师大附属中学自主招生试题(数学))

一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上） 1、已知函数y|x1||2x4||3x1|，则y的最小值为________________. 2、化简：

533225332_____________.

3、如图，ABC内接于⊙O，BC=3，AC1，AB90°，则⊙O的面积为______________.

4、母亲节快到了，小红，小莉，小莹到花店提前订花并准备在母亲节送给自己的母亲.小红订了3支玫瑰、7支康乃馨、1支百合花，支付了14元，小莉订了4支玫瑰、10支康乃馨、1支百合花，支付了16元，小莹订了上面三种花各3支，则她应支付_____________元.

5、已知关于x的方程x2(1a)x3a4ab4b20有实根，则实数ab__________.

6、一个直角三角形的三条边长均为整数，已知它的一条直角边的长为2011，那么它的周长为____________. 7、如图，矩形ABCD的边AB2，BC1，且顶点A、B分别在x轴、y轴上，若A、B两点分别在x轴、y轴上滑动，顶点C到坐标原点O的距离的最大值为______________.

222

8、 如图，已知菱形DEFG的顶点G在矩形ABCD的边BC上，矩形ABCD的顶点A在菱形DEFG的边EF上，若AB=a，BCb，F30°，则菱形DEFG的边长为__________.

二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

9、 （本小题满分14分）如图，将一个很大的三角板的直角顶点放在平面直角坐标系的原点O上，直角边OA与函数ykk（x0）的图象交于点A，直角边OB与y（x0）的图象交于点B. xx（1）证明：AO=BO；

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（2） 若将三角板绕点O旋转，并在某一时刻使得过A、B两点的直线与直线y1x平行，且AB5，求k22 / 6

的值.

10、 （本小题满分14分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，AB=4，N是BC的中点，DN的延长线交3 / 6

⊙O于点E，AE与OC交于点M. （1）求证：M、C、E、N四点共圆； （2）求MAME的值.

11、 （本小题满分16分）已知抛物线y正半轴交于点C（0,b），O为原点.

12xmx18m2m与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点，与y轴8（1）求m的取值范围；

（2）若OAOBOC，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的情形下，点P、Q分别从A、O两点同时出发，如图点P沿AB运动到B，点Q沿OC运动到C，且P点运动的速度是Q点运动速度的3倍，作直线PQ与直线BC交于M，设OQ=k，问是否存在k值，使以P、B、M为顶点的三角形与ABC相似，若存在，求所有k值，若不存在，请说明理由.

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安师大附中2012年初三素质测试数学试题参

一、填空题（本大题共8小题，每小题7分，共56分. 把答案填在题中横线上） 1、

16 3

2、52

3、

52 4、30 5、

1 226、 （或答20112012，2011+2011也正确） 7、21 8、2ab 二、解答题（本大题共3小题，共44分，答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 9、证明：（1）证法一：过A作x轴垂线，垂足为C，过B作y轴垂线，垂足为D，∵∠AOB=90°，∠DOC=90°， ∴∠AOC=∠BOD，又∵∠ACO=∠BDO=90°，

∴△AOC∽△BOD.………………………………………………（3分）

又点A、B分别在函数y∴SAOCkk与y的图象上， xx|k|SBOD，即△AOC与△BOD的相似比为1:1， 2所以△AOC≌△BOD，即AO=BO. ……………………………（7分） 证法二：过A作x轴垂线，垂足为C，过B作y轴垂线，垂足为D， ∵∠AOB=90°，∠DOC=90°，∴∠AOC=∠BOD，

令∠AOC=∠BOD=，∴A(|OA|cos,|OA|sin)，B(|OB|sin,|OB|cos)，………………（3分）

kk与y的图象上， xxk|OA|sin|OA|cos22∴，即k|OA|cossin|OB|cossin，∴AO=BO. …………（7分）

k|OB|cos|OB|sin（2）设A(a,b)，则B(b,a)………………………………………………………………………………（8分）

11∵直线AB与直线yx平行，∴设直线AB的解析式为yxm，且过A、B两点，

221bam2即，消去m得：b3a……………………① ………………………………（10分）

1abm2又点A、B分别在函数y又AB5，且△AOB为等腰直角三角形，∴OA5522，即ab……………② ……………（12分） 22联立①②解之得：a故kab13,b. 223.………………………………………………………………………………………………（14分） 410、证：⑴∵AB垂直平分CD，∴弧AC等于弧AD，

AEDABC,,OBOC，ABCOCB，AEDOCB，

故 M,C,E,N四点共圆. ………………………………………………（6分） （2）连MN,CE,延长CO交⊙O于K,如图，∵M,C,E,N四点共圆，

∴NMENCE，又NCEEAB，NMEEAB，∴MN∥AB. 又∵N为BC中点，∴M为OC中点 ……………………………………（10分） 故MC=MO=1, 由相交弦定理, MA·ME=MC·MK=1×3=3 .

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11、 解：⑴ 由题意得： 01 ，解得或……………………………………（4分） mm021818mm01得2分）. 20（注：若只有0解出m0或m（2）

2x10,x20，OAx1,OBx2，OAOBOC，x1x2b0…………………（7分）

1. 211121又由（1）知m0或m，m，故yxx4. ………………………………（9分）

18282（3）解法一：由（2）知：A(8,0),B(4,0),C(0,4)，

∵PBMABC，要使PBM∽ABC，只需条件BPMBAC或BPMBCA成立即可. （ⅰ）若BPMBAC，此时PQ∥AC，又OQk,PO83k， OQOC1k18∴，即，解之得k.………………………………………………………（12分） POOA283k25（ⅱ）若BPMBCA，此时点P在线段OB上，如图，过点B

即18m9m0解得m0或m作BN⊥AC，垂足为N，

OQBN， OPCN12244k125145又BN，CN，∴，

3k8555543解之得k3. …………………………………………（15分）

8综上可知：当k或k3时，以P、B、M为顶点的三角形与

5ABC相似. …………………………………………（16分）

解法二：由（2）知：A(8,0),B(4,0),C(0,4)，P(3k8,0),Q(0,k)，

BMBPBMBP∵PBMABC，要使PBM∽ABC，只需条件或成立即可. BCBABABC又∵直线BC的解析式为yx4………………①

k直线PQ的解析式为yxk………………②

83k83k33联立①②解出点M的坐标为(,k).∴BM2k. …………………………………………（13分）

22232k123kBMBP8（ⅰ）若，即2，解得：k. 12BCBA54232k123kBMBP2（ⅱ）若，即，解得：k3. …………………………………………（15分）

12BABC428综上可知：当k或k3时，以P、B、M为顶点的三角形与ABC相似. ………………（16分）

5∴QPOBCN，∴tanQPOtanBCN，即

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