自动控制原理课后习题答案第二章

第 二 章

2-3试证明图2-5(ａ)的电网络与(b)的机械系统有相同的数学模型。

分析 首先需要对两个不同的系统分别求解各自的微分表达式，然后两者进行对比，找出两者之间系数的对应关系。对于电网络，在求微分方程时，关键就是将元件利用复阻抗表示，然后利用电压、电阻和电流之间的关系推导系统的传递函数，然后变换成微分方程的形式，对于机械系统，关键就是系统的力学分析，然后利用牛顿定律列出系统的方程，最后联立求微分方程。 证明：(a)根据复阻抗概念可得：

uouiR2即

R21C2sR1C1sR1R2C1C2s2(R1C1R2C2R1C2)s1R1R2C1C2s2(R1C1R2C2R1C2)11C2sR11C1s

d2u0du0d2uiduR1R2C1C22(R1C1R2C2R1C2)uoR1R2C1C22(R1C1R2C2)iuidtdtdtdt取A、B两点进行受力分析，可得：

整理可得：

dxidxodxdx)K1(xixo)f2(o)dtdtdtdt dxdxf2(o)K2xdtdt f1(经比较可以看出，电网络（a）和机械系统（b）两者参数的相似关系为

d2xodxod2xidxf1f22(f1K1f1K2f2K1)K1K2xof1f22(f1K2f2K1)iK1K2xidtdtdtdt

1,f1C1R1,K21,f2C2R2K1

2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x(t)曲线，指出各方程式的模态。

(1) 2x(t)x(t)t;精品

.

(t)2x(t)x(t)(t）。x(２)

2-7 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-6所示，试求闭环传递函数Uｃ(ｓ)／Ｕｒ(ｓ)。

图2-6 控制系统模拟电路解：由图可得

U1R1C1sR11C1s(UiUo)RoRo

联立上式消去中间变量U1和U2,可得：

UoR2U2R0 U21U1R0C2s

Uo(s)R1R233Ui(s)RoR1C1C2s2RoC2sR1R2

o330max2-8 某位置随动系统原理方块图如图2-7所示。已知电位器最大工作角度，功率

放大级放大系数为K3,要求：

(1) 分别求出电位器传递系数K0、第一级和第二级放大器的比例系数K1和K2；(2) 画出系统结构图； (3) 简化结构图，求系统传递函数

0(s)/i(s)。

精品

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图2-7 位置随动系统原理图

分析：利用机械原理和放大器原理求大系数，然后求解电动机的传递函数，从而画出系统结构图，求出系统的传递函数。

K0解：（1）

Em3033001800180V/rad11

（2）假设电动机时间常数为Tm，忽略电枢电感的影响，可得直流电动机的传递函数为

30103K1310103

32010K2210103 Km(s)Ua(s)Tm1

1(rads)/V。 式中Km为电动机的传递系数，单位为1K(V/rads)，则其传递函数为 t又设测速发电机的斜率为

由此可画出系统的结构图如下：

Ut(s)Kt(s)

KmKKK1 23 Tms1 UUs)Ui(112a(s)Ko s - - (s)Ut （3）简化后可得系统的传递函数为

Kt

o(s)i(s)1Tm1K2K3KmKts2s1K0K1K2K3KmK0K1K2K3Km

2ttc(t)1ee2-9 若某系统在阶跃输入r(t)=1(t)时，零初始条件下的输出 响应，试求

系统的传递函数和脉冲响应。

分析：利用拉普拉斯变换将输入和输出的时间域表示变成频域表示，进而求解出系统的传递函数，然后对传递函数进行反变换求出系统的脉冲响应函数。 解：（1）

R(s)1s，则系统的传递函数

111s24s2C(s)ss2s1s(s1)(s2) C(s)s24s2G(s)R(s)(s1)(s2)

精品

（2）系统的脉冲响应

.

s24s212L[G(s)]L[]L1[1](t)et2e2t(s1)(s2)s1s2k(t)

112-10 试简化图2-9中的系统结构图，并求传递函数C(s)/R(s )和C(s)/N(s)。

图2-9 题2-10系统结构图

分析：分别假定R(s)=0和N(s)=0，画出各自的结构图，然后对系统结构图进行等效变换，将其化成最简单的形式，从而求解系统的传递函数。 解：（a）令N（s）＝0，简化结构图如图所示：

G1G2C(s)可求出：R(s)1(1H1)G1G2

令R（s）＝0，简化结构图如图所示：

精品

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N(s) G3

G2 C(s)

G1H1G1 N(s) G3 G21G1G2H1

C(s) G1 N(s) G3 G21G1G2H1 C(s) G1 N(s) G2C(s) G31GGH 121 G2G1 1 1G1G2HC(s)G3G2(1G1G2H1)1G1G2G1G2H1 所以：N(s)（b）令N（s）＝0，简化结构图如下图所示：

G1R G2 G2

G4 C G3 精品

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G1G2R C G4 G2G3 G1G2R C G4 G2G3G2G3 C(s)(1G1)G2G4G3G4R(s)1G2G4G3G4 所以：

令R（s）＝0，简化结构图如下图所示： N GC 4 G2G3 G4C(s)N(s)1G2G4G3G4

2-12 试用梅逊增益公式求图2-8中各系统信号流图的传递函 数C(s)/R(s)。

精品

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图2-11 题2-12系统信号流图

解：

（a） 存在三个回路：1G3H1G2G3H2G3G4H3 存在两条前向通路：

P1G1G2G3G4G5,11P2G6,2

G1G2G3G4G5C(s)G61G3H1G3G4H3G2G3H2 所以：R(s)（b）9个单独回路：

L1G2H1,L2G4H2,L3G6H3,L4G3G4G5H4,L5G1G2G3G4G5G6H5L6G7G3G4G5G6H5,L7G1G8G6H5,L8G7H1G8G6H5,L9G8H4H16对两两互不接触回路： 三个互不接触回路1组：L1L2L3

4条前向通路及其余子式：

L1L2 L1L3 L2L3 L7L2 L8L2 L9L2

P1=G1G2G3G4G5G6 ,1=1 ; P2=G7G3G4G5G6 , 2=1 ;P3=-G7H1G8G6 ,3=1+G4H2 ; P4=G1G8G6 , 4=1+G4H2

C(s)R(s)所以，

Pk9k161a14k1LaLbLcL1L2L3

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