电阻电路的等效变换(学生用)

第二章 电阻电路的等效变换

线性电路（非时变电路）──由非时变线性无源元件（电阻、电感、电容）、线性受控源和电源组成的电路。 线性电阻电路──如果构成线性电路的无源元件均为线性电阻。 §2.1 电阻的串联、并联和混联电路 一、电阻串联电路 图示的电路虚线方框内有n个电阻R1,R2,,Rn串联组合。 串联电路的特点：？ 假设流过的电流为i，由KVL u Rn Rk i a u1 R1 u2 R2 uu1u2ukun uR1iR2iRkiRni nb k1nun uk uR1R2RkRn iRki 将上式记作 uRi 其中RRk k1可见：串联电阻电路等效于一电阻R，此电阻R等于串联电路中诸电阻之和。 分压公式：

上图中，第k个电阻上的电压为

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ukRkiRkuRk1n

kRk∴ ukRRRRu 12kn 在上图中，若只有R1、R2串联，则由分压公式 R2R1u u1u，u2R1R2R1R2 例：一只内阻为Ri1k，量程为1mA的直流毫安表，要将该表改装成100V的直流电压表，试设计分压电阻，并画出相应的电路。 解： a I U R mA Ri b 与毫安表串接有分压电阻R的电路如图所示，当ab间的电压为100V时，流径表头的电流为I = 1mA，表头满标偏转（将表面刻成100V）。 ab间的等值电阻为 由此得分压电阻为

RabU/I100/103100K

RRabRi100199K

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二、电阻并联电路

u i a i1 R1 i2 R2 ik Rk in

Rn

b 并联也是电路元件的一种常见的联接方式，如上图所示。 并联电路的特点：？ 设各电阻值为Rk，电导值为Gk1/Rk，k = 1, …, n。 由KCL： ii1i2ikin uuuu RRRR 12kn111uRnR1R2 udefR defGuG1G2Gnu n ∴ GG1G2GkGnGk k1n111111 或 RRRRRR

k112knk分流公式：

iGkikGkuGki

GG王莉老师《电路分析》讲义 Lecture of vice Professor Wang Li

GkGkii ∴ ikG1G2GkGnG 如果上图中只有两个电阻并联，则由分流公式：

G1G2i1i，i2i

G1G2G1G2 或 R2R1i1i，i2i R1R2R1R2 例 一只内阻为Ri9.9，量程为1mA的直流毫安表，要将该表量程扩大到100mA，试设计分流器，并画出相应的电路。 解: 毫安表允许通过的电流为1mA，要测量的最大电流为100mA，所以毫安要加接分流电阻Rp。接有分流电阻的电路如图所示。 当被测电流达100mA时，通过毫安表的电流为1mA，通过分流电阻Rp的电流为 100－1 = 99mA 99mA 100mA 1mA mA Ri Rp 电阻并联有相同电压，这样有 Ri1Rp99 11Ri9.90.1 9999a b ∴ RP 或用分流公式：

Ri10099

RiRp王莉老师《电路分析》讲义 Lecture of vice Professor Wang Li

100Ri99Ri99Rp

11RPRi9.90.1

9999三、电阻混联电路

既有电阻串联，又有电阻并联的电路，称为电阻混联电路，混联电路在串联部分有相同电流，在并联部分有相同电压。 例1 试求图示网络关于AB端的等值电阻RAB。 R1 R3 R4 （采用逐步化简法：凡看到有几个电阻串联，擦去其它电阻，用一等值电阻替代；看R2 A R5 R6 R7 B 到有几个电阻并联，也用一等值电阻代替。采用这种方法，不需要移动电阻位置，就能找出等值电阻RAB）。 R8 R9 R10 解:

R8 A R2 R11 R1 R2//( R1+ R4//R3)= R21

A R5//R6//R7 B R9 R10+R11 R5//R6//R7= R22

B R8// R9//( R10+R11)= R23

R4//R3 王莉老师《电路分析》讲义 Lecture of vice Professor Wang Li

∴ RAB(R21R23)//R22

例2 图示电路中所有电阻为1，试求ab间的等值电阻Rab。

a R2 R1 c R5 R6 R3 R4 d b 解：图示网络在所有电阻相等时，网络关于ab轴线对称，对称点c与d为自然同位点。 （即c、d点电位相同）将c、d间的一段串联电路断开，不影响ab间的等效（∵uck0该支路上电流为0）。 电阻 ∴ Rab(R1R3)//(R2R4)(11)//(11)1 思考：① 若R1R2，R3R4，但R1R3，则c、d是否自然同位点？是！ 若R1/R3R2/R4，c、d是否是自然同位点？是！ ② 如将cd短接，RabRab1 将cd断开，RabRab2 问：Rab1Rab2

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§2.2 电阻的Y形联接与形联接的等效变换

在电路分析中，除了经常会遇到电阻的串并联接外，还会遇到Y、形联接。如图所示的电阻网络即是Y、形联接。R1、R2、R3或R3、R4、R5──形联接、R1、R3、R4或R2、R3、R5──Y型联接。 a R4 R3 R5 R1 R2 a R1 R7 R6 R8 R2 R3 R4 R5 b b 如果Y、形联接可以相互等值变换，则将能简化电路的分析。 例如，当将R1、R2、R3组成的形联接变成由R6、R7、R8组成的Y形联接时，则ab间的等值电阻为 RabR6(R4R7)//(R5R8) Y形联接也叫T形联接，或星形联接；

形联接也叫形联接，或三角形联接。

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一、Y、形联接等值变换的条件

在下图中，在两种联接的对应端钮与端钮间，指定了相同的电流、电压参考方向。这样，两种联接等值变换的条件是： u31 1 i1 R1 1 i1’ u12 R2 R3 u31’ R31 R12 u12’ i3 3 i2 2 3 i3’ R23 i2’ 2 u23 u23’ 对应端钮电流与相应端钮间电压应保持不变，即 ，i2i2，i3i3 i1i1 ，u23u23，u31u31u12u12上述条件也就是：在两个网络中（两种联接时），从任一对相应的端钮观看网络时（第三个端钮作相同的连接，例如都断开），它们有相同的入端电阻。 二、将形联接变成Y形联接时的参数换算 设形联接中的R12, R23与R31为已知，求等值Y形联接中的R1、R2与R3。

在形联接中，从1、2端观看网络（设端钮3处于断开状态），其入端电阻为

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12Rin

R12R23R31R12//(R23R31)R12R23R31

（1）

R12R23R31R12 R12R23R31R12R23R31 从1、3端观看网络（设端钮2处于断开状态），入端电阻有 13Rin R31(R12R23)R31//(R12R23)R12R23R31 （2）

R31R12R23R31R12R23R31R12R23R31 在Y形联接中，从1、2端观看网络（设端钮3处于断开状态）。 入端电阻 Rin12R1R2 （3）

从1、3端观看网络，（端钮2断开） Rin13R1R3 （4）

如果Y形、形联接等值，则有 12Rin12 Rin13Rin13 Rin比较（1）（2）（3）（4）式，得

R31R12R1R12R23R31

R12R23R2 R12R23R31王莉老师《电路分析》讲义 Lecture of vice Professor Wang Li

R23R31R3R12R23R31

上式即为由给定形联接的三个电阻，计算Y形连接三个电阻的计算公式。

三、将Y形连接变成形连接时的参数换算 设R1、R2、R3给定，求R12、R23、R31的公式可由上式 解得

为便于记忆上述两套公式，我们再在下图中仔细观看图中Y形与形两组电阻间的连接关系，与上述两套公式对照后，可以发现 接夹边电阻之乘积Y接电阻 接三边电阻之和R31 R3 R1 R2 R12 R1R2R2R3R3R1R12 R3R1R2R2R3R3R1R23 R1R1R2R2R3R3R1R31 R2例 R1 其夹边电阻为R12、R31。

接电阻R23

Y接电阻两两依次连乘之和 与所求接电阻不相关的Y接电阻王莉老师《电路分析》讲义 Lecture of vice Professor Wang Li

例 R12 与其不相关的Y接电阻为R3。

例1 P38，例2-2

例2 求图示电路中各支路的电流 1 解： R6 3 I1 R1

1 R5 2 R3

I3 I5 5 2 4 3 R4 4 I2 R2 I4 R7 2 R3 I3 1 R8 3 R4 R1R213R60.5 R1R2R5132I4 4 R7R1R51210.333 R1R2R51323R2R532R81 R1R2R5132(R8R4)I3I0.484A (R7R3)(R8R4)∴

(R7R3)I4I0.516A

(R7R3)(R8R4) 为求I1, I2, I5，先求出②③两点间的电压U23，即

U23R3I3R4I40.355V

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U230.178A ∴ I5R5由KCL，可求得

I1I3I50.662A

I2I4I50.338A