高等数学电子教案

教学目的

第六章 定积分的应用

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 教学重点：

1、定积分的元素法、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、旋转体的体积及侧面积，计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点：

1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。

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§6 1 定积分的元素法

一、问题的提出

回顾：曲边梯形求面积的问题

曲边梯形由连续曲线yf(x)(f(x)0)、x轴与两条直线xa、xb所围成。

y o a 面积表示为定积分的步骤如下

b x

n（1）把区间[a,b]分成n个长度为xi的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第

i 个小窄曲边梯形的面积为Ai，则AAi

i1（2）计算Ai的近似值

iiii

（3） 求和，得A的近似值

n

Af(i)xi.

i1

（4） 求极限，得A的精确值

nb Alimf(i)xiaf(x)dx0i1

Af()xxi若用A 表示任一小区间[x,xx]上的窄曲边梯形的面积，则A.

A，并取

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Af(x)dx，于是Af(x)dx

Alimf(x)dxbf(x)dx.a

当所求量U符合下列条件：

（1）U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量；

（2）U对于区间a,b具有可加性，就是说，如果把区间a,b分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；

（3）部分量Ui的近似值可表示为f(i)xi；就可以考虑用定积分来表达这个量U

元素法的一般步骤：

1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b] 2）设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小区间并记为[x,xdx]，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在x处的值f(x)与

dx的乘积，就把f(x)dx称为量U的元素且记作dU，即dUf(x)dx；

3）以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式，在区间[a,b]上作定积分，得Ubaf(x)dx，

即为所求量U的积分表达式. 这个方法通常叫做元素法．

应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．

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§6 2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积 1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为 Sa[f上(x)f下(x)]dx 

类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

Sc[右(y)左(y)]dy

例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积 解 (1)画图

(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1] (3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2 (4)计算积分

11 S0(xx2)dx[2x21x3]103333bd 例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

解 (1)画图

(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4] (3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4

2 (4)计算积分

4S2(y41y2)dy[1y24y1y3]418

26222y2 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积

ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx 所以

S40ydx

a椭圆的参数方程为: xa cos t  yb sin t 

于是 S40ydx4bsintd(acost)

2a0.

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4absin2tdt2ab02(1cos2t)dt2abab

220

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线()及射线   围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS1[()]2d

2曲边扇形的面积为

S1[()]2d

2 例4. 计算阿基米德螺线a (a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

22 解: S01(a)2d1a2[13]04a23

2332 例5. 计算心形线a(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积

 解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232 a2[32sin1sin2]0a 242

二、体 积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线yf (x)、直线xa 、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f (x)]2dx  于是体积元素为 dV  [f (x)]2dx  旋转体的体积为 Va[f(x)]2dx

例1 连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积 解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx

h 所求圆锥体的体积为

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2hh1hr2 V0(rx)2dxr2[1x3]0h3h32y 例2 计算由椭圆x221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积

ab 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

2 yba2x2

a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为 dV  y 2dx 

于是所求旋转椭球体的体积为

22b22b4ab2 V2(ax)dx2[a2x1x3]aaa33aaa例2 求星形线xya(a0)绕x轴旋转

构成旋转体的体积. 解：y232323232323ax

322233yax x[a,a] 旋转体的体积

2232333Vaxdxa. a105a3

例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解 所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 Vx0y2dx0a2(1cost)2a(1cost)dt a30(13cost3cos2tcos3t)dt 5 2a 3

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则

22a2.

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22 Vy0x2(y)dy0x1(y)dy

2a2a 2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt a30(tsint)2sintdt6 3a 3 

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx  立体的体积为 VaA(x)dx

例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积

解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为 A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为

2RR2R3tan VR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R22332b 例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解: 取底圆所在的平面为x O y 平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x (RA(x)hyhR2x2 于是所求正劈锥体的体积为

VRhRxdx2Rh2cos2d1R2h

02R222 三、平面曲线的弧长

设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2     Mi1 Mi    Mn1

MnB  并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线

i1n弧AB是可求长的

定理 光滑曲线弧是可求长的

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1．直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程

yf(x) (axb)

给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为

(dx)2(dy)21y2dx

从而得弧长元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为

sa1y2dx

b 在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此 例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度

3 解 y1x23 从而弧长元素

ds1y2dx1xdx

因此 所求弧长为

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)] 33 

333 2．参数方程情形

设曲线弧由参数方程x(t)、y(t) (t )给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数

dy(t) 因为 dx(t)d t  所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧长为

s2(t)2(t)dt

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例2．计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2 )的长度 解 弧长元素为

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asin所求弧长为

2s02asind2a[2cos]08a

2222d

3．极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程

() (     )

给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x()cos y()sin(    )

于是得弧长元素为

dsx2()y2()d2()2()d

从而所求弧长为

s2()2()d

例14 求阿基米德螺线a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长 解 弧长元素为

dsa22a2da12d

于是所求弧长为

2s0a12da[2142ln(2142)]

2

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§6 3 功 水压力和引力

一、

变力沿直线所作的功

由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这

力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为WFs

如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.

例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为

Fkq (k是常数) r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a提示: 由物理学知道 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为Fkq (k是常数) r2 解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时 电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为

Wabkq2qdr r2qdr r211drkq[1]bakq() rabr 例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀

把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功 解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k  即

pVk 或pk V 解: 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为

FpSkSk

xSxk当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为dx

x.

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即功元素为dWkdx

x于是所求的功为

bbWakdxk[lnx]b aklnxa 例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸

出需作多少功？

解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

dW882xdx

此即功元素 于是所求的功为

x25(kj) W088.2xdx88.2[]5088.22252 二、水压力

从物理学知道 在水深为h处的压强为ph  这里  是水的比重 如果有一面积为A 的平

板水平地放置在水深为h处 那么 平板一侧所受的水压力为

PpA

如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为   计算桶的一个端面上所受的压力

解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图 在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx  得压力元素为

dP2xR2x2dx

所求压力为

P02  xRxdx0(R3R2rR3 [2(R2x2)2]033R22R2122x)d(R2x2)

三、引力

从物理学知道 质量分别为m 1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为

FGm1m2 r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向

如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算

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例5 设有一长度为l 、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力

例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力

解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于

2222是在水平方向上 引力元素为

dFxGmdyamdya Ga2y2a2y2(a2y2)3/2引力在水平方向的分量为

Fx2lG2lamdy2Gml1 22a(a2y2)3/24al

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