成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测理数试题

数学（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分。第Ⅰ卷（选择题，第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。 注意事项：

1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求.

1．设全集U=0，集合AxNx1x30，则集合1，2，3，A．1 B．2 C．3 D．4 2．若复数zUA中元素的个数是（ ）

ai(i是虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为（ ） 1iA．2 B．1 C．1 D．2 3．命题“x1,，x1lnx”的否定是（ ）

A．x1,，x1lnx B．x1,，x1lnx C．x01,，x01lnx0 D．x01,，x01lnx0

1,x0,4．定义符号函数sgnx0,x0,则函数fxsinxsgnx的图象大致是（ ）

1,x0,

5．已知实数a2ln2，b22ln2，cln2，则a,b,c的大小关系是（ ） A．cab B．cba C．bac D．acb 6．当22,时，若sincos，则sincos的值为（ ）

32A．2244 B． C． D．

33337．已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A．

1152 B． C． D． 32998．某企业可生产A,B两种产品.投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米.若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米投资生产A,B两种产品，则两种产品的量之和的最大值是（ ） A．467吨 B．450吨 C．575吨 D．600吨

9．在正三棱柱ABCA1B1C1 (底面是正三角形,侧棱垂直于底面的棱柱)中，所有棱长之和为定值a.若正三棱柱ABCA1B1C1的顶点都在球O的表面上，则当正三棱柱侧面积取得最大值24时，该球的表面积为（ ） A．43 B．

3264 C．12 D． 3310．已知P为△ABC所在平面内一点，ABPBPC0，PCPBAB2，则△PBC的面积等于（ ）

A．3 B．23 C．33 D．43 x2y21上关于坐标原点O对称的两个点，P,M,N是椭圆C异于11.已知A,B是椭圆C：

259A,B的点,且AP∥OM，BP∥ON，则△MON的面积为（ ）

A．331525 B． C． D． 222212．在关于x的不等式e2x2aex4e2xaex4e20 (其中e2.71828数)的解集中，有且仅有两个大于2的整数,则实数a的取值范围为（ ） A．为自然对数的底

1619116494,,,,2 B． C． D．443235e2e4e2e5e3e4e3e

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上.

113．x的展开式中各项系数之和为 .

x14．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，则 异面直线AE与BD1所成角的余弦值为 .

15．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知ac56b，sinB6sinC.6则cos2A . 616.已知集合M1,2,3,4,5,6,7,8,9的所有3个元素的子集记为A1,A2,A3,,Ak，kN*.记

ai为集合Ai（i1,2,3,

,k）中的最大元素，则a1a2ak . 三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知Sn为等比数列an的前n项和，S2,S4,S3成等差数列，且a2a3a4. （I）求数列an的通项公式；

（Ⅱ）设bnnan，求数列bn的前n项和Tn.

18．（本小题满分12分）

某企业统计自2011年到2017年的产品研发费x和销售额y的数据如下表:

38

根据上表中的数据作出散点图,得知产品研发费的自然对数值z (精确到小数点后第二位)和销售额y具有线性相关关系.

ˆlnxaˆ的计算结果精确到小数点ˆbˆ (aˆ,b（I）求销售额y关于产品研发费x的回归方程y后第二位)；

（Ⅱ）根据（I）的结果预则：若2018年的销售额要达到70万元，则产品研发费大约需要多少万元？

19．（本小题满分12分）

如图①,在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，ABC60，CD2，AB4，点E为现将三角形BEC沿线段EC折起，形成直二面角PECA,如图②，连接PA,PDAB的中点；

得四棱锥PAECD，如图③.

（I）求证：PDEC；

（Ⅱ）求平面PEC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值.

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，动点M与定点F1,0的距离和它到直线x4的距离的比是1:2.记动点M的轨迹为曲线C，直线l:ykxmm0与曲线C相交于不同的两点P,Q.

（I）求曲线C的方程；

（Ⅱ）求△OPQ面积的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知函数fx1kxklnxk1，其中kR,k0. （I）讨论函数fx的单调性；

（Ⅱ）设函数fx的导函数为gx.若函数fx恰有两个零点x1,x2x1x2，证明:

x2x2g10.

3

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程

在极坐标系中，曲线C的极坐标方程是4cos，直线l的极坐标方程是

2sin1，点Q,在直线l上.以极点为坐标原点O，极轴为x轴的正半轴，建立

42平面直角坐标系xOy，且两坐标系取相同的单位长度.

（I）求曲线C及直线l的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B，求QAQB的值.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数fx2x1xa，aR. （I）当a2时，解不等式fx4；

（Ⅱ）若不等式fx1的解集为非空集合，求a的取值范围.

成都市2015级高中毕业班第三次诊断性检测

数学（理科）参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项符合题目要求. 1． 【答案】 A

【解析】由题意得A1,2,3，所以考点：集合的基本运算. 2． 【答案】 C

UA0，故选A.

aiai1ia1a1i【解析】因为z是纯虚数，所以a10，即a1，故1i22选C.

考点：1、复数的运算，2、纯虚数的概念. 3． 【答案】 D

【解析】“x1,，x1lnx”的否定是“x01,，x01lnx0”，故选D. 考点：含一个量词的命题否定. 4． 【答案】 B

【解析】用排除法，易知fx是偶函数，故排除A选项；当0x时，fx0，故排除D选项；当x2时，fx0，故排除C选项.故选B. 考点：函数的图象. 5． 【答案】A 【解析】易知12ln22，22ln22，0ln21，所以cab.故选A.

2考点：指数与对数运算及单调性. 6． 【答案】C

【解析】由诱导公式得sincossincos27，所以2sincos，39sincossincos4sincos所以sincos2216，又,，所以sincos0924.故选C. 3考点：1、诱导公式；2、同角基本关系求值. 7． 【答案】B

11【解析】先从甲袋中取出1个球放入乙袋，再从乙袋出1个球的总数为C2C510，取出红球的总1111数为C1C3C1C25，所以乙袋中取出红球的概率为P51.故选B. 102考点：古典概型. 8． 【答案】C

【解析】设生产A,B产品的产量分别为x,y（单位：100吨），由题意得约束条件

200x300y1400,200x100y900,求目标函数zxy的最大值.由约束条件得可行区域（如图），其中x0,y0,A4.5,0，B3.25,2.5，C0,14. 3

由可行区域可得目标函数zxy经过B3.25,2.5时，z取最大值，故zmax5.75（100吨）.

故选C.

考点：线性规划问题. 9． 【答案】D

【解析】设正三棱柱ABCA1B1C1底面边长为x，侧棱为y，则6x3ya，三棱柱

a16x3ya2ABCA1B1C1侧面积S3xy.所以S3xy，当且仅当，即6x3y26224xaa,y时，等号成立，所以a24，x2，y4.所以正三棱柱ABCA1B1C1的外接1262球的球心O到顶点A的距离为443644，所以该球的表面积为.故选D. 343考点：1、简单几何体；2、基本不等式. 10． 【答案】A

【解析】分别取边BC，AC的中点D,E，则PBPC2PD，AB2ED， 因为ABPBPC0，所以EDPD，所以E,D,P三点共线，且EDPD1. 又PCPB2，所以PDBC，所以BC23，所以△PBC的面积S故选A.

考点：平面向量线性运算. 11. 【答案】C

【解析】方法一：特殊值法，取A,B为短轴的端点，即A0,3,B0,3，点P为左顶点P5,0，则直线OM，ON的方程分别为y12313.2333535，，x，yx，所以M,N,552222所以S△MON15.故选A. 2方法二：若PA,PB与坐标轴平行或垂直时，可得点M,N为椭圆C长轴和短轴的一个端点，所以

115S△MON53；

22若PA,PB与坐标轴不平行或不垂直时，则kPAkPB9，设直线OM，ON的方程分别为25x2y215k1151,9yk1x，yk2x，则k1k2.联立259解得M,925k2925k225ykx,111， 15k215同理可得N,925k2925k222所以S△MON， 221215925k2115k2925k15925k2215k1925k21

k1k2k1k2225225222162225k12k22162225k1k22k1k1 225k1k215.215k1k22故选A.

考点：直线与椭圆的位置关系. 12． 【答案】D

【解析】易得e2x2aex4e2xaex4e20e2x2ax1ex. 设fxe2x2，gxax1e，则原不等式等价与fxgx.

22x若a0，则当x2时，fx0，gx0，所以原不等式的解集中有无数个大于2的整数，所以a0.

因为f20，g2ae0，所以f2g2.

2当f3g3，即a21时，设hxfxgxx4， 2ex2xex则hx2ex2axe2ex2.

2ex1e30xex设x2ex2x4，则x2e2，

2e2ex2所以x在4,上为减函数，所以x42e22e0，

所以当x4时，hx0，所以hx在4,上为减函数，

3e33ee240， 所以hxh44e3ae4e22242所以当x4时，不等式fxgx恒成立，所以原不等式的解集中没有大于2的整数.

f3g3,e22ae3,24所以要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则f4g4,所以4e3ae,

9e24ae5,f5g5,94解得3a2.故选D.

4e3e考点：利用导数研究函数的性质解决不等式成立问题.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共5小题,每小题5分，共25分.请将答案填在题后横线上. 13．【答案】0

【解析】令x1，得展开式中各项系数之和为110. 考点：二项式定理. 14．【答案】

515 5【解析】以点D原点，DA,DB,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设棱长为2，则

A2,0,0，E0,0,1，B2,2,0，D10,0,2，所以AE2,0,1，BD12,2,2，所

以cosAE,BD1考点：空间角. 15．【答案】

AEBD1AEBD11515，所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为.

55153 8【解析】因为sinB6sinC，所以b6c，又ac6b，所以a2c，由余弦定理得61510b2c2a23c261sin2AsinA，所以，所以，. cos2AcosA24442bc426c所以cos2A153. cos2Acossin2Asin6668考点：1、正余弦定理；2、三角恒等变换. 16.【答案】630

3【解析】集合M含有3个元素的子集共有C984，所以k84.

在集合A（ii1,2,3,22中：最大元素为3的集合有C21个；最大元素为4的集合有C33；,k）

222最大元素为5的集合有C46；最大元素为6的集合有C510；最大元素为7的集合有C615；22最大元素为8的集合有C721；最大元素为9的集合有C828.

所以a1a2ak314356610715821928630.

考点：1、集合间的基本关系；2、组合.

三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

1【答案】(I)an2【解析】

n1；（Ⅱ）Tn4n2. n12

考点：1、等比数列；2、错位相减法.

18．（本小题满分12分）

ˆ11.99lnx21.86；【答案】(I)y（Ⅱ）55.5.

【解析】

考点：1、用线性回归方程系数公式求线性方程；2、用样本估计总体解决简单实际问题.

19．（本小题满分12分）

【答案】(I)见解析；（Ⅱ）【解析】

2. 2

考点：1、点线面间的垂直关系；2、向量方法求面面的夹角.

20．（本小题满分12分）

x2y21；【答案】(I)（Ⅱ）3. 43【解析】

考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆的位置关系.

21．（本小题满分12分）

x2y21；【答案】(I)（Ⅱ）3. 43【解析】

考点：导数在研究函数的单调性中的应用.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 【答案】(I)x2y24，xy10；（Ⅱ）32. 【解析】

2

考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数的意义.

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 【答案】(I)1,1；（Ⅱ）【解析】

31,. 22

考点：解含绝对值的不等式.