圆的方程及其性质专题(教师版)

1. 知识点：

①圆的定义：动点到定点的距离相等的所有点的集合。 ②圆的标准方程： xy22r2(xa)(yb)22r

2 ③圆的一般方程：

xyDxEyF0 其中，DE4F0

圆心坐标(D2，E222222)，半径12

2D2E24F

方程AxBxyCyDxEyF0

AC≠0表示圆的充要条件：B022DE4AF0 

④圆的参数方程 sxrco yrsin圆心(0，0)，半径rsxarcos ybrco圆心(a，b)，半径r

⑤关于参数方程与普通方程

xf(t)(1)即对于曲线上任意一点的坐标M(x，y)都是某个变数t的函数，yg(t) 

并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组（1），称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间的变数t称为参变数，简称参数。 ⑥点与圆的位置关系 若圆方程为xyr 则x0y0r x0y0r x0y0r ⑦直线与圆

设圆的方程为f(x，y)0，直线方程为AxByC0，圆心到直线Ax ByC0的距离为d，圆心半径为r f(x，y)0dr相离AxByC0

无解2222222222点(x0，y0)

点(x0，y0)在圆外 点(x0，y0)在圆上 点(x0，y0)在圆内

22

f(x，y)0dr相切AxByC0

f(x，y)0dr相交AxByC0

有唯一解

有两解

⑧弦长公式、切线方程： ⑨圆与圆的位置关系

设圆心距为d，两圆半径分别为r1和r2， dr1r2相离 dr1r2外切

|r1r2|dr1r2相交 d|r1r2|内切 d|r1r2|内含

【典型例题】

例1. 求过点A（2，－3），B（－2，－5）且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程。 解法1：设所求的圆的方程为(xa)(yb)(2a)2(3b)2r2，①222由条件知(2a)(5b)r，②a2b30③

22r

2 ②①得2ab40 ∴r2④，由③，④得a1，b2，

2210，即所求的圆方程为(x1)(y2)10

解法2：由已知条件知圆心为AB的中垂线与x2y30的交点，且kAB

12，AB中点为(0，4)，

∴AB中垂线方程为2xy40 2xy40，x1，由得x2y30，y2，

∴圆心为(1，2)，∴r2(21)(32)222210，

∴所求的圆的方程为(x1)(y2)10

小结：解法1利用了待定系数法，解法2利用了圆的几何性质。这两种方法在解析几何中经常用到，要注意选择恰当的方法。

例2. 已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径。

解法1：设△ABC的外接圆方程为xyDxEyF0，有

22116D4EF0，492D3EF0，解得D2，E2，F23，16254D5EF0， 

∴△ABC的外接圆方程为xy2x2y230，

即(x1)(y1)25， ∴外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5

注意到kAB1213，kAC3，知△ABC是Rt△，故外心是线段BC的2222 解法2：

中点(1，1)，半径为|BC|5，外接圆方程为(x1)(y1)2225

例3 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2． ∵圆心在y0上，故b0． ∴圆的方程为(xa)2y2r2． 又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．

22(1a)16r∴

22(3a)4r2解之得：a1，r20．

所以所求圆的方程为(x1)y20． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为

kAB42131，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y3x222即xy10．

又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0) ∴半径rAC(11)4222220．

故所求圆的方程为(x1)y20．

又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为 dPC(21)42225r．

∴点P在圆外．

说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

例4 当m为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x+y-4x-2y+1=0相交，相切、相离. 分析一 (判别式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：

2222

(1+m)x-2(m+2m+2)x+m+4m+4=0

∵△=4m(3m+4)

当△=0时，得m=0或m=-432

2

时，直线与圆相切.

43当△＞0时,得m＞0或m＜-当△＜0时，得-43时，直线与圆相交.

＜m＜0时，直线与圆相离.

分析二 (几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=

2m1m11m2=

m21m2

43当d=2时，即m=0或m=-当d＞2时，即-43时，相切

＜m＜0时，相离

43当d＜2时，即m＞0或m＜-

时，相交

例5 已知圆O：xy4，求过点P2，4与圆O相切的切线．

22解：∵点P2，4不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为ykx24 根据dr

∴

2k41k22解得 k34

所以 y34x24即

3x4y100

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x2． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运

2用x0xy0yr，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．

例6. 自点P（－3，3）发出的光线l经x轴反射，其反射线所在直线正好与圆

xy4x4y70相切，求光线l所在直线的方程

22 解法1：将已知圆方程化为(x2)(y2)221，易知P(3，3)关于x轴的

对称点P'(3，3)在反射光线上，设反射线所在直线的方程为y3k(x3)，即kxy3k30

由点到直线的距离公式得|2k23k3|1k43xy10或342

射光线的方程为1，解得k143，k234，得反

xy340

由于入射线与反射线关于x轴对称，故所求光线l的方程为4x3y30或 3x4y30

解法2：已知圆c的标准方程是(x2)(y2)1，它关于x轴的对称圆c'

的方程为(x2)(y2)22221，设光线l所在直线的方程是y3k(x3)(其中

斜率k待定）。

由题设知对称圆的圆心C'（2，－2）到这条直线的距离等于1，

即d|5k5|1k21，整理得12k225k120，∴k4334，或43

∴所求的直线方程是y334(x3)或y3(x3)

即3x4y30或4x3y30

例7 已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R) (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.

(2)求直线l被圆C截得的弦长最短的长度及此时的直线方程.

分析 若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l的距离恒小于半径即可.但注意到直线l的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，问题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=5＜25

∴点(3，1)在圆内

这样，不论m为何实数，直线l与圆恒相交.

(2)由(1)的结论可知直线l过定点M(3，1)，且与过此点的圆O的半径垂直时，l被圆所截的弦长｜AB｜最短.

22∵｜MO｜=(31)(12)=5且r=5

∴弦长=2²255=45

1此时kl=-

1kOM ∴-

2m1=-21=2 m113∴m=-

34代入直线l得方程2x-y-5=0

例8 设点P(x,y)是圆x2y21是任一点，求uy2x1的取值范围．

分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决． 解法一：设圆x2y21上任一点P(cos,sin) 则有xcos，ysin[0,2) ∴usin2cos1，∴ucosusin2∴ucossin(u2)．

即u21sin()u2（tanu） ∴sin()(u2)u12．

又∵sin()1∴

y2x1u2u121解之得：u34．

分析二：u的几何意义是过圆x2y21上一动点和定点(1,2)的连线的斜率，利用此直线

与圆x2y21有公共点，可确定出u的取值范围．

解法二：由u离d1．

∴

u2u12y2x1得：y2u(x1)，此直线与圆x2y21有公共点，故点(0,0)到直线的距

1解得：u34．

另外，直线y2u(x1)与圆xy1的公共点还可以这样来处理： y2u(x1)2222由2消去y后得：(u1)x(2u4u)x(u4u3)0， 2xy12222此方程有实根，故(2u4u)4(u1)(u4u3)0，解之得：u2234．

说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．

(x3)(y4)1，P(x,y)为圆O上的动点，求dxy的最大、最小值． 例9 已知圆O1：2222分析：涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程(x3)(y4)1．

x3cos,可设圆的参数方程为（是参数）．

y4sin,22则dx2y296coscos2168sinsin2

266cos8sin2610cos()（其中tan43）．

所以dmax261036，dmin261016．

(法2)圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1．

所以d1d22''3416．

2223414．

所以dmax36．dmin16．

例10 圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3)，半径r3． 设圆心O1到直线3x4y110的距离为d，则d334311342223．

如图，在圆心O1同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又rd321．

∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．

设所求直线为3x4ym0，则dm1134221，

∴m115，即m6，或m16，也即 l1：3x4y60，或l2：3x4y160．

(x3)(y3)9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则 设圆O1：33436342222d13，d233431634221．

∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： 设圆心O1到直线3x4y110的距离为d，则d∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．

变式：圆x2y22x4y30上到直线xy10的距离为2的点共有（ ）．

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

分析：把x2y22x4y30化为x1y28，圆心为1，2，半径为r22，

22334311342223．

圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的

y 距离等于2，所以选C．

例11 自点A3，3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆

C：xy4x4y70相切

22M A C N （1）求光线l和反射光线所在的直线方程． （2）光线自A到切点所经过的路程． 分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为3，其次设过A3，的圆C的切线方程为

ykx33

G O B x A’ 根据dr，即求出圆C的切线的斜率为

k43或k34

图3

进一步求出反射光线所在的直线的方程为

4x3y30或3x4y30

最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为

4x3y30或3x4y30

光路的距离为A'M，可由勾股定理求得AM说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解．

2AC2CM27．

例12 已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P、Q两点，O为原点，且

OPOQ，求实数m的值．

分析：设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)，则由kOPkOQ1，可得x1x2y1y20，再利用一元二次方程根与系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为

yx，由直线l与圆的方程构造以

yx为

未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决．

解法一：设点P、Q的坐标为(x1,y1)、(x2,y2)．一方面，由OPOQ，得

kOPkOQ1，即

y1x1y2x21，也即：x1x2y1y20． ①

x2y30另一方面，(x1,y1)、(x2,y2)是方程组2的实数解，即x1、x2是方程2xyx6ym05x10x4m270 ②

2的两个根．

∴x1x22，x1x24m275． ③

又P、Q在直线x2y30上， ∴y1y212(3x1)1(3x2)14[93(x1x2)x1x2]．

将③代入，得y1y22m125． ④

将③、④代入①，解得m3，代入方程②，检验0成立， ∴m3．

解法二：由直线方程可得3x2y，代入圆的方程xyx6ym0，有

xy222213(x2y)(x6y)2m9(x2y)0，

22整理，得(12m)x4(m3)xy(4m27)y0． 由于x0，故可得

(4m27)(yx)4(m3)2yx12m0．

∴kOP，kOQ是上述方程两根．故kOPkOQ1．得

12m4m271，解得m3．

经检验可知m3为所求．

说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值．除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在．

解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于

yx的二次齐次方程，

虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感．

强化提升：

A组

一、选择题

1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是( ) A.-3＜a＜7 B.-6＜a＜4 C.-7＜a＜3

D.-21＜a＜19

2.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( ) A.(5，1) C.(4，1)

B.(3，-2)

D.(2 +2，2-3)

4.若直线x+y=r与圆x2+y2=r(r＞0)相切，则实数r的值等于( ) A.

22 B.1 C.2 D.2

5.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( ) A.8

二、填空题

6.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为 .

7.设集合m={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)｜(x-a)2+y2≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范围是 .

B.4

C.22 D.42

8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是 ，过点P的最长弦所在直线方程是 .

三、解答题

9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值.

10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C：y=1+4x有两个不同的交点，求实数k的取值范围.

B组

一、选择题

1.圆(x-3)+(y+4)=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( ) A.(x+3)2+(y-4)2=2 B.(x-4)2+(y+3)2=2 C.(x+4)+(y-3)=2

2

2

2

2 D.(x-3)+(y-4)=2

22

2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)+y=1的内部，则实数a的取值范围是( ) A.｜a｜＜1 C.｜a｜＜

11222

B.｜a｜＜D.｜a｜＜

15113

3.关于x,y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( ) A.B=0，且A=C≠0 B.B=1且D2+E2-4AF＞0 C.B=0且A=C≠0，D+E-4AF≥0

14315132

2

D.B=0且A=C≠0,D+E-4AF＞0

22

4.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(

，5)

B.(5，1)

C.(0，0)

D.(5，-1)

5.若两直线y=x+2k与y=2x+k+1的交点P在圆x2+2=4的内部，则k的范围是( ) A.- C.-

二、填空题

6.圆x2+y2+ax=0(a≠0)的圆心坐标和半径分别是 .

7.若方程ax+(2a+3)y+2ax+a+1=0表示圆，则实数a的值等于 .

8.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A、B两点，则AB的中点坐标是 .

三、解答题

9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.

10.光线l从点P(1，-1)射出，经过y轴反射后与圆C：(x-4)+(y-4)=1相切，试求直线l所在的直线方程.

参： 【同步达纲练习】

A级

1.B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.x=2或3x-4y-2=0 7.-2≤a≤2 8.x+y-3=0，x-y-3=0 9.m=3 10.(

512342

2

2

2

2

＜k＜-1 ＜k＜1

B.-

15 ＜k＜1

D.-2＜k＜2

,)

AA级

1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.(- 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0

【素质优化训练】

a2,0),

a2 7.-1 8.(-

310，

110) 9.(x-2)2+(y-1)2=10

1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.10 7.-2(-arccot22, 8 9.P(

12132+1)＜a＜2(2+1) 8.θ=arccot22 或π

,

1813) 10.60°

11.M的轨迹方程为(λ-1)(x+y)-4λx+(1+4x)=0，当λ=1时，方程为直线x=

22

2

22222

.

132当λ≠1时，方程为(x-

1

)+y=

22

13222(1)它表示圆，该圆圆心坐标为(

22

2

1

,0)半径为

12

12.l的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x+(y±

2

a2)=(

2

a2)轨迹是分别以CO，CD为直径的两个圆.

2