函数模型及其应用知识点与题型归纳

1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.

★备考知考情

1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．

2.常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．

3.选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.

一、知识梳理《名师一号》P35 知识点一 几类函数模型 函数解析式 一次函数 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 模型 文档

实用标准文案 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 模型 指数型函 f(x)＝bax＋c 数模型 (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1) 对数型函 f(x)＝blogax＋c 数模型 (a，b，c为常数，a＞0，且a≠1) 幂函数型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 函数模型 知识点二 三种增长型函数之间增长速度的比较 1.指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)：

在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因而总存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn.

2．对数函数y＝logax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)： 对数函数y＝logax(a＞1)的增长速度，不论a与n值的大小如何，总会慢于y＝xn的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数x0，当x＞x0时，有logax＜xn

由1、2可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，当x＞x0时，有ax＞xn＞logax.

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注意：《名师一号》P36 问题探究 问题1、2 问题1 解决实际应用问题的一般步骤是什么？

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，

初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转

化为符号语言，利用数学知识， 建立相应的数学模型；

(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．

以上过程用框图表示如下：

问题2 在解决实际应用问题时应注意哪些易错的问题？ (1)函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要理解题意，选择适当的函数模型．

(2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

(3)注意问题反馈，在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．

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二、例题分析：

（一）三种函数模型增长速度的比较 例1.《名师一号》P36 对点自测5、6

5.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)函数＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x0，使ax02

(4)f(x)＝x，g(x)＝2x、h(x)＝log2x，

当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

思考：如何证明：任意 x∈(4，＋∞)， x2<2x恒成立。

6．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x y 1.95 0.97 3.00 1.59 3.94 1.98 5.10 2.35 6.12 2.61 1A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cosx

2

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解析 由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝

1

8，不合要求，B中y＝log23∈(1,2)接近，C中y＝(32－

2

1)＝4，不合要求，D中y＝2.61cos3<0，不合要求，故选B.

（二）函数模型应用题

例1.《名师一号》P36 对点自测1

1.一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )

ABCD

解析 由题意知h＝20－5t(0≤t≤4)，故选B.

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例2.《名师一号》P36 高频考点 例1

(2014·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x2，C(x)＝500x＋4 000(x∈N*)．现已知该公司每月生产该产品不超过100台．

(1)求利润函数P(x)以及它的边际利润函数MP(x)； (2)求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差．

解析：(1)由题意，得x∈[1,100]，且x∈N*.

P(x)＝R(x)－C(x)＝(3 000x－20x2)－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2 500x－4 000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x)

2

＝[－20(x＋1)＋2 500(x＋1)－4 000]

－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x.

1252

＋74 125， (2)P(x)＝－20x－2

当x＝62或x＝63时，P(x)取得最大值74 120元； 因为MP(x)＝2 480－40x是减函数，所以当x＝1时， MP(x)取得最大值2 440元．

故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值 之差为71 680元．

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注意:《名师一号》P36 高频考点 例1规律方法

二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题，

值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围， 根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解．

例3.《名师一号》P36 高频考点 例2

一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积12的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的. 42(1)求每年砍伐面积的百分比；

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

解析：

1

(1)设每年降低的百分比为x(02

a，

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1

111010

即(1－x)＝，解得x＝1－ .

22

2

(2)设经过m年剩余面积为原来的，

2

2

则a(1－x)＝a，即

2

m1

m111012

 ＝ ，＝，解得m＝5，

10222

故到今年为止，该森林已砍伐了5年．

注意:《名师一号》P37 高频考点 例2规律方法

(1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞等增长问题可以利用指数函数模型来表示．

(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．

(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．

例4.《名师一号》P37 高频考点 例3

某旅游景点预计2015年1月份起前x个月的旅游人数

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1

的和p(x)(单位：万人)与x的关系近似地满足p(x)＝x(x2

＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x的近似关系是q(x)＝

(1)写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人) 与x的函数关系式；

(2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大， 最大月旅游消费总额为多少元？

解析：(1)当x＝1时，f(1)＝p(1)＝37， 当2≤x≤12，且x∈N*时， f(x)＝p(x)－p(x－1)

11

＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)

22

＝－3x2＋40x，验证x＝1也满足此式，

所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)第x个月旅游消费总额为 g(x)＝

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即g(x)＝

①当1≤x≤6，且x∈N时，

g′(x)＝18x2－370x＋1 400，令g′(x)＝0，

140

解得x＝5或x＝(舍去)．

9

当1≤x<5时，g′(x)>0，当5g(x)＝－480x＋6 400是减函数，

∴当x＝7时，g(x)max＝g(7)＝3 040(万元)．

综上，2015年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．

注意:《名师一号》P37 高频考点 例3规律方法 (1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式 给出，这时就需要构建分段函数模型，

如出租车的票价与路程的函数就是分段函数．

(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最

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*

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值，然后比较得最大值、最小值．

练习：温故知新P32 第6题

某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元，年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即年平均费用最少）是

答案：10年

函数模型应用题专项突破

从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．

【典例】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造

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成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．

(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域； (2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

课后作业

计时双基练P231基础1-9、培优1、2

课本P37 变式思考1、2、3； 课本P38 对应训练

预习 第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算

6月1日18班

计时双基练P231基础1-9、培优1、2

课本P37 变式思考1、2、3；

预习 第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算

6月1日15班

一元二次方程根分布补充作业5-7 计时双基练P231基础1-9

预习 第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算

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