3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且
1
2。
试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为
2
12
M
证明：
第2n个原子所受的力
11
4
12
sin(qa2)
1
2
2
12
（）
2
F2n
(
第2n+1个原子所受的力
1
2
(u2n
2
1
u2n)
2
1
(u2n
1
u2n)
)u2nu2n
112n1
u
F2n
111
(u2n
2
21
u2n1)
1
21
(u2n
2
u2n1)
(
这两个原子的运动方程：
)u2nu2nu2n
1u2n1
2u2n
&&mu2n&&mu2n
方程的解
(
1
1
2)u2n1
2)u2n1
2u2n1
1u2n2
(
i
u2nu2n
代入到运动方程，可以得到
1
Ae
i
t(2n)q
2
a
a
Be
t(2n1)q
2
m
2
A
1
e
aiq2
2
e
aiq2
B(
12
)A
m
经整理，有
2
B
1e
i
a2
q
2e2
i
a
q
A(
12
)B
(
12
m
2
)A
q
1
e
iq2
2
a
e
i
a2
q
B0
1
e
i
a2
q
2
e
i
a2
A(
12
m
2
)B0
若A，B有非零解，系数行列式满足
2
iqe2a
iq2a
11e
2aiq2
m
2
,
1
2e
aiqe2,
0
2
12
m
根据上式，有
2
12
M
3.3
(a) 设单原子链长度
L=Na
11
4
12
sin(qa2)
1
2
2
12
（）
2
波矢取值
q
2Na
h
每个波矢的宽度
q
2Na
，状态密度
Na2
Na
dq间隔内的状态数
2
dq，对应±q，ω取相同值
因此
dq
Na2dq
2
一维单原子链色散关系，
4aq
sinm2
,
0
令
4
0
m
sin
aq2
a
两边微分得到
d
0
2
cos
aq2dq
aq2
将
cos
2
1
d
a
2代入到0
0
2
cos
aq2
dq
d
a22
22
0
dq,
dqd
a
22
0
频率分布函数
2
Na1Na
2
2N1
2
d
22
22
dq
a
0
0
3.4
V三维晶格振动的态密度为
(2)3
)＝
VdS根据态密度定义
((2)
3
|
rq
(q)|
对
q
2
0
Aq
两边微分得到
dq2Aqdq
在球面上
dq
dq
2Aq，半径q
1A
0
代入到态密度函数得到
V4q
2
V4
1A
0
A
V2
3
q
q
2
3
2A
0
4
2
A
3/2
0
最小截止频率
m
0d
V0
1/2
m
4
2
A
3/2
m
0
d3N
可得
2/3
2
Nmin0
6
V
A
V
1/2
所以
4
2
A
3/2
0
,
min0
1/2
,
0
在
0或
min
时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。
即
0
3.5
证明：此题可推广到任意维
m，由于
Aq
而德拜模型中
m1
ddq
1
uq，故
q
m1m1
Cv
hkT
kB
hkBT
2
e
hkBT
d
kBT
e
h
1
2
令
x，则上式变为
Cv
T
m1
T
exe
x
xm1
1
D
dx2
T
m
xD0
exe
x
xm1
1
2
dx
在低温时
xDex
x
h
m1
kTdx
为一个于T无关的常数
则积分
0
e
m
x
1
2
故
Cv
T
对三维m＝3
m＝2 m＝1
CvCv
TTT
3
对本题研究的二维对一维
2
Cv
