(完整版)常微分方程基本概念习题及解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答

dy1．dx=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

dy2解：y=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c

y=e+e=cex

cx22另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1

2特解为y= e.

x22. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

2dy122解：ydx=-(x+1)dy ydy=-x1dx

11两边积分: -y=-ln|x+1|+ln|c| y=ln|c(x1)|

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e

1特解：y=ln|c(x1)|

1y2dy3xyxy dx3．=

2dy1y13解：原方程为：dx=yxx

1y21ydy=xx3dx

两边积分：x(1+x)(1+y)=cx

2224. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0

1yx1解：原方程为： ydy=-xdx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

xydydx=-xy

dyduy令x=u 则dx=u+xdx 代入有：

u112-u1du=xdx

ln(u+1)x=c-2arctgu

22y222即 ln(y+x)=c-2arctgx.

dy22xydx6. x-y+=0

ydyy|x|1()2x 解：原方程为： dx=x+x-

dyduy则令x=u dx=u+ xdx

11u2 du=sgnx xdx

1yarcsinx=sgnx ln|x|+c

7. tgydx-ctgxdy=0

dydx解:原方程为：tgy=ctgx

两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|

1csiny=ccosx=cosx 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c.

dye8 dx+yy23x=0

dye3x解：原方程为：dx=ye

y22 e-3e

3xy2=c.

9.x(lnx-lny)dy-ydx=0

dyyy解：原方程为：dx=xlnx

dyduy令x=u ,则dx=u+ xdx

duu+ xdx=ulnu

ln(lnu-1)=-ln|cx|

y1+lnx=cy.

dyxy10. dx=e

dyxy解：原方程为：dx=ee

e=ce

yxdy211 dx=(x+y)

dydu解：令x+y=u,则dx=dx-1

dudx-1=u2

11u2du=dx

arctgu=x+c

arctg(x+y)=x+c

1dy2(xy)dx12. =

dydu解：令x+y=u,则dx=dx-1

du1dx-1=u2

u-arctgu=x+c

y-arctg(x+y)=c.

dy2xy113. dx=x2y1

解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx

xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0

dxy-d(y-y)-dx+x=c

22xy-y+y-x-x=c

22dyxy514: dx=xy2

解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx

xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0

1122dxy-d(2y+2y)-d(2x+5x)=0

y+4y+x+10x-2xy=c.

22dy2215: dx=(x+1) +(4y+1) +8xy1

dy2解：原方程为：dx=（x+4y）+3

dy1du1令x+4y=u 则dx=4dx-4

1du14dx-4=u2+3

dudx=4 u2+13

3u=2tg(6x+c)-1

2tg(6x+c)=3(x+4y+1).

xdy16:证明方程ydx=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：

1） y(1+xy)dx=xdy

22

22xdy2x y ydx=2-x2y2

2）

dydu证明： 令xy=u,则xdx+y=dx

dy1duu2 则dx=xdx-x，有：

xdu udx=f(u)+1

11 u(f(u)1)du=xdx

所以原方程可化为变量分离方程。

dy1duu21） 令xy=u 则dx=xdx-x (1)

dyy2原方程可化为：dx=x[1+（xy）] (2)

1duuu22将1代入2式有：xdx-x=x(1+u)

2u=u2+cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y

则与x轴，y轴交点分别为：

y0x= x0 - y' y= y0 - x0 y’

y0则 x=2 x0 = x0 - y' 所以 xy=c

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中y11解：由题意得：y’=x ydy=x dx

ln|y|=ln|xc| y=cx.

 =4 则y=tgx 所以 c=1 y=x.

19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx

则：y=kx2 +c 即为所求。

4 。 =