ⅱ）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD， ∴∠ABC=180°﹣120°=60°， ∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形， ∴OA=
×6=3，OB=
×6=3
，
∵四边形ABCD是菱形， ∴OD=OB=3
，
=9
．
∴四边形AODE的面积=OA•OD=3×3
24. 证明：（1）∵△ACF是等边三角形， ∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACB=∠FAC， ∴AF∥BC， ∵AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形， ∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°， ∴∠AMC=60°， 又∵∠ACB=60°， ∴△AMC是等边三角形， ∴AM=MC，
∴四边形AMCF是菱形； （2）∵△BCE是等边三角形， ∴BC=EC，
在△ABC和△MEC中 ∵
，
∴△ABC≌△MEC（SAS）．
25. （1）解：①补全图形如图1所示，
②结论：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延长NB交AP于H，交OP于K． ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，AO⊥BO， ∴∠1+∠2=90°，
∵四边形OPMN是正方形， ∴OP=ON，∠PON=90°， ∴∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
，
∴△APO≌△BNO， ∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°， ∵∠7=∠6， ∴∠4+∠7=90°， ∴∠PHK=90°， ∴AP⊥BN．
（2）解：解题思路如下：
a．首先证明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB． b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由题意可知AT=TB=1， c．由∠APO=30°，可得PT=
，BN=AP=
+1，可得∠POT=∠MNS=60°．
d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN， 可证，△OTP≌△NSM， ∴PT=MS=
，
﹣1， ，
∴CN=BN﹣BC= ∴SC=SN﹣CN=2﹣
在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2 ， ∴MC的长可求．
