自动控制原理第9章 习题及解析

9-1 设一阶非线性系统的微分方程为

xxx3

试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。

解 xxx3

由xx30解得xe10, xe21, xe31。作出系统的相轨迹图如下：

平衡状态(0, 0)稳定，平衡状态(1, 0), (1, 0)不稳定。

9-2 已知非线性系统的微分方程为

(1) x3x2x0 (2) xxxx0 (3) xxx0 (4) x(1x2)xx0 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。 解 (1) 奇点(0, 0)。特征方程为

2320

两个特征根为

1,21, 2

平衡点(0, 0)为稳定节点。

在奇点附近的概略相轨迹图：

1

xx

(2) 奇点(0, 0)。在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为

xx0

其特征方程为

210

两个特征根为

1,2j

平衡点(0, 0)为中心点。

在奇点附近的概略相轨迹图：

xx

(3) 奇点(0, 0)。原方程可改写为

xxx0x0 xxx0x0其特征方程、特征根和类型为

2101,20.5j0.866 稳定焦点 2101.618, 0.618 鞍点1,2在奇点附近的概略相轨迹图：

2

(4) 奇点(0, 0)。在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为

xxx0

其特征方程为

210

两个特征根为

1,20.5j0.866

平衡点(0, 0)为不稳定焦点。

在奇点附近的概略相轨迹图：

xx

9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。系统开始是静止的，输入信号r(t)＝4·1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，在e-e平面上画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。

3

reaku0a1s2c图9-48 题9-3图

自动控制原理学·练·考-2004

解：由系统结构图可得cu。初始状态e(0)r(0)c(0)4，e(0)r(0)c(0)0。 系统运动方程

eeaea1区ea2区 e0eeaea3区开关线方程e = −a和e = a将相平面分成3个区域。 2区：系统的运动方程 e0 相轨迹方程为 e常数

该区域没有奇点，相轨迹为一条平行于横轴的直线。

1区：奇点位置(2，0)，可判定其为中心点。带入初始条件，可得相轨迹方程为

e2(ea)2(4a)2

3区：奇点位置(−2，0)，可判定其为中心点。可得相轨迹方程为

e2(ea)2(4a)2

相轨迹大致形状如图所示。

aa

系统在输入信号r(t) = 4×1(t)作用下做等幅振荡。

9-4 设非线性系统如图9-49所示，输入为单位斜坡函数。试在e-e平面上绘制相轨迹。

4

re11u0111s2c

解：由系统结构图可得cu。由于erc，那么ce。系统分段线性微分方程式为

图9-49 题9-4图 1e0,e1或e0,e1 e1e0,e1或e0,e1e0,e1或e0,e1区域：

相轨迹微分方程为

de1 ee并积分可得

e22ec1

e0,e1或e0,e1区域：

可得相轨迹方程为

e22ec1

在e-e平面上的相轨迹

输入为单位斜坡函数时，初始状态e(0)r(0)c(0)0，e(0)r(0)c(0)1。在e-e平面上的相轨迹为从初始状态开始的一条相轨迹，系统趋于不稳定。

9-5 设非线性系统如图9-50所示。若输出为零初始条件，r(t)=1(t)，试 (1) 在e-e平面上画出相轨迹。

(2) 判断该系统是否稳定，最大稳态误差是多少。 (3) 绘出e(t)及c(t)的时间响应大致波形。

5

re5M0.5u00.5M1s(Ts1)c图9-50 题9-5图

解：由系统结构图可得系统的运动方程

TeeMTee0TeeMe0.1e0.11区3区0.1e0.12区

1区无奇点，相轨迹的渐近线eM。 3区无奇点，相轨迹的渐近线eM。

2区有奇线e0，奇线上面的每一点都是平衡点，所以也称为“平衡线”。相轨迹斜率

dee1 deeT相轨迹斜率为一常数，即相轨迹为一簇斜率为−1/T的平行直线。

相轨迹如图所示。在阶跃信号作用下的相轨迹以实线表示，系统运动最终趋于奇线上某一点，系统可能有静态误差。由相轨迹图可知系统稳定，最大稳态误差emax0.1。

在输入信号r(t)=1(t)作用下，在e-e平面上的相轨迹及c(t)的时间响应大致波形如图所示。

6

9-6 非线性系统的结构图如图9-51所示，其中a0.2，b0.2，K4，T1s。试分别画出输入信号取下列函数时在e-e平面上系统的相平面图（设系统原处于静止状态）。

(1) r(t)2 1(t) (2) r(t)2 1(t)0.4t (3) r(t)2 1(t)0.8t (4) r(t)2 1(t)1.2t

rebu0aKs(Ts1)c图9-51 题9-6图

解：由系统结构图可得cc4u。由于erc，那么ee4urr。其中

u0.2e0.2e0.2e0.2 0.2e0.2系统原处于静止状态，即c(0)c(0)0。

1、r(t)=2×1(t)

初始状态e(0)r(0)c(0)2，e(0)r(0)c(0)0。 系统运动方程

e0.21区ee0.80ee4e00.2e0.22区 ee0.80e0.23区7

奇点：1区和3区没有奇点。2区的奇点位置(0，0)，可判定其为稳定焦点。由于根据2区的运动方程求出的奇点在2区内，该奇点为实奇点，故系统的相轨迹必稳定在该实奇点上。

渐近线： 1区e0.8；2区没有渐近线；3区e0.8。

相轨迹的斜率：1区10.80.84e，2区1，3区1。 eee1区与3区的相轨迹具有中心对称性。

相轨迹大致形状如图所示。

2、r(t)=-2×1(t)+0.4t

初始状态e(0)r(0)c(0)2，e(0)r(0)c(0)0.4。 系统运动方程

e0.21区ee0.40ee4e0.40.2e0.22区 ee1.20e0.23区奇点：1区和3区没有奇点。。2区的奇点位置(0.1，0)，可判定其为稳定焦点。由于根据

2区的运动方程求出的奇点在2区内，该奇点为实奇点，故系统的相轨迹必稳定在该实奇点上。

渐近线： 1区e0.4；2区没有渐近线；3区e1.2。

相轨迹的斜率：1区10.44e0.41.2，2区1，3区1。 eee8

相轨迹大致形状如图所示。

3、r(t)=-2×1(t)+0.8t

初始状态e(0)r(0)c(0)2，e(0)r(0)c(0)0.8。 系统运动方程

e0.21区ee0ee4e0.80.2e0.22区 ee1.60e0.23区奇点和奇线：1区e0为奇线。2区的奇点位置(0.2，0)，可判定为稳定焦点。3区没有

奇点。由于根据2区的运动方程求出的奇点在2区内，该奇点为实奇点，而根据1区的运动方程求出的奇线上的点全为1区内的实奇点，故系统的相轨迹必稳定在e0且e0.2的奇线上。

渐近线： 1区和2区没有渐近线；3区e1.6。

相轨迹的斜率：1区1，2区1相轨迹大致形状如图所示。

4e0.81.6，3区1。 ee9

4、r(t)=-2×1(t)+1.2t

初始状态e(0)r(0)c(0)2，e(0)r(0)c(0)1.2。 系统运动方程

e0.21区ee0.40ee4e1.20.2e0.22区 ee20e0.23区奇点：1区和3区没有奇点。2区的奇点位置(0.3，0)，可判定为稳定焦点。由于根据2

区的运动方程求出的奇点不在2区内，该奇点为虚奇点，而系统的相轨迹不会稳定在该虚奇点上。

渐近线： 1区e0.4；2区没有渐近线；3区e2。

相轨迹的斜率：1区10.44e1.22，2区1，3区1。 eee1区与3区的相轨迹具有中心对称性。

相轨迹大致形状如图所示。

10

9-7 某控制系统采用非线性反馈改善系统性能，系统结构图如图9-52所示。试绘制系统单位阶跃响应的相轨迹图。

202re510.5s1c1sc图9-52 题9-7图

解：由图写出非线性系统的方程组

0.5ccx x5ey 2c0 y2c0erc

输入信号为阶跃r(t)＝R·1(t)，带入整理后可得分段线性微分方程为

0.5ee5(e0.4)0e01区 0.5ee5(e0.4)0e02区可确定两种情况下的奇点 (0.4，0)和(−0.4，0)均为稳定焦点。系统从静止状态响应阶跃

11

输入的相轨迹图如图所示。

9-8 试用相平面法分析图9-53所示系统在0、0及0三种情况下相轨迹的特点。

reMu0M1s1s2c图9-53 题9-8图

解：采用积分法求出相轨迹方程。令r(t)0，由系统结构图可知

0Mcc0是开关线。 ，可见ccc0Mcc2McA1,积分可得 c22McA2,c20 相轨迹是开口向右的抛物线 cc0 相轨迹是开口向左的抛物线 cc轴，相轨迹如图(a)所示，是封闭曲线族。 0，开关线是c0，相轨迹如图(b)所示，系统不稳定。 0，相轨迹如图(c)所示，系统稳定。

cccO (a)

cO 12 cO c(b)

(c)

9-9 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为

21(1) G(s) (2) G(s)

s(s1)s(0.1s1)(3) G(s)2(1.5s1)

s(0.1s1)(s1)试问用描述函数法分析时，哪个系统分析的准确度高?

解：因为三个系统的非线性环节相同，所以应用描述函数法分析非线性系统稳定性的准确度便取决于各自线性部分所具有的低通滤波特性，即取决于线性部分的惯性特性。惯性大的低通滤波特性好，则分析准确度高。

(1) 系统2的惯性大于系统1的惯性，所以系统2较系统l具有较好的低通滤波特性。 (2) 系统3与系统2相比较，系统3增加了一个时间常数为0.1s，的惯性环节，但由于还含一个时间常数为1.5的一阶微分环节，因此其实际低通滤波特性较系统2差。

(3) 应用描述函效法分析给定的三个非线性系统的稳定性时，系统2的分析准确度最高。 9-10 将图9-54所示非线性系统简化成典型结构图形式，并写出线性部分的传递函数。

r0NG(s)r0NG(s)H(s)H(s)(a)r0(b)G(s)H(s)N(c)图9-54 题9-10图

解：(a) 线性部分的传递函数G0(s)G(s)

1G(s)H(s)(b) 线性部分的传递函数G0(s)G(s)[1H(s)] (c) 线性部分的传递函数G0(s)

G(s)H(s)

1G(s)13

简化后的非线性系统典型结构图：

NG(s)1G(s)H(s)NG(s)[1H(s)](a)(b)NG(s)H(s)1G(s)(c)9-11 试求图9-55所示非线性特性的描述函数。

yyyx3kM0x0x−M(a)(b)图9-55 题9-11图

解：由于图(a)的非线性特性为单值奇对称特性，其输出是奇函数，A00, A10, 10。而

B1120y(t)sintd(t)4230A(sint)4d(t)334A 得图(a)非线性特性的描述函数为

N(A)B1A324A 图(b)的非线性特性可以分解为两个环节的并联，则有

N(A)NN4M1(A)2(A)Ak

14

故有

为G(s)9-12 各系统的G(j)和1/N(A)曲线如图9-56所示，P为G(s)的右极点个数，

的积分环节个数。试判断各系统的稳定性，并判断G(j)和1/N(A)曲线的交点是否为自振点。

1N(A)aImbcImReG(j)aImRea000ReG(j)P011N(A)P01N(A)2G(j)P01(a)Im1N(A)(b)ImG(j)(c)Im0aaReb0ReP01N(A)aG(j)0ReP2G(j)101N(A)P10(d)(e)图9-56 题9-12图 (f)

解：(a) P=0，a点和c点是1曲线穿出包围区进入到稳定区的交点，是自振点。bN(A)点是1曲线由稳定区穿入不稳定区（包围区）的交点，不是自振点。 N(A)1曲线由不稳定区（包围区）穿出到稳定区的交点，是自振点。 N(A)15

(b) P=0，a点是

(c) P=0，a点是1曲线由不稳定区（包围区）穿出到稳定区的交点，是自振点。 N(A)11曲线穿出包围区进入到稳定区的交点，是自振点。a点是N(A)N(A)(d) P=0，b点是曲线由稳定区穿入不稳定区（包围区）的交点，不是自振点。

(e) P=2，1P曲线被G(j)曲线反时针包围1次的区域为稳定区。 N(A)21曲线由稳定区穿出进入不稳定区，交点a的等幅振荡无法持续，a不是自振点。 N(A)(f) P=1，1P1曲线被G(j)曲线反时针包围次的区域为稳定区。 N(A)221曲线由不稳定区穿入稳定区，交点a是自振点。 N(A)9-13 非线性系统如图9-57所示，试确定系统的自振振幅和频率。

r0e1u0110s(s1)(s2)c图9-57 题9-13图

解：理想继电特性的描述函数N(A)线性部分的频率特性G(j)4M4 AA10

j(j1)(j2)1曲线与G(j)曲线如图所示。 N(A)在1曲线与G(j)曲线的交点处 N(A)16

11G(j)  N(A) N(A)G(j)即 j(j1)(j2)40 A2，振幅A=20/3π=2.12 。自激振荡

由上式两端的实部和虚部分别相等可解得频率的振幅为2.12，频率为2，即在非线性环节的输入端存在近似为2.12sin2t的持续振荡。 9-14 非线性系统如图9-58所示，试确定系统的自振振幅和频率。

r0e1201212u01210s(s1)2c11011图9-58 题9-14图

解：典型化后的非线性系统结构图

20.500.5210s(s1)2c

死区继电特性的描述函数为

24MaN(A)1AA当Aa时， (Aa)

11；当A时， 。 N(A)N(A)当

12A1a2。 时，取最大值且max4M4N(A)A2N(A)而线性部分的频率特性G(j)101G(j)，得频率1，。由

j(j1)2N(A)ReG(j)15表明

1曲线与G(j)曲线的相交，在交点处，振幅A=12.7，0.5N(A)17

（舍去） 。自激振荡的振幅为12.7，频率为1，即在非线性环节的输入端存在近似为12.7sint的持续振荡。

Im1N(A)ab0ReP012.7sintG(j)1

9-15 非线性系统如图9-59所示，试确定系统的自振振幅和频率。

11011r0e100.1s11s2s1c图9-59 题9-15图

解：给定饱和特性的负倒描述函数为

1 N(A)1112arcsin12AAA当A1时，1/N(A)1；当A时，1/N(A)。因此，1/N(A)曲线在负实轴

1]线段上。 的(，系统线性部分的传递函数为

(0.1s1)(s1) G(s)s(0.1s1)(s1)20由11G(j)，得频率4.21，A1.712。概略画出曲线与G(j)曲线N(A)N(A)如图所示

18

由Routh判据可知，有G(s)有2个右极点。可判定该非线性系统的周期运动解是不稳定的，点M不是自振点。

9-16 非线性系统如图9-60所示，试用描述函数法分析其稳定性。若存在自持振荡，确定系统的自振振幅和频率。

r0ek10.1u00.112s(0.1s1)(s1)c图9-60 题9-16图

解：给定死区特性的负倒描述函数为

1

2N(A)0.10.10.12arcsin1AAA2当A0.1时，1/N(A)；当A时，1/N(A)1。因此，1/N(A)曲线在负

1)线段上。 实轴的(，系统线性部分的传递函数为

12 G(s)s(0.1s1)(s1)由1G(j)，得频率3.21，振幅A1.945。可判定1/N(A)曲线与G(j)曲N(A)线的交点不是自持振荡点。

9—17 电子振荡器的方框图如图9-61所示，试分析为使振荡器产生稳定的自持振荡，饱和特性线性区增益k的取值范围。若k0.25，自持振荡的频率和振幅是多少？

19

r0e1ku0110ss2.1s1002c图9-61 题9-17图

解：给定饱和特性的负倒描述函数为

12 N(A)11112arcsinAAA当A1时，1/N(A)4；当A时，1/N(A)。因此，1/N(A)曲线在负实轴

4]线段上。 的(，系统线性部分的传递函数为

G(s)由10s

s22.1s1001G(j)，得频率10，A1.37。可判定1/N(A)曲线与G(j)曲线的交点N(A)是自持振荡点。

9-18 非线性系统如图9-62所示，试用描述函数法分析系统的稳定性。为使系统稳定，继电器参数a和M应如何调整？。

r0eMau0aM2s(0.5s1)(s1)c图9-62 题9-18图

解：死区继电特性的描述函数为

4MaN(A)1AA当Aa时， 2(Aa)

11；当A时， 。 N(A)N(A)当

12A1a2。 时，取最大值且max4M4N(A)A2N(A)20

而线性部分的频率特性G(j)21G(j)，得频率。由j(j0.51)(j1)N(A)2，ReG(j)2112曲线与G(j)曲线的相交。概略画出表明N(A)N(A)3曲线与G(j)曲线如图所示。

a2M

由图可知，要使系统稳定，则1曲线与G(j)曲线不相交，即有 N(A)2 2M3a4 M3a得

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