初中数学几何相关题解

初三数学总复习辅导学习资料——几何综合题

一、典型例题

A 例1（2005重庆）如图，在△ABC中，点E在BC上，点D在AE上，

已知∠ABD＝∠ACD,∠BDE＝∠CDE．求证：BD＝CD。

D

C B E

例2（2005南充）如图2-4-1，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长．

例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形. E

M D A M A

B

图1

C B

图2

C

图3

图4

(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和

BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程x(m1)xm10的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

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二、强化训练 练习一：填空题

1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为 . 2.已知∠a=60°,∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC = ___ ．

3.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 4.等腰Rt△ABC, 斜边AB与斜边上的高的和是12厘米, 则斜边AB= 厘米． 5.已知：如图△ABC中AB=AC, 且EB=BD=DC=CF, ∠A=40°, 则∠EDF的度数为________．

6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面积为8cm，则△AOB的面积为 .

7.如果圆的半径R增加10% , 则圆的面积增加_________ .

8.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为 .

9. △ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是10，则△A′B′C′的面积是 .

10.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，那么AD等于 . 练习二：选择题

1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角等于 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75°

2.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是 [ ]

A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形

3.下列图形中，不是中心对称图形的是

[ ]

A. B. C. D.

4.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段

5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形

6.如果两个圆的半径分别为4cm和5cm,圆心距为1cm，那么这两个圆的位置关系是 [ ]

A.相交 B.内切 C.外切 D.外离

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7.已知扇形的圆心角为120°，半径为3cm,那么扇形的面积为 [ ]

8.A.B.C三点在⊙O上的位置如图所示， 若∠AOB＝80°，则∠ACB等于 [ ]

A．160° B．80° C．40° D．20°

9.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,则∠BCF的度数是[ ] A.160° B.150° C.70° D.50°

（第9题图） （第10题图） 10.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和BC相交于E，图中全等三角形

共有 [ ] A.2对 B.3对 C.4对 D.5对

练习三：几何作图 1．下图左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同。

2. 正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。

3.将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形，并指出三个顶点的坐标所发生的变化.

（1）沿y轴正向y轴对称；

平移2个单位；（2）关于

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4. 如图, 要在河边修建一个水泵站, 分别向张村, 李村送水．修在河边什么地 方, 可使所用的水管最短?(写出已知, 求作, 并画图)

练习四：计算题

1. 求值：cos45°+ tan30°sin60°.

2．如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，AB=4cm ,AD=43cm. (1)判定△AOB的形状. （2）计算△BOC的面积.

AD

O

BC

3. 如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°,求中柱CD和上弦AC的长(答案可带根号)

4.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm, BC=10cm ,求AE的长.

A D

E http://cooco.net.cn 永久免费在线组卷 课件教案下载 无需注册和点数

B

F

C

练习五：证明题

1．阅读下题及其证明过程：

已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE， 求证：∠BAE=∠CAE.

证明：在△AEB和△AEC中，

EBECABEACE AEAE∴△AEB≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)

问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；

2. 已知：点C.D在线段AB上，PC＝PD。请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。所加条件为＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。 证明：

P

ACDB

3.已知：如图 , AB=AC , ∠B=∠C．BE、DC交于O点． 求证：BD=CE

练习六：实践与探索

1．用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。现把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合。将三角板绕点A逆时针方向旋转。

（1）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（图a）

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①猜想BE与CF的数量关系是__________________； ②证明你猜想的结论。

A

E B C

图a

D F

（2）当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（图b）,连结EF，判断△AEF的形状，并证明你的结论。

F

A D

B C E

图b

2．如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。

（1）证明：四边形A1B1C1D1是矩形； A A1 D2 D1

D3 C3 A2 C2 … D B B3 A3 B1 B2 C1

C

(2)仔细探索·解决以下问题：（填空）

（2）四边形A1B1C1D1的面积为____________ A2B2C2D2的面积为___________； （3）四边形AnBnCnDn的面积为____________（用含n的代数式表示）； （4）四边形A5B5C5D5的周长为____________。

3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，点C的坐标是（4，0）。 （1）直接写出A、B两点的坐标。A ______________ B____________

（2）若E是BC上一点且∠AEB=60°，沿AE折叠正方形ABCO，折叠后点B落在平面内点F处，请画出点F并求出它的坐标。

y

B A

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x O C E

（3）若E是直线．．BC上任意一点，问是否存在这样的点E，使正方形ABCO沿AE折叠后，点B恰好落在x轴上的某一点P处？若存在，请写出此时点P与点E的坐标；若不存在，请说明理由。

2yxpxq与x轴交于A、B两点（点A在原点的左侧，点B在原点的4. 已知抛物线

右侧）与y轴的负半轴交于点C，若ACB90，且面积。

，求ABC外接圆的

5. 已知⊙M的圆心在x轴的负半轴上，且与x轴的负半轴交于A、B两点，OC切⊙M于C点（A点在B点左侧，OC在第二象限），OC3，OM5OB，求⊙M的半径R的长和A、B、M三点的坐标。

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2yxkx1与x轴两个交点A、B都在原点左侧，顶点为C，ABC是等6.已知抛物线

腰直角三角形，求k的值。

7.如图，边长为4的正方形ABCD上，CE＝1，CF=

，直线EF交AB的延长线于G，H为FG

上一动点，HM⊥AG，HN⊥AD，设HM＝x，矩形AMHN的面积为y。 （1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大，最大是多少？

8.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BFAD，EM切⊙O于M。

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1

⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝ BC·CE；

2⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。

参

例1证明：因为∠ABD＝∠ACD，∠BDE＝∠CDE。而∠BDE＝∠ABD＋ ∠BAD，∠CDE＝∠ACD＋∠CAD 。所以 ∠BAD＝∠CAD，而∠ADB

＝180°－∠BDE，∠ADC＝180°－∠CDE，所以∠ADB ＝∠ADC 。 在△ADB和△ADC中，

∠BAD＝∠CAD AD＝AD

∠ADB ＝∠ADC

所以 △ADB≌△ADC 所以 BD＝CD。 例2（1）证明：连接OD，AD． AC是直径，

∴ AD⊥BC． ⊿ABC中，AB＝AC， ∴ ∠B＝∠C，∠BAD＝∠DAC． 又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角，∴∠C＝∠BED．

故∠B＝∠BED，即DE＝DB．∴ 点F是BE的中点，DF⊥AB且OA和OD是半径，即∠DAC＝∠BAD＝∠ODA．∴OD⊥DF ，DF是⊙O的切线．

1（2）解：设BF＝x，BE＝2BF＝2x．又 BD＝CD＝2BC＝6， 根据BEABBDBC，

2x(2x14)612． 化简，得 x27x180，解得 x12,x29（不合题

意，舍去）．则 BF的长为2． 例3答案：（1）如图

A M

E A M

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B C 注册和点数 E B 图3 C 图4

（2）由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB＋AE。∴BC＝2AB， 即b2a

由题意知 a,2a是方程x2(m1)xm10的两根 ∴a2am11 消去a，得 2m213m70 解得 m7或m

2a2am1131，a2a0，知m不符合题意，舍去.m7符222经检验：由于当m合题意.∴S矩形abm18 答：原矩形纸片的面积为8cm2. 练习一. 填空

1.9 2. 90° 3. 6.5 4.8 5. 70° 6.2 7.21% 8.8 9.24 10.

3 4练习二. 选择题1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 练习三：1.3略2. 下面给出三种参考画法：

4.作法：（1）作点A关于直线a的对称点A'．

（2）连结A'B交a于点C．则点C就是所求的点．

证明：在直线a上另取一点C', 连结AC,AC', A'C', C'B． ∵直线a是点A, A'的对称轴, 点C, C'在对称轴上 ∴AC=A'C, AC'=A'C'∴AC+CB=A'C+CB=A'B ∵在△A'C'B中,A'B＜A'C'+C'B ∴AC+CB＜AC'+C'B 即AC+CB最小． 练习四：计算

1. 1 2.①等边三角形 ②43 3. 23、43 4. 55

练习五：证明

1.第一步、推理略 2.略 3. 证：∵∠A=∠A , AB=AC , ∠B=∠C．∴△ADC≌△AEB(ASA)∴AD=AE ∵AB=AC, ∴BD=CE． 练习六；实践与探索

1.（1）①相等 ②证明△AFD≌△AEC即可（2）△AEF为等边三角形，证明略 2..（1）证明略 （2）12， 6 （3）

247 （4） 2n23. （1）A（0，4）B（4，4）（2）图略，F（2，423）（3）存在。P（0，0），E（4，

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0） 1. (答案:

)

2. (答案:R=4，A(-9,0)，B(-1,0)，M(-5,0) ) 3. (答案:k22) 4. (答案:y=- x2+8x)

(答案:当x3时，y12最大，故最大面积是12)

解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BFAD，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB

⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)

1

∵A是BDC中点，∴HC＝HB＝ BC，

2102

∵∠CAE＝90，∴AC＝CH·CE＝ BC·CE

2⑶∵A是BDC中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM ① 12

∵AC＝ BC·CE，BC·CE＝8 ②

2①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC＝17 ∵EC＝AC＋AE，∴AE＝17－2＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， AE13

∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝＝ AC2

2

2

2

22

2

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