11

11-10如图11-57所示，由S点发出的λ=600nm的单色光，自空气射人折射率n=1.23的透明物质，再射入空气．若透明物质的厚度e=1.0cm，入射角

θ=300，且SA=BC=5cm，求：(1)折射角θ1为多少?(2)此单

色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各为多少?(3)S到C的几何路程为多少?光程又为多少?

解：（1）由折射定律n=

sinθ可得sinθ1

sinθsin300

θ1=arcsin()=arcsin()=240图11-57习题11-10图解n1.23

（2）单色光在透明介质中的速度υn，波长λn和频率ν分别为

cλ=2.44×108(m.s−1)，λn==4.88×10−7m=488(nm)nncν==5.0×1014(Hz)

λe（3）S到C的几何路程为：SC=SA+AB+BC=SA++BC=0.111(m)

cosθ1

υn=

S到C的光程为：11-11的光？

分析：在双缝干涉中，屏上暗纹位置由x决定。所谓第5条暗纹是指对应

∑nDii=SA×1+AB×n+BC×1=0.114(m)。

在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m

的屏上测得明纹两侧第五条暗纹间的距离为22.78mm，问所用光波长多少，是什么颜色

k=4的那一级暗纹。由于条纹对称，该暗纹到明纹中心的距x=

么由暗纹公式即可求得波长λ。

此外，因双缝干涉是等间距的，故也可用条纹间距公式∆x=

22.78

mm,那2

Dλ求人射光波长。d应注意两个第5条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9(不是10，因每边只有4.5条)，故∆x=

22.78

mm。2

解法一：屏上暗纹的位置x=

Dλ22.78(2k+1)，把k=4，x=×10−3m以及d、d22

D22.78

λ，把x=×10−3m，以及d、d9

D值代人，可得λ=632.8nm，为红光。

解法二：屏上相邻暗纹(或明纹)间距∆x=

D值代人，可得λ=632.8nm。

11-12一双缝装置的一个缝被折射率为1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个缝被折射率为1.70的薄玻璃片所遮盖。在玻璃片插入以后，屏上原来的极大所在点，现变为第五级明纹。假定λ=480nm，且两玻璃片厚度均为d，求d。

1

分析：本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率。在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差δ=0，故点O处为明纹，其余条纹相对点O对称分布。而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，δ≠0，故点O不再是明纹，整个条纹发生平移。可以说，干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化。因此，对于屏上某点P(明纹或暗纹位置)，只要计算出插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况。

插入介质前的光程差δ1=r1−r2=k1λ(对应k1级明纹)，插入介质后的光程差

δ2=[(n1−1)d+r1]−[(n2−1)d+r2]=k2λ(对应是k2级明纹)。

光程差的变化量为：δ2−δ1=(n2−n1)d=(k2−k1)λ式中(k2−k1)可以理解为移过点P的条纹数(本题为5)。因此，对于这类问题，求解光程差的变化是解题的关键。

解：由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原明纹所在点O，有

δ2−δ1=(n2−n1)d=5λ5λ将有关数据代人可得：d==8.0(µm)

n2−n1

11-13在折射率n3=1.52的照相机镜头表面涂有一层折射率n2=1.38的MgF2增透膜，若此膜仅适用于波长λ=550nm的光，则此膜的最小厚度为多少?

分析：在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光(或两透射光)的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射(或透射)中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用。本题所述的增透膜，就是希望波长λ=550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果(因感光底片对此波长附近的光最为敏感)。具体求解时应注意在e>0的前提下，是取最小的允许值。

解法一：

因干涉的互补性，波长为550nm的光在透射中得到加强，则在反射中

一定减弱，两反射光的光程差δ2=2n2e，由干涉相消条件δ2=(2k+1)

λ，得2

e=(2k+1)

取k=0，贝emin=99.6(nm)

λ4n2

解法二：由于空气的折射率n1=1，且有n1λ，由干涉加强条件δ1=kλ，得2

1λe=(k−)22n2

取k=1，则膜的最小厚度emin=99.6(nm)

11-14

如图11-58所示，利用空气劈尖测细丝直径，已知

图11-58习题11-14图解λ=5.3nm,L=2.888×10−2m,测得30条条纹的总宽度为4．295×10−3m，求细丝直径D。

2

分析：在应用劈尖干涉公式d=

λL时，应注意相邻条纹的间距l是N条条纹的宽度2nl∆x除以(N-1)

解：由分析知，相邻条纹间距l=

∆x，则细丝直径为N−1λλ(N−1)D=L=L=5.75×10−5(m)

2n2l2n2∆x−3

−3

11-15用波长为5.3nm的钠黄光观察牛顿环，测得某一明环的半径为1.0×10m，而其外第四个明环的半径为3.0×10

m，求平凸透镜凸面的曲率半径。

解：设题中所述两个明环分别对应k级和(k+4)级明纹，则有

1rk+4=[(k+4)−]Rλ2

rk2+4−rk2

解上述两式可得：R==3.39(m)

4λ11-16

在牛顿环实验中，当透镜与玻璃间充满某种液体时，第10个亮环的直径由

1

rk=(k−)Rλ,

2

1.40×10−2m变为1.27×10−2m，试求这种液体的折射率。

分析

当透镜与平板玻璃间充满某种液体(n2>1)，且满足n1>n2n1n3时在厚度为e的地方，两相干光的光程差为δ=2n2e+

牛顿环暗环半径r和明环半径r，有兴趣的读者可自行推导。必须指出，在牛顿环中，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环半径的公式与教材中的公式是不同的，不能随意套用。

解：当透镜与玻璃之间为空气时，k级明纹的直径为

1

。由此可推导出2

1ek=2rk=2(k−)Rλ2当透镜与玻璃之间为液体时，k级明纹的直径为

1Rλ`

ek=2rk′=2(k−)2n2解上述两式得：n2=(

ek2

)=1.22`ek11-17把折射率n=1.40的薄膜放人迈克耳孙干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0条条纹的移动，求膜厚(设入射光的波长为5nm)。

分析：迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉(两平面镜相互垂直)和劈尖干涉(两平面镜不垂直)两种情况，本题属于后一种情况。在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动。

解：插入厚度为d的介质片后，两相干光光程差的改变量为2(n−1)d，从而引起N条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2(n−1)d=Nλ，得

3

Nλ=5.154×10−6(m)

2(n−1)

11-18单缝的宽度a=0.40mm，以波长λ=5nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f=1.0m。求：(1)第一级暗纹距中心的距离；(2)第二级明纹距中心的距离。

d=

解：(1)由单缝衍射的暗纹条件asinθ=kλ，得θ1≈sinθ1=

kλ,则第一级a(k=1)级暗纹距中心的距离为

x1=ftgθ1≈fθ1=1.47×10−3(m)

λλ(2)由明纹条件asinθ2=(2k+1)，得θ2≈sinθ2=(2k+1)，则第二级(k=2)

22a明纹距中心的距离为

x2=ftgθ2≈fθ2=3.68×10−3(m)

在上述计算中，由于k取值较小，即θ较小，故θ≈sinθ≈tgθ。如k取值较大，

则应严格计算。

11-19

一单色平行光垂直照射于一单缝，若其第三条明纹位置正好和波长为600nm的

单色光入射时的第二级明纹位置一样，求前一种单色光的波长。

分析：采用比较法来确定波长。对应于同一观察点，两次衍射的光程差相同，由于衍射明纹条件asinϕ=(2k+1)

λ，故有(2k1+1)λ1=(2k2+1)λ2，在两明纹级2

次和其中一种波长已知的情况下，即可求出另一种未知波长。

解：根据分析，将λ2=600nm，k2=2,k1=3代入(2k1+1)λ1=(2k2+1)λ2，得

λ1=

(2k2+1)λ2

=428.6(nm)

2k1+1

11-20迎面而来的两辆汽车的车头灯相距为1.0m，问在汽车离人多远时，它们刚能为人眼所分辨?设瞳孔直径为3.0mm，光在空气中的波长λ=500nm。

分析：两物体能否被分辨，取决于两物对光学仪器通光孔(包括人眼)的张角

θ和光学仪器的最小分辨角θ0的关系。当θ≥θ0时能分辨，其中θ=θ0为恰能分辨。

在本题中θ0=1.22

λl为一定值，而θ≈，式中l为两灯间距，d为人与车之间的距离。add越大或l越小，θ就越小，当θ<θ0时两灯就不能被分辨，这与我们的生活经验相符合。

lλ=1.22，此时，人与车之间的距离为daald==4918(m)

1.22λ11-21为了测定一个给定光栅的光栅常数，用λ=632.8nm的单色平行光垂直照射光

解：当θ=θ0时，

栅，已知第一级明条纹出现在38的方向上，试问这光栅的光栅常数为多少?第二级明条纹出现在什么角度？若使用这光栅对某单色光进行同样的衍射实验，则得第一级明条纹出现在

0

270的方向上，问这单色光的波长为多少？对这单色光最多可能看到第几级明条纹？

4

分析：在光栅方程dsinθ=±kλ中，由于衍射角θ最大只能取±

π（屏必须无限大），2

因此在上式中k值只能取有限个的数值，故屏上能出现的衍射条纹数目是有限的。

解：由题意知，在λ=632.8nm,k=1时，衍射角θ=38，由光栅方程可得光栅常数

0

d=

k=2时，因

kλ=1.03×10−6(m)sinθ2λ>1，第二级明纹(即k=2)所对应的衍射角θ2不存在，因此用d0

此波长的光照射光栅不会出现第二级明纹。

若用另一种波长的光照射此光栅，因第一级明纹出现在θ`=27的方向上，得

λ′=

dsinθ`

=468(nm)kkm=

d=2.2′λ令sinθ`=1，可得用此波长光照射时，屏上出现的最大条纹级次为

因k只能取整数，则km=2，故最多只能看到第二级明纹。11-22

测得从一池静水的表面反射出来的太阳光是线偏振光，求此时太阳处在地平线

的多大仰角处?(水的折射率为1.33)

分析：设太阳光(自然光)以入射角i入射到水面，则所求仰角θ=时，根据布儒斯特定律，有i=i0=arctg解：根据以上分析，有

π−i。当反射光起偏2

n2

(其中，n1为空气的折率，n2为水的折率)。n1

nπ−θ=arctg22n1

nπθ=−arctg2=36.90

2n1i0=i=

11-23使自然光射到互相平行的两个偏振片上，若（1）透射光强为入射光强的透射光强为入射光强的

1

；（2）8

1

；则这两个偏振片的偏振化方向的夹角为多少？4

Ι22

解：（1）根据马吕斯定律Ι=Ι0cosθ有：cosθ=

Ι0

Ι0

将Ι=0代入得：θ=±6918′

8

Ι00

（2）将Ι=代入得：θ=60

4

0

11-24使自然光通过两个偏振化方向相交60的偏振片，透射光强为I1，今在这两个偏

0

振片之间插入另一偏振片，它的方向与前两个偏振片均成30角，则透射光强为多少?

分析：设入射自然光强为I0，偏振片I对人射的自然光起检偏作用，透射的偏

5

振光光强恒为

I0

，而偏振片Ⅱ对入射的偏振光起检偏作用，此时透射与入射的偏2

振光强满足马吕斯定律。若偏振片Ⅲ插入两块偏振片之间，则偏振片Ⅱ、Ⅲ均起检偏作用，故透射光强必须两次应用马吕斯定律方能求出。

解：根据以上分析，入射光通过偏振片I和Ⅱ后，透射光强为

1

Ι1=(Ι0)cos2600

2

插入偏振片Ⅲ后，其透射光强为

1

Ι2=[(Ι0)cos2300]cos2300

2

两式相比可得：Ι2=2.25Ι

11-25如图11-59所示的X射线衍射实验中，入射X线不是单色的，而是含有从0.095nm到0.13nm这一范围内的各种波长．设晶体的晶格常数d=0.275nm，试问对图示的晶面能否产生强反射?

分析：X射线入射到晶体上时，干涉加强条件为

2dsinθ=kλ，其中k=0，1，2，…在晶格常数d和掠

射角θ(注意不是入射角)确定的情况下，并不是任意波长的X射线均能产生强反射。本题应结合人射X射线波长范围为λ1=0.095nm到λ2=0.13nm这一条件，先求满足上式的k值的取值范围，然后确定k值及相对应的波长。

解：由公式2dsinθ=kλ，以及入射X射线的波长范围，可得满足上式的k的取值范围为

图11-59习题11-22图解2dsinθ2dsinθ代人有关数据后，可得2.99们对应的波长为：

k=3，λ=

2dsinθ=0.13(nm)；k=4，3

λ=

2dsinθ=0.097(nm)，即只有波长为0.097nm和0.13nm的两种X射线能产生强反射。4

6