动点到两定点距离之和与差的最值

动点到两个定点的距离之和（差）的最值

2011年11月中旬 1、2班用

高中数学经常碰到有关求某曲线上的一个动点到两定点的距离之和（差）的最值．此问题不弄清原理常感到束手无策，无从下手。本讲就此类最值问题常见题型作常规探索。

一、 直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值

例1、（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PBPA的最小值为 ，此时点P的坐标为 ；

（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PBPA的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．

变式：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PBPA的最小值为 ，此时点P的坐标为 ；

（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PBPA

的最大值为 ，此时点P的坐标为 ．

小结：①当两定点位于直线的 时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；

②当两定点位于直线的 时可求得动点到两定点的距离之差的绝对值的最大

1

值．

22yx2x2x6x13的值域为 ． 例2、 函数

例3、（创新

P29 3#）已知以F1(2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x3y40有且仅有

一个交点，则椭圆的长轴长是

二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．

（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．

x2y21例4、（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆259上的动点，则MAMB 的

范围是 ；

x2y21（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆259上的动点，则MAMB的最大值

是 ．

x2y21例5、 (1)已知F是双曲线412的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，

则PAPF的最小值为 ；

x2y21412(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则点

PAPF的最小值为 ．

2

（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．

x2y21259例6、 （1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则

5PFPA4的最小值是 ，此时，点的坐标为 ；

x2y241PFPA1695（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则

的最小值是 ，此时点的坐标为 ．

2y例7 （1）抛物线8x的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当

MAMF为最小值时，点M的坐标为 ；

2y（2）P为抛物线4x上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PH垂直y轴于点P

，

则PAPH的最小值为 ．

例8、（创新P39 3#）已知直线

l1:4x3y60，

l2:x12y，抛物线4x上一动点P到

两直线距离之和的最小值是 3