初一-第03讲-整式的乘法与平方差公式(培优)-教案

学科教师辅导讲义

学员编号： 学员姓名： 授课主题 授课类型 教学目标 授课日期及时段 年 级：七年级 辅导科目：数学 课 时 数：3 学科教师： 第03讲---整式的乘法与平方差公式 T同步课堂 P实战演练 S归纳总结 ① 掌握整式的乘法法则，能够准确计算整式乘法的计算题； ② 理解平方差公式，了解平方差公式的几何背景，会灵活运用平方差公式进行计算。 T（Textbook-Based）——同步课堂 体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下： m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式） 3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：(mn)(ab)mambnanb(m,n,a,b都是单项式） （二）平方差公式

1、平方差公式：(ab)(ab)a2b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式的推导：(ab)(ab)a2ababb2a2b2。平方差公式的逆用即a2b2(ab)(ab) 平方差公式的特点： （1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方） （3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。 2、平方差公式的几何意义 如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的 面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） 平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。 3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。 典例分析 考点一：整式的乘法 例1、下列计算正确的是（ ） A．（﹣2a）•（3ab﹣2a2b）=﹣6a2b﹣4a3b B．（2ab2）•（﹣a2+2b2﹣1）=﹣4a3b4 C．（abc）•（3a2b﹣2ab2）=3a3b2﹣2a2b3 D．（ab）2•（3ab2﹣c）=3a3b4﹣a2b2c 【解析】D 例2、若（am+1bn）（a2m1b2n）=a5b6（a、b均不等于1和0）则求m+n的值． 【解析】解：（am+1bn）（a2m1b2n）=a3mb3n=a5b6 ﹣﹣ m=，n=2， m+n=+2= 例3、阅读下列文字，并解决问题． 已知x2y=3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值 分析：考虑到满足x2y=3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，考虑整体思想，将x2y=3整体代入 解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）=2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y=2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y=2×33﹣6×32﹣8×3=﹣24． 请你用上述方法解决问题：已知ab=3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．

【解析】（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b） =﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab =﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab =﹣4×33+6×32﹣8×3 =﹣108+﹣24 =﹣78 例4、计算： （1）（﹣4ab3）（﹣ab）﹣（ab2）2 （2）（1.25×108）×（﹣8×105）×（﹣3×103） （3）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2） （4）anb2[3bn1﹣2abn+1+（﹣1）2003] ﹣ 【解析】（1）原式=a2b4 （2）原式=3×1017 （3）原式=﹣3x3y3+2x2y4+例5、观察下列各式 （x﹣1）（x+1）=x2﹣1 （x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1 （x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1 … ①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）= x7﹣1 ②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn1+…+x+1）= xn1﹣1 ﹣+xy5 （4）原式=3anbn+1﹣2an+1bn+3﹣anb2 ③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果 【解析】①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1 ②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn1+…+x+1）=xn1﹣1 ﹣+ ③原式=（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）=236﹣1 例6、先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明

图 3 （1）根据图2写出一个等式： （2）（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明． 【解析】①（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2 ②画出的图形如右图3：（答案不唯一，只要画图正确即得分） 考点二： 平方差公式 例1、已知a=20162，b=2015×2017，则（ ） A．a=b 【解析】B 例2、下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ） A．（2a+b）（2a﹣b） 【解析】C 例3、小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不 B．（2a+b）（b﹣2a） C．（2a+b）（﹣2a﹣b） D．（2a﹣b） （﹣2a﹣b） B．a＞b C．a＜b D．a≤b 用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 【解析】本题是平方差公式的逆用，把原式分母中200320012+200320032﹣2变形为（200320012﹣1）+（200320032﹣1），利用a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）计算 原式= =例4、计算： （1）（x+2）（x﹣2）（x2+4） （2）（2a+b）（2a﹣b）﹣4a（a﹣b）

（3） （4）4002﹣399×401 （5）（2x﹣3y）（3y+2x）﹣（4y﹣3x）（3x+4y） （6）（x+y）（x-y）+（2x+y）（2x-y） 【解析】（1）原式=x4﹣16 （2）原式=﹣b2+4ab （3）原式=12.32 （4）原式=1 （5）原式=13x2﹣25y2 （6）原式=5x2-2y2 例5、若（N+2005）2=1234567，求（N+2015）（N+1995）的值． 【解析】解：∵（N+2015）（N+1995） =[（N+2005）+10][（N+2005）﹣10] =（N+2005）2﹣102 （N+2005）2=1234567 ∴原式=1234567﹣100=1234566 例6、两个两位数的十位数字相同，一个数的个位数字是6，另一个数的个位数字是4，它们的平方差是220，求这两个两位数． 【解析】解：设这两个两位数的十位数字是x，则这个两位数依次表示为10x+6，10x+4， ∴（10x+6）2﹣（10x+4）2=220 解得：x=5 ∴这个两位数分别是56和 例7、阅读下列材料： 某同学在计算3（4+1）（42+1）时，把3写成4﹣1后，发现可以连续运用平方差公式计算： 3（4+1）（42+1）=（4﹣1）（4+1）（42+1）=（42﹣1）（42+1）=162﹣1 很受启发，后来在求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）的值时，又改造此法，将乘积式前面乘以1，且把1写为2﹣1得

（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1） =（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（22048+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（22048+1） =（22048﹣1）（22048+1） =24096﹣1 回答下列问题： （1）请借鉴该同学的经验，计算：（2）借用上面的方法，再逆用平方差公式计算：【解析】（1）原式=2（1﹣）（1+）…（1+=2（1﹣=2﹣（2）=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣=××××…×=×=×+）+=2 ）（1+） ， ）+， ； ． 考点三：平方差公式的几何意义 例1、乘法公式的探究及应用． （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式） （3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用式子表达） （4）运用你所得到的公式，计算：①10.3×9.7 ②（x+2y﹣3）（x﹣2y+3） 【解析】（1）a2﹣b2 （2）宽是：a﹣b，长是：a+b，面积是：（a+b）（a﹣b）； （3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2； （4）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=100﹣0.09=99.91

（x+2y﹣3）（x﹣2y+3） =[x+（2y﹣3）][x﹣（2y﹣3）] =x2﹣（2y﹣3）2 =x2﹣（4y2﹣12y+9） =x2﹣4y2+12y﹣9 例2、如图1所示，从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形， （1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的代数式表示S1和S2； （2）请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【解析】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴S1=a2﹣b2 S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）； （2）根据题意得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 例3、如图，边长为a的大正方形是由边长为b的小正方形和四个全等的梯形拼成的，请利用此图证明平方差公式 【解析】先求出梯形的高为（a﹣2b），再根据四个形的面积列出等式整理即可得证． 证明：∵四个梯形是全等梯形， ∴梯形的高为 =a2﹣b2 梯∴四个梯形的面积=4××（a+b）×整理得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 P(Practice-Oriented)——实战演练

实战演练 ➢ 课堂狙击 1、下列运算中，正确的是（ ） A．2x4﹣3x2=﹣x2 B．2x4+3x2=5x6 C．2x4•3x2=6x8 D．2x4•3x2=6x6 【解析】D 2、设（xm1yn+2）•（x5my2）=x5y3，则nm的值为 ． ﹣﹣ 【解析】解：∵（xm1yn+2）•（x5my2）=xm﹣﹣﹣1+5myn+22=x5y3 ﹣∴m﹣1+5m=5，n+2﹣2=3 解得m=1，n=3 ∴nm=31=3 3、某同学在计算一个多项式乘以﹣3x2时，因抄错运算符号，算成了加上﹣3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 【解析】这个多项式是（x2﹣4x+1）﹣（﹣3x2）=4x2﹣4x+1 正确的计算结果是：（4x2﹣4x+1）•（﹣3x2）=﹣12x4+12x3﹣3x2 4、若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项 （1）求p、q的值； （2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）1+p2012q2014的值 ﹣【解析】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q， ∵积中不含x项与x3项， ∴P﹣3=0，qp+1=0 ∴p=3，q=﹣， （2）（﹣2p2q）2+（3pq）1+p2012q2014 ﹣=[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2=35 5、计算：

（1） （﹣4xy3）•（xy）+（﹣3xy2）2 （2） 3（3m﹣n）2•（3m﹣n）3•（n﹣3m） （3） （5）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1） （6）（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x） 【解析】（1）原式=7x2y4 （2）原式==﹣（3m﹣n）6 （3）原式=﹣x4y4z﹣3x4y4z=﹣x4y4z （4）原式=﹣6x4y3+8x4y2﹣2x3y （5）原式= 3x2﹣6x+2 （6）原式= x3﹣2x2﹣2x+4 6、已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数 【解析】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm2+3mnx3+2mx2+2mxm1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2， ++ （4）（﹣2x3y）•（3xy2﹣4xy+1） 因为该多项式是四次多项式， 所以m+2=4， 解得：m=2， 原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2 ∵多项式不含二次项 ∴3+12n=0， 解得：n=， 所以一次项系数8﹣3n=8.75 7、若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2和x3项，求m，n的值 【解析】解：原式的展开式中，含x2的项是：mx2+3x2﹣3nx2=（m+3﹣3n）x2

含x3的项是：﹣3x3+nx3=（n﹣3）x3 由题意得：8、化简求值： ，解得 已知：（x+a）（x﹣）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值． 【解析】（x+a）（x﹣）=x2+ax﹣x﹣a=x2+（a﹣）x﹣a 由题意得a﹣=0则a= （a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）=a2+4a+4+1﹣a2=4a+5 当a=时，原式=4×+5=11 9、如图（1）所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，如图（2）是由图（1）中阴影部分拼成的一个长方形． （1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： a2﹣b2 、 （a+b）（a﹣b） （2）请问以上结果可以验证哪个乘法公式？ a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） （3）试利用这个公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1． 【解析】（1）∵大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2， 故图（1）阴影部分的面积值为：a2﹣b2，图（2）阴影部分的面积值为：（a+b）（a﹣b）． 故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b） （2）以上结果可以验证乘法公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） 故答案为：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） （3）原式 =（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1 =2﹣1+1 =2 ➢ 课后反击 1、下列各题，计算正确的是（ ） A．﹣3a2•4a3=﹣12a6 B．（x3）2=x9 C．（﹣3m3）3=﹣9mx9 D．（﹣xn）2=x2n

【解析】D 2、化简：3（x﹣y）2•[﹣（y﹣x）3][﹣（x﹣y）4] （y﹣x）3][﹣（x﹣y）4] （y﹣x）3][﹣（y﹣x）4] 【解析】原式=3（x﹣y）2•[﹣=3（y﹣x）2•[﹣=3×（﹣）×（﹣）×（y﹣x）9 =（y﹣x）9 3、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，如图可表示的代数恒等式是（ ） A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 C．2a（a+b）=2a2+2ab 【解析】C 4、计算： （1）（﹣a2b）（b2﹣a+） （2）﹣6a3b•（﹣2ab2c） （3）﹣2a2b（3ab2﹣ab﹣1） （4）（5a2﹣a+1）（﹣3a2） 【解析】（1）原式=﹣a2b3+a3b﹣a2b （2）原式= 12a4b3c （3）原式=﹣6a3b3+2a3b2+2a2b （4）原式=﹣15a4+a3﹣3a2 5、某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？ 【解析】∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1， ∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a=a2+4a﹣1，

∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）=﹣2a3﹣8a2+2a 6、（1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数） （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣（3） 【解析】解：（1）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1 =（22﹣1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1 =（24﹣1）（24+1）…（22n+1）+1=24n﹣1+1=24n （2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（32014+1）﹣=（34028﹣1）﹣=﹣ （3）原式= == = == =﹣ 7、如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个相同长方形的两边长（x＞y），

给出以下关系式：① x+y=m；② x﹣y=n；③ xy=A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ． 其中正确的关系式的个数有（ ） 【解析】解：由图形可得：① 大正方形的边长=长方形的长+长方形的宽，故x+y=m正确； ② 小正方形的边长=长方形的长一长方形的宽，故x﹣y=n正确； ③ 大正方形的面积一小正方形的面积=4个长方形的面积，故xy=确， 所以正确的个数为3，选D 正直击中考 1、【2016 常州】先化简，再求值（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2，其中x=． 【解析】解：（x﹣1）（x﹣2）﹣（x+1）2 =x2﹣2x﹣x+2﹣x2﹣2x﹣1 =﹣5x+1 当x=时，原式=﹣5×+1=﹣ 2、【2015 珠海】计算﹣3a2×a3的结果为（ ） A．﹣3a5 B．3a6 C．﹣3a6 【解析】A 3、【2015 佛山】若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则m+n=（ ） A．1 B．﹣2 【解析】C C．﹣1 D．2 D．3a5 S(Summary-Embedded)——归纳总结 重点回顾 1、幂的乘方的意义：幂的乘方指的是几个相同的幂相乘，如(a5)3是3个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，(am)n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方。

2、幂的乘方的运算性质：(am)namn(m,n都是正整数），就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方的运算性质可推广为(am)npamnp(m,n,p都是正整数） 3、幂的乘方的运算性质的逆用：amn(am)n(an)m(m,n都是正整数） 名师点拨 1、积的乘方的意义：积的乘方指底数是乘积形式的乘方，如(ab)3、(ab)n等 2、积的乘方的运算性质：(ab)nanbn(n是正整数），就是说，积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。积的乘方的运算性质可推广为(abc)nanbncn(n是正整数） 3、积的乘方的运算性质的逆用：anbn(ab)n(n是正整数） 学霸经验 ➢ 本节课我学到了 ➢ 我需要努力的地方是