2020-2021学年重庆八中九年级(上)第一次月考数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆八中九年级（上）第一次月考数学试

卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分） 1. 𝑠𝑖𝑛30°的值是( )

A. 2

1

2 B. √23 C. √2

D. 1

2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

3. 下列计算中，正确的是( )

A. 2𝑥−𝑦=−𝑥𝑦 C. 𝑥−2𝑥=−𝑥

B. 𝑥2+𝑥2=𝑥4 D. (𝑥−1)2=𝑥2−1

4. 如图是一个边长为1的正方形组成的网格，△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1都是格点三角形(顶

点在网格交点处)，并且△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴1𝐵1𝐶1，则△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1的面积比是( )

A. 1：2 B. 1：4 C. 4：9 D. 2：3

5. 抛物线𝑦=2(𝑥−3)2+1的顶点坐标是( )

A. (3,1) B. (3,−1) C. (−3,1) D. (−3,−1)

6. 一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是( )

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

7. 估计√3×√6−1的值应在( )

A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间

8. 已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的部分图象如图所示，图象过点(−1,0)，对

称轴为直线𝑥=1，下列结论中正确的是( )

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A. 𝑏<0 B. 𝑐<0 C. 𝑎−𝑏+𝑐>0 D. 4𝑎+2𝑏+𝑐>0

9. 如图，在某居民楼AB楼顶有一广告牌BC，在距楼底A点左侧水平距离30m的D

点处有一个山坡，山坡DE的坡度(或坡比)𝑖=1：2.4，山坡坡底D点到坡顶E点的距离𝐷𝐸=26𝑚，在坡底D点处测得居民楼楼顶B点的仰角为45°，在坡顶E点处测得居民楼楼顶广告牌上端C点的仰角为27°，居民楼AB，广告牌BC与山坡DE的剖面在同一平面内，则广告牌BC的高度约为( )(结果精确到0.1，参考数据：𝑠𝑖𝑛27°≈0.45，𝑐𝑜𝑠27°≈0.，𝑡𝑎𝑛27°≈0.51)

A. 4.5𝑚 B. 4.8𝑚 C. 7.1𝑚 D. 7.5𝑚

12𝑦−𝑎2(𝑥−1)≤2+210. 若关于x的不等式组{有解，且关于y的分式方程2=𝑦−2的解为非

𝑥+1>𝑎

负数，那么满足条件的所有整数a的值之和为( )

A. 6 B. 10 C. 11

𝑘

D. 15

11. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0,𝑘>0)的图象经过矩形ABCD

的顶点C，D，∠𝐵𝐴𝑂=60°，且𝐴(1,0)，B点横坐标为−1，则k的值为( )

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A. √2

3 B. 5√4

C. 2√3 D. 2√6

12. 如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上的中点，连接AD，把△𝐴𝐵𝐷沿着AD

翻折，得到△𝐴𝐸𝐷，连接CE，若𝐵𝐶=6，tan∠𝐸𝐶𝐵=√，则△𝐴𝐸𝐶的面积为( )

25

A. √2 B. 2

5 C. 5√4

D. 2√5

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 2020年第三季度，重庆市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得环境空气

质量生态补偿资金6090000元，6090000用科学记数法表示为______． 14. √9+(−3)−1−𝑡𝑎𝑛45°=______．

15. 抛物线𝑦=(𝑘+1)𝑥2−2𝑥+1与x轴有交点，则k的取值范围是______ ． 0，5的卡片，−3，16. 有4张正面分别标有数字−2，它们除数字不同外其余全部相同．现

将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，数记为a，不放回，再从剩余卡片中随机抽取一张，数记为b，则使𝑎+𝑏能被5整除的概率为______．

17. 一条笔直的公路上顺次有A，B，C三地，甲车从B地出发匀速向C地行驶，同时

乙车从B地出发匀速向A地行驶，到达A地并在A地停留0.5小时后，调头将速度提高了9向C地行驶，两车到达C地均停止运动．在两车行驶的过程中，甲乙两车之间的距离𝑠(千米)与行驶时间𝑡(小时)之间的函数图象如图所示，当甲乙两车第一次相遇时，距A地的距离为______千米．

51

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18. 双节期间，某超市推出的“彩云追月”“众星拱月”“花好月圆”三种月饼礼盒热

销，“彩云追月”礼盒含有摩卡月饼4个，芝士月饼8个，“众星拱月”礼盒含有摩卡月饼3个，芝士月饼8个，虫草月饼1个，“花好月圆”礼盒含有摩卡月饼2个，芝士月饼6个，虫草月饼1个，已知摩卡月饼每个20元，芝士月饼每个15元，虫草月饼每个100元，中秋节当天销售这三种礼盒共9440元，其中摩卡月饼的销售额为2320元，则虫草月饼的销售量为______个． 三、解答题（本大题共8小题，共78.0分） 19. 计算

(1)(2𝑎−𝑏)(2𝑎+𝑏)+𝑏(3𝑎+𝑏)； (2)(𝑚+𝑚−2)÷

20. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别在边DA和边BC的

延长线上，连接BE，DF，且满足∠𝐸=∠𝐹． (1)求证：四边形EDFB为平行四边形；

𝑠𝑖𝑛𝐸=10，求平行四边形EDFB的(2)若𝐸𝐵=𝐸𝐷=5，面积．

9

1

𝑚2−𝑚𝑚−2

．

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21. “立德树人奋进担当，教育扶贫托举希望”，多年来，重庆八中积极探索教育扶贫

的有效途径，走出了一条富有八中特色的帮扶之路，谱写着中国最美的教育诗歌．重庆八中为了鼓励更多年轻人参与到教育扶贫志愿活动来，面向全市招募志愿者，甲乙两所大学组织参与了志愿者选拔活动(选拔分为笔试和面试两个环节)，两所学校各有600名志愿者进入面试环节．为了了解两所大学志愿者的整体情况，从两所大学进入面试环节的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的笔试成绩，相关数据(成绩)整理统计如下： 收集数据：

甲校：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94．

乙校：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据：

甲校 乙校 分析数据：

40≤𝑥≤49 0 1 50≤𝑥≤59 1 0 60≤𝑥≤69 0 0 70≤𝑥≤79 a 7 80≤𝑥≤ 7 b 90≤𝑥≤100 1 2 甲校 乙校 应用数据：

平均数 78 78 众数 75 d 中位数 c 80.5 (1)由上表填空：𝑎=______，𝑏=______，𝑐=______，𝑑=______．

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(2)请估计在两所学校通过笔试的1200名志愿者中，笔试成绩在90分以上的共有多少人？

(3)你认为哪个学校的志愿者笔试成绩的总体水平较好，请说明理由．

22. 在初中阶段的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合函数图象

研究函数性质的过程．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数𝑦=𝑥4−2𝑥2−2的图象和性质进行了探究，下面是小组的探究过程，请补充完整： (1)请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象： 32x … −2 − −1 − 23y … 6 −1− 211− ______ 331 22 31 3 22 … 232181791793921823 −3 − ______ ______ − − − −3 − 6 … −16818181168116(2)结合函数图象，写出该函数的一条性质：______；

(3)已知𝑦=4𝑥−3图象如图所示，结合你所画函数图象，直接写出4𝑥−3≥𝑥4−2𝑥2−2的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．

3

3

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23. 一个四位正整数，若其千位上与百位上的数字之和等于十位上与个位上的数字之和，

都等于k，那么称这个四位正整数为“k类诚勤数”.例如：2534，因为2+5=3+4=7，所以2534是“7类诚勤数”．

(1)请判断7441和5436是否为“诚勤数”并说明理由；

(2)若一个四位正整数A为“5类诚勤数”且能被13整除，请求出A的所有可能取值．

24. 某大型文具超市销售的A型画笔和B型画笔都很受消费者的欢迎，其中A型画笔

售价24元/支，B型画笔售价16元/支．第一周A型画笔的销量比B型画笔多200支，且这两种画笔的总销售额为12800元． (1)第一周A型画笔、B型画笔的销量为多少支？

(2)该文具超市第二周继续销售这两种画笔，第二周A型画笔售价降价3𝑎%，销量比第一周增加了3𝑎%，B型画笔售价不变，销量比第一周增加了5𝑎%，结果这两种画笔第二周的总销售额比第一周的总销售额增加了5𝑎%，求a的值．

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3

4

1

1

25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)与x轴交于A、

B两点，BC． 𝑂𝐵=4𝑂𝐴，tan∠𝐶𝐴𝐵=3，与y轴交于点C，其中𝐴(−1,0)，连接AC、(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图2，过A作𝐴𝐷//𝐵𝐶，交抛物线于点D，点P为直线BC下方抛物线上任意一点，连接DP，与BC交于点E，连接AE，当△𝐴𝑃𝐸面积最大时，求点P的坐标及△𝐴𝑃𝐸面积的最大值；

(3)如图3，在(2)的条件下，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后与x轴交于点F、𝐺(点F在点G的左侧)，点Q为直线AC上一点，连接QP、QG、PG，当△𝑄𝑃𝐺是以PG为腰的等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．

1

26. 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，点D是边AB上一点，连接CD，CE平分∠𝐴𝐶𝐷交

AB于点E，∠𝐵𝐸𝐶=45°．

(1)如图1，当∠𝐷𝐶𝐸=15°，𝐶𝐵=2时，求CE的长；

(2)如图2，过点E作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，且𝐸𝐹=𝐸𝐵，连接FD，求证：𝐶𝐷=√𝐹𝐷；

2(3)在(2)的条件下，当𝑡𝑎𝑛𝐹=3时，直接写出𝐶𝐸的值．

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1

𝐹𝐸

2

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：𝑠𝑖𝑛30°=2． 故选：A．

直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

1

2.【答案】D

【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D．

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3.【答案】C

【解析】解：A、2x与−𝑦不能合并，所以A选项错误； B、原式=2𝑥2，所以B选项错误； C、原式=−𝑥，所以C选项正确； D、原式=𝑥2−2𝑥+1，所以D选项错误． 故选：C．

利用合并同类项对A、B、C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．

本题考查了完全平方公式：熟练运用完全平方公式是解决此类问题的关键．完全平方公式为：(𝑎±𝑏)2=𝑎2±2𝑎𝑏+𝑏2．

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4.【答案】C

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴1𝐵1𝐶1， ∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1的相似比为：𝐴

𝐴𝐵

1𝐵1

=3，

4

2

∴△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1的面积比是：(3)2=9． 故选：C．

先由图形得出△𝐴𝐵𝐶与△𝐴1𝐵1𝐶1的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案即可．

本题考查了相似三角形的性质，数形结合并明确相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

2

5.【答案】A

【解析】 【分析】

此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘，顶点坐标是(ℎ,𝑘)，对称轴是𝑥=ℎ.根据抛物线的解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】

解：由𝑦=2(𝑥−3)2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,1)． 故选A．

6.【答案】C

【解析】解：设这个多边形的边数是n，则 (𝑛−2)⋅180°=1260°， 解得𝑛=9． 故选C．

根据多边形的内角和公式列式求解即可．

本题考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题，比较简单．

7.【答案】C

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【解析】解：∵1<2<4， ∴1<√2<2，即4<3√2<5，

∴3<3√2−1<4，即3<√3×√6−1<4， 故选：C．

估算确定出所求范围即可．

此题考查了无理数的大小，熟练掌握估算的方法是解本题的关键．

8.【答案】D

【解析】解：A、抛物线开口方向向下，则𝑎<0；对称轴位于y轴的右侧，则a、b异号，即𝑏>0，故本选项不符合题意．

B、抛物线与y轴交于正半轴，则𝑐>0，故本选项不符合题意． C、当𝑥=−1时，𝑦=0，即𝑎−𝑏+𝑐=0，故本选项不符合题意．

D、根据抛物线的对称性质得到：当𝑥=2时，𝑦>0，即4𝑎+2𝑏+𝑐>0，故本选项符合题意． 故选：D．

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点有关．

9.【答案】D

【解析】解：作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于F，作𝐷𝐺⊥𝐸𝐹于G，如图所示：

则𝐺𝐹=𝐴𝐷=30𝑚，𝐴𝐹=𝐷𝐺，∠𝐶𝐸𝐹=27°， ∵山坡DE的坡度𝑖=2.4=𝐸𝐺， ∴𝐸𝐺=2.4𝐷𝐺，

∵𝐷𝐸=26𝑚，𝐷𝐸2+𝐸𝐺2=𝐷𝐸2， ∴𝐴𝐹=𝐷𝐺=10𝑚，𝐸𝐺=24𝑚， ∴𝐸𝐹=𝐸𝐺+𝐺𝐹=54𝑚，

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1

𝐷𝐺

在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐹中，tan∠𝐶𝐸𝐹=𝐸𝐹=𝑡𝑎𝑛27°≈0.51， ∴𝐶𝐹≈0.51×54=27.54(𝑚)，

∴𝐴𝐶=𝐴𝐹+𝐶𝐹=10+27.54=37.54(𝑚)， 又∵∠𝐴𝐷𝐵=45°，∠𝐴=90°， ∴△𝐴𝐵𝐷是等腰直角三角形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷=30𝑚，

∴𝐵𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐵=37.54−30≈7.5(𝑚)； 故选：D．

作𝐸𝐹⊥𝐴𝐵于F，作𝐷𝐺⊥𝐸𝐹于G，则𝐺𝐹=𝐴𝐷=30𝑚，𝐴𝐹=𝐷𝐺，∠𝐶𝐸𝐹=27°，求出𝐴𝐹=𝐷𝐺=10𝑚，𝐸𝐺=24𝑚，则𝐸𝐹=𝐸𝐺+𝐺𝐹=54𝑚，由三角函数定义求出𝐶𝐹≈27.54𝑚，则𝐴𝐶=37.54𝑚，证出△𝐴𝐵𝐷是等腰直角三角形，则𝐴𝐵=𝐴𝐷=30𝑚，求出BC即可．

本题考查了直角三角形的应用−坡度、仰角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

𝐶𝐹

10.【答案】A

𝑥≤3

【解析】解：不等式组整理得：{，

𝑥>𝑎−12(𝑥−1)≤2+2

∵关于x的不等式组{有解，

𝑥+1>𝑎∴𝑎−1<3，即𝑎<4， 解分式方程2=

1

2𝑦−𝑎

得𝑦=𝑦−2

1

2𝑎−23

，

∵关于y的分式方程2=∴

2𝑎−23

2𝑦−𝑎𝑦−2

的解为非负数，

≥0，且

2𝑎−23

≠2，

解得，𝑎≥1，且𝑎≠4 ∴1≤𝑎<4， ∵𝑎为整数， ∴𝑎=1或2或3，

∴满足条件的所有整数a的值之和：1+2+3=6． 故选：A．

不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由

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分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．

此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

11.【答案】B

【解析】解：如图，过B作𝐵𝐹⊥𝑥轴于点F，过D作𝐷𝐸⊥𝑥轴于点E， ∵𝐴(1,0)，B点横坐标为−1， ∴𝐴𝐹=1−(−1)=2， ∵∠𝐵𝐴𝑂=60°， ∴𝐵𝐹=√3𝐴𝐹=2√3， ∴𝐵(−1,2√3).

∵∠𝐵𝐴𝑂=60°，∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐷𝐴𝐸=30°， ∴𝐴𝐸=√3𝐷𝐸．

设𝐷𝐸=𝑚，则𝐷(1+√3𝑚,𝑚)， ∵四边形ABCD是矩形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶， ∴𝐶(−1+√3𝑚,2√3+𝑚)．

∵反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0,𝑘>0)的图象经过点C，D， ∴𝑘=(−1+√3𝑚)(2√3+𝑚)=(1+√3𝑚)⋅𝑚， 解得𝑚=√，𝑘=

2故选：B．

过B作𝐵𝐹⊥𝑥轴于点F，过D作𝐷𝐸⊥𝑥轴于点E，求出𝐴𝐹=1−(−1)=2，解直角△𝐴𝐵𝐹，得出𝐵𝐹=√3𝐴𝐹=2√3，那么𝐵(−1,2√3).解直角△𝐴𝐷𝐸，得出𝐴𝐸=√3𝐷𝐸.设𝐷𝐸=𝑚，则𝐷(1+√3𝑚,𝑚)，根据矩形与平移的性质得出𝐶(−1+√3𝑚,2√3+𝑚).将C，D两点坐标代入反比例函数𝑦=𝑥，即可求出k．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，矩形的性质等知识．设𝐷𝐸=𝑚，用含m的代数式表示出C、D两点的坐标是解题的关键．

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𝑘

3

5√34𝑘

．

12.【答案】D

【解析】解：连接BE，过点D作𝐷𝑀⊥𝐸𝐶，垂足为M，

∵点D是BC边上的中点，𝐵𝐶=6， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=3，

由折叠得，𝐵𝐷=𝐷𝐸，𝐴𝐷⊥𝐵𝐸， ∴𝐷𝐸=𝐷𝐵=𝐷𝐶，

∴∠𝐵𝐸𝐶=90°，即𝐵𝐸⊥𝐸𝐶， ∴𝐸𝐶//𝐴𝐷， ∴𝑆△𝐴𝐸𝐶=𝑆△𝐷𝐸𝐶，

在△𝐷𝐸𝐶中，𝐷𝐸=𝐷𝐶=3，𝐷𝑀⊥𝐸𝐶， ∴𝑀𝐸=𝑀𝐶， ∵tan∠𝑀𝐶𝐷=

√52

=

𝐷𝑀𝑀𝐶

，

设𝑀𝐶=2𝑚，则𝐷𝑀=√5𝑚， 由勾股定理得，𝐷𝑀2+𝑀𝐶2=𝐷𝐶2， 即4𝑚2+5𝑚2=32， 解得𝑚=1，

∴𝐷𝑀=√5，𝑀𝐶=2， ∴𝑆△𝐷𝐸𝐶=𝐸𝐶⋅𝐷𝑀=2√5，

21

故选：D．

通过作辅助线得出𝑆△𝐴𝐸𝐶=𝑆△𝐷𝐸𝐶，根据等腰三角形的性质，可求出𝑆△𝐷𝐸𝐶，进而得出答案．

本题考查直角三角形的边角关系、等腰三角形、折叠轴对称的性质等知识，求出等腰三角形EDC的面积是解决问题的关键．

13.【答案】6.09×106

【解析】解：6090000=6.09×106， 故答案为：6.09×106．

n为整数．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，确定n的值时，

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要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

14.【答案】−1

【解析】解：√9+(−3)−1−𝑡𝑎𝑛45° =3−3−1 =−1． 故答案为：−1．

首先计算乘方、开方、三角函数，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

1

15.【答案】𝑘≤0且𝑘≠−1

𝑘+1≠0【解析】解：依题意，得{ △=(−2)2−4(𝑘+1)≥0𝑘≠−1解得 {，

𝑘≤0

所以k的取值范围为𝑘≤0且𝑘≠−1， 故答案为：𝑘≤0且𝑘≠−1．

由题意可知𝑘+1≠0，又因为二次函数𝑦=(𝑘+1)𝑥2−2𝑥+1的图象与x轴有交点，所以△=𝑏2−4𝑎𝑐≥0，进而求出k的取值范围．

c是常数，𝑎≠0)本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△=𝑏2−4𝑎𝑐决定抛物线与x轴的交点个数．△=𝑏2−4𝑎𝑐>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=𝑏2−4𝑎𝑐<0时，抛物线与x轴没有交点．

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16.【答案】3

【解析】解：画树状图如图：

1

共有12个等可能的结果，使𝑎+𝑏能被5整除的结果有4个， ∴使𝑎+𝑏能被5整除的概率=12=3； 故答案为：3．

画出树状图，共有12个等可能的结果，使𝑎+𝑏能被5整除的结果有4个，由概率公式即可求解．

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

1

4

1

17.【答案】840

【解析】解：如图：

设甲的速度为𝑣甲，乙的速度为𝑣乙，

OD段：两人的速度和为：450÷3=150(𝑘𝑚/ℎ)， 即𝑣甲+𝑣乙=150①，

此时乙休息0.5ℎ，则E处的横坐标为：3+0.5=3.5， 则乙用了：9.5−3.5=6(ℎ)追上甲， 则6(1+9)𝑣乙=3𝑣乙+9.5𝑣甲②，

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5

𝑣甲=60𝑘𝑚/ℎ

联立①②得{，

𝑣乙=90𝑘𝑚/ℎ则第一次相遇是在9.5ℎ时，

距离A地：6×90×(1+9)=840(𝑘𝑚)． 故答案为：840．

设甲的速度为𝑣甲，乙的速度为𝑣乙，根据题意可得𝑣甲+𝑣乙=150①，可求出乙追上甲的时间为6h，根据题意可得6(1+9)𝑣乙=3𝑣乙+9.5𝑣甲②，联立①②求出乙车的速度即可解答．

本题主要考查了一次函数的应用．理解函数图象的点的坐标的实际意义，从而得到甲乙两车的行驶的距离和速度是解题的关键．

5

5

18.【答案】28

【解析】解：每盒“彩云追月”的价格为20×4+15×8=200(元)， 每盒“众星拱月”的价格为20×3+15×8+100×1=280(元)， 每盒“花好月圆”的价格为20×2+15×6+100×1=230(元)．

设中秋节当天销售“彩云追月”礼盒x盒，“众星拱月”礼盒y盒，“花好月圆”礼盒z盒，

200𝑥+280𝑦+230𝑧=9440①

依题意得：{，

20×4𝑥+20×3𝑦+20×2𝑧=2320②①−2.5×②得130𝑦+130𝑧=30， ∴𝑦+𝑧=28． 故答案为：28．

利用总价=单价×数量可分别求出每盒“彩云追月”、“众星拱月”、“花好月圆”三种月饼礼盒的价格，设中秋节当天销售“彩云追月”礼盒x盒，“众星拱月”礼盒y盒，“花好月圆”礼盒z盒，根据“中秋节当天销售这三种礼盒共9440元，其中摩卡月饼的销售额为2320元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，利用①−2.5×②可得130𝑦+130𝑧=30，进而可求出(𝑦+𝑧)的值，此题得解．

本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．

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19.【答案】解：(1)原式=4𝑎2−𝑏2+3𝑎𝑏+𝑏2

=4𝑎2+3𝑎𝑏；

(2)原式=(==

【解析】(1)先利用平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得； (2)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．

本题主要考查整式和分式的混合运算，解题的关键是掌握平方差公式和单项式乘多项式法则、分式的混合运算顺序和运算法则．

(𝑚−1)2𝑚−2𝑚−1𝑚

𝑚2−2𝑚𝑚−2𝑚−2

+

1

𝑚−2

)÷

𝑚(𝑚−1)𝑚−2

⋅𝑚(𝑚−1)

．

20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90°， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹=90°，

∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐶𝐹在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐷𝐹中，{∠𝐸=∠𝐹，

𝐴𝐵=𝐶𝐷∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐵𝐸=𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐶𝐹， ∴𝐴𝐷+𝐴𝐸=𝐵𝐶+𝐶𝐹， 即𝐷𝐸=𝐵𝐹，

∴四边形EDFB为平行四边形； (2)解：∵𝑠𝑖𝑛𝐸=10=𝐵𝐸，𝐵𝐸=5， ∴𝐴𝐵=10𝐵𝐸=2，

∵𝐸𝐷=𝐸𝐵=5，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，

∴平行四边形EDFB的面积=𝐸𝐷×𝐴𝐵=5×2=

【解析】(1)证△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆)，得𝐵𝐸=𝐷𝐹，𝐴𝐸=𝐶𝐹，则𝐷𝐸=𝐵𝐹，即可得出四边形EDFB为平行四边形；

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9

452

9

99

𝐴𝐵

．

(2)由三角函数定义求出𝐴𝐵=10𝐵𝐸=2，由平行四边形面积公式即可得出答案． 本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

99

21.【答案】11 10 78 81

【解析】解：(1)𝑎=20−1−7−1=11， 20−1−7−2=10，

甲校抽查的20名学生成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为78，即中位数是78，𝑐=78，

乙校抽查的20名学生成绩出现次数最多的是81，共出现3次，故𝑑=81， 故答案为：11，10，78，81； (2)1200×20+20=90(人)，

答：在两所学校通过笔试的1200名志愿者中，笔试成绩在90分以上的共有90人； (3)甲、乙两校的平均数相等，但中位数、众数乙校均比甲校的高，因此乙校的成绩较好，

答：乙校成绩较好，乙校的中位数、众数均比甲校的大．

(1)根据各组频数的和为20可求出a、b的值，根据中位数、众数的意义，可求出c、d的值；

(2)求出两个学生90分以上所占的百分比，即可求出总体1200名学生中成绩在90分以上的人数；

(3)从中位数、众数方面进行判断即可．

本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数的意义及应用，各组频数之和等于样本容量是正确计算的前提．

1+2

77+792

=

22.【答案】0 −16 −2 函数图象关于y轴对称

【解析】解：(1)当𝑥=−2时，𝑦=𝑥4−2𝑥2−2=−(−2)4−2×(−2)2−2=−16． 当𝑥=0时，𝑦=𝑥4−2𝑥2−2=−2，

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1

1

1

39

39

如图所示：

(2)答案不唯一．如：函数图象关于y轴对称， 故答案为函数图象关于y轴对称．

(3)根据函数图象，4𝑥−3≥𝑥4−2𝑥2−2的解集0.6≤𝑥≤1.4．

(1)把𝑥=−2和𝑥=0分别代入代入函数解析式即可把下表补充完整；描点、连线即可得到函数的图象；

(2)函数图象关于y轴对称；

(3)根据函数的图象即可得到4𝑥−3≥𝑥4−2𝑥2−2的解集．

本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．

3

1

3

23.【答案】解：(1)在7441中，7+4=11，4+1=5，因为11≠5．

∴7441不是“诚勤数”；

在5436中，因为5+4=6+3=9， ∴5436是“诚勤数”．

(2)由题可得，设这个四位数的十位数为a，千位数为b，则个位数为(5−𝑎)，百位数为(5−𝑏)，且0≤𝑎≤5，1≤𝑏≤5， ∴这个四位数为：

1000𝑏+100(5−𝑏)+10𝑎+(5−𝑎)=900𝑏+9𝑎+505， ∵900=13×69...3，505=13×38...11，

∴900𝑏+9𝑎+505=(13×69+3)𝑏+9𝑎+13×38+11=13×(69𝑏+38)+3𝑏+

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9𝑎+11，

∵这个四位数是13的倍数， ∴3𝑏+9𝑎+11必须是13的倍数； ∵0≤𝑎≤5，1≤𝑏≤5．

∴3𝑏+9𝑎在𝑎=𝑏=5时，取到最大值为60， ∴3𝑏+9𝑎可以为：2、15、28、41、54， ∵3𝑏+9𝑎=3(𝑏+3𝑎)，则3𝑏+9𝑎是3的倍数． ∴3𝑏+9𝑎=15或3𝑏+9𝑎=54， ∴𝑏+3𝑎=5或𝑏+3𝑎=18， ①当𝑏+3𝑎=5时，𝑎=

5−𝑏3

，

∵1≤𝑏≤5，且a为非负整数， ∴5−𝑏=0或5−𝑏=3， ∴𝑏=5或𝑏=2，

若𝑏=5，则𝑎=0，此时900𝑏+9𝑎+505=5005； 若𝑏=2，则𝑎=1，此时900𝑏+9𝑎+505=2314； ②当𝑏+3𝑎=18时，𝑎=

18−𝑏3

，

∵1≤𝑏≤5，且a为非负整数， ∴𝑏=3，𝑎=5，

∴900𝑏+9𝑎+505=3250；

综上所述，满足条件的A为：2314、5005、3250．

【解析】(1)利用“诚勤数”的定义进行验证，即可得到答案；

(2)由题意可设这个四位数的十位数为a，千位数为𝑏.则个位数为(5−𝑎)，百位数为(5−𝑏)，然后根据13的倍数关系，以及“5类诚勤数”的定义，利用分类讨论思想进行分析，即可得到答案．

本题考查了二元一次方程，新定义的运算法则，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出二元一次方程，结合新定义，利用分类讨论思想进行求解．

24.【答案】解：(1)设第一周A型画笔的销量为x支，B型画笔的销量为y支，

𝑥−𝑦=200依题意，得：{，

24𝑥+16𝑦=12800

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𝑥=400

解得：{．

𝑦=200

答：第一周A型画笔的销量为400支，B型画笔的销量为200支．

(2)依题意，得：24(1−3𝑎%)×400(1+3𝑎%)+16×200(1+5𝑎%)=12800(1+

35

1

4

1

𝑎%)，

整理，得：𝑎2−60𝑎=0，

解得：𝑎1=60，𝑎2=0(不合题意，舍去)． 答：a的值为60．

【解析】(1)设第一周A型画笔的销量为x支，B型画笔的销量为y支，根据“第一周A型画笔的销量比B型画笔多200支，且这两种画笔的总销售额为12800元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．

25.【答案】解：(1)∵𝐴(−1,0)，𝑂𝐵=4𝑂𝐴，

∴𝐵(4,0)， ∵tan∠𝐶𝐴𝐵=3， ∴

𝑂𝐶𝑂𝐴

=3，

∴𝐶(0,−3)，

将𝐴(−1,0)，𝐵(4,0)，𝐶(0,−3)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得： 0=𝑎−𝑏+𝑐

{0=16𝑎+4𝑏+𝑐，解得{𝑏=−9，

4−3=𝑐

𝑐=−3∴抛物线的解析式为𝑦=4𝑥2−4𝑥−3；

(2)过P作𝑃𝐹//𝐴𝐷交x轴于F，连接DF，如图：

3

9

𝑎=4

3

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设经过𝐵(4,0)，𝐶(0,−3)的直线为𝑦=𝑑𝑥+𝑒， 0=4𝑑+𝑒𝑑=4则{，解得{， −3=𝑒𝑒=−3∴直线BC为𝑦=4𝑥−3，

由𝐴𝐷//𝐵𝐶，设直线AD为𝑦=4𝑥+𝑓，把𝐴(−1,0)代入得： 0=−+𝑓，解得𝑓=， 44∴直线AD为𝑦=4𝑥+4，

𝑦=𝑥2−𝑥−3𝑥=−1𝑥=544

解{得{或{𝑦=9， 33𝑦=0𝑦=4𝑥+42∴𝐷(5,2)， ∵𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝐵，

而𝑆△𝐴𝐷𝐵=2𝐴𝐵⋅|𝑦𝐷|=2×5×2=∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=

3

4541

1

9

454

93

93

3

3

3

3

3

3

，

，

9

3

设𝑃(𝑚,4𝑚2−4𝑚−3)，而𝑃𝐹//𝐴𝐷，设直线PF为𝑦=4𝑥+𝑔， 则4𝑚2−4𝑚−3=4𝑚+𝑔，解得𝑔=4𝑚2−3𝑚−3， ∴直线PF为𝑦=4𝑥+4𝑚2−3𝑚−3， 令𝑦=0得𝑥=−𝑚2+4𝑚+4， ∴𝐹(−𝑚2+4𝑚+4,0)， ∵𝑃𝐹//𝐴𝐷，

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3

3

3

9

3

3

∴𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝑆△𝐴𝐷𝑃，

而𝑆△𝐴𝐷𝐹=2𝐴𝐹⋅|𝑦𝐷|=2=2[−𝑚2+4𝑚+4−(−1)]⋅2=−4𝑚2+9𝑚+∴𝑆△𝐴𝐷𝑃=−𝑚2+9𝑚+

49

454

1

1

1

9

9

454

，

，

9

9

∴𝑆△𝐴𝑃𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝑃−𝑆△𝐴𝐷𝐸=−4𝑚2+9𝑚=−4(𝑚−2)2+9， ∴𝑚=2时，𝑆△𝐴𝑃𝐸最大，最大值为9， ∴𝑃(2,−2)；

(3)将抛物线𝑦=4𝑥2−4𝑥−3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为𝑦=4(𝑥−2)2−4(𝑥−2)−3+3=4𝑥2−3𝑥+16， 令𝑦=0得𝑥=2或𝑥=2， ∴𝐺(2,0)，

∵𝐴(−1,0)，𝐶(0,−3)，

∴直线AC的解析式为𝑦=−3𝑥−3，

𝑄𝑃2=(𝑛−2)2+(−3𝑛−3+2)2，设𝑄(𝑛,−3𝑛−3)，则𝑄𝐺2=(𝑛−2)2+(−3𝑛−3)2，𝑃𝐺2=(−2)2+()2=

2

2

7

9

452

7

9

7

1

7

3

1

9

1

3

21

3

9

1

9

，

△𝑄𝑃𝐺是以PG为腰的等腰三角形，分两种情况： ①𝑃𝐺=𝑄𝐺时，(𝑛−2)2+(−3𝑛−3)2=∴𝑄(

7

45

，解得𝑛=2

−11+3√19或𝑛20

=

−11−3√19， 20

−11+3√19−27−9√19−11−3√19−27+9√19或(,),20)； 202020

9

45

②𝑃𝐺=𝑄𝑃时，(𝑛−2)2+(−3𝑛−3+2)2=∴𝑄(

，解得𝑛=2

13+3√91或𝑛20

=

13−3√91， 20

13+3√91−99−9√9113−3√91−99+9√91或(,),20)， 202020

−11+3√19−27−9√19−11−3√19−27+9√1913+3√91−99−9√91综上所述，Q的坐标为：(,)或(,)或(,)

20

20

20

20

20

20

13−3√91−99+9√91,20). 20

或(

【解析】(1)由𝑂𝐵=4𝑂𝐴可得𝐵(4,0)，由tan∠𝐶𝐴𝐵=3可得𝑂𝐶=3𝑂𝐴，则𝐶(0,−3)，利用待定系数法将A，B，C三点坐标分别代入即可求解；

(2)过P作𝑃𝐹//𝐴𝐷交x轴于F，连接DF，先求出直线BC为𝑦=4𝑥−3，直线AD为𝑦=

3

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𝑦=4𝑥2−4𝑥−333932945

𝑥+，𝐷(5,)𝑃(𝑚,𝑚−𝑚−𝑆={𝐴𝐷//𝐵𝐶解得，由，得，设△𝐴𝐷𝐸33442444

𝑦=𝑥+

4

4

39

3)，同理可得𝑆△𝐴𝐷𝑃=−4𝑚2+9𝑚+

9

945

，从而𝑆△𝐴𝑃𝐸=𝑆△𝐴𝐷𝑃−𝑆△𝐴𝐷𝐸=−4𝑚2+9𝑚=4

9

9

−(𝑚−2)2+9，即可得到𝑚=2时，𝑆△𝐴𝑃𝐸最大，最大值为9，𝑃(2,−)；

42

(3)将抛物线𝑦=4𝑥2−4𝑥−3先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为𝑦=4𝑥2−3𝑥+16，可得𝐺(2,0)，设𝑄(𝑛,−3𝑛−3)，则𝑄𝐺2=(𝑛−2)2+

222𝑄𝑃2=(𝑛−2)2+(−3𝑛−3+)2，𝑃𝐺=(−2)+()=(−3𝑛−3)2，222

9

7

9

452

3

21

7

7

3

9

1

，①𝑃𝐺=𝑄𝐺

时，(𝑛−2)2+(−3𝑛−3)2=

745

，可得𝑄(2

9

−11+3√19−27−9√19−11−3√19−27+9√19

,)或(,)，20202020

45

②𝑃𝐺=𝑄𝑃时，(𝑛−2)2+(−3𝑛−3+2)2=(

13−3√91−99+9√91

,). 2020

，可得𝑄(2

13+3√91−99−9√91

,)或2020

本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形面积、等腰三角形判定等知识，解题的关键是设相关点的坐标，用含字母的代数式表示线段长，再列方程．

26.【答案】解：(1)如图1，过点C作𝐶𝑁⊥𝐴𝐵于N，

∵∠𝐷𝐶𝐸=15°，∠𝐵𝐸𝐶=45°， ∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐷𝐶𝐸+∠𝐷𝐸𝐶=60°， ∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸=15°，

∴∠𝐵𝐶𝐷=90°−15°−15°=60°， ∴∠𝐵𝐶𝐷=60°， ∴△𝐵𝐶𝐷是等边三角形， ∴𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶=2， ∵𝐶𝑁⊥𝐵𝐷，

∴𝐵𝑁=𝐷𝑁=1，∠𝐷𝐶𝑁=30°， ∴𝐶𝑁=√3𝐷𝑁=√3，

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∵∠𝑁𝐸𝐶=45°，𝐶𝑁⊥𝐵𝐴， ∴∠𝑁𝐶𝐸=∠𝑁𝐸𝐶=45°， ∴𝐶𝑁=𝑁𝐸=√3， ∴𝐶𝐸=√2𝐶𝑁=√6；

(2)延长EF交AC于H，连接BH，

∵∠𝐵𝐸𝐶=45°，∠𝐵𝐸𝐻=90°， ∴∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐸𝐻=45°， 在△𝐶𝐸𝐷和△𝐶𝐸𝐻中， ∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐸𝐶𝐻{𝐶𝐸=𝐶𝐸， ∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐻𝐸𝐶

∴△𝐶𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐻(𝐴𝑆𝐴)，

∴𝐷𝐸=𝐸𝐻，𝐶𝐷=𝐶𝐻，∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐻𝐸， 在△𝐷𝐹𝐸和△𝐻𝐵𝐸中， 𝐷𝐸=𝐸𝐻

{∠𝐵𝐸𝐻=∠𝐹𝐸𝐷=90°， 𝐸𝐹=𝐵𝐸

∴△𝐷𝐹𝐸≌△𝐻𝐵𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴𝐷𝐹=𝐵𝐻，

∵∠𝐵𝐶𝐻=∠𝐵𝐸𝐻=90°， ∴∠𝐶𝐵𝐷+∠𝐶𝐻𝐸=180°， ∵∠𝐵𝐷𝐶+∠𝐶𝐷𝐸=180°， ∴∠𝐵𝐷𝐶=∠𝐶𝐵𝐷， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐷， ∴𝐵𝐶=𝐶𝐻=𝐶𝐷， ∴𝐵𝐻=√2𝐵𝐶=√2𝐶𝐷， ∴𝐷𝐹=√2𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷=

√2𝐷𝐹； 2

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(3)过点C作𝐶𝑁⊥𝐴𝐵于N，

∵𝑡𝑎𝑛𝐹=3=

1𝐷𝐸𝐸𝐹

，

∴设𝐷𝐸=𝑎，𝐸𝐹=3𝑎，

∴𝐷𝐹=√𝐷𝐸2+𝐸𝐹2=√𝑎2+9𝑎2=√10𝑎， ∵𝐶𝐷=

√2𝐷𝐹， 2

∴𝐶𝐷=√5𝑎， ∵𝐶𝐷2=𝐶𝑁2+𝐷𝑁2， ∴5𝑎2=𝐶𝑁2+(𝐶𝑁−𝑎)2， ∴𝐶𝑁=2𝑎，

∴𝐶𝐸=√2𝐶𝑁=2√2𝑎， ∴

(1)过点C作𝐶𝑁⊥𝐴𝐵于N，【解析】可证△𝐵𝐶𝐷是等边三角形，可得𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶=2，由等边三角形的性质可求𝐶𝑁=√3，可求解；

(2)延长EF交AC于H，𝐶𝐷=连接BH，由“ASA”可证△𝐶𝐸𝐷≌△𝐶𝐸𝐻，可得𝐷𝐸=𝐸𝐻，𝐶𝐻，∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐻𝐸，由“SAS”可证△𝐷𝐹𝐸≌△𝐻𝐵𝐸，可得𝐷𝐹=𝐵𝐻，由等腰直角三角形的性质可得结论；

(3)过点C作𝐶𝑁⊥𝐴𝐵于N，设𝐷𝐸=𝑎，𝐸𝐹=3𝑎，由勾股定理可求DF的长，由勾股定理可求DN的长，可求CE的长，可求解．

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．

𝐸𝐹𝐶𝐸

=

3𝑎2√2𝑎=

3√2． 4

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