复平面上点的轨迹的求法

复平面上点的轨迹的求法

复平面上点的轨迹问题涉及到代数、解析几何和平面几何等多方面知识，此类问题综合性强、灵活性大，具有较高的思维训练价值．本文加以归纳，供参考． 一、转移法

例1 已知z2(abi)(a，b为实变数，且ab1），求复数内所表示的轨迹．

解：由已知，可得z2． 且由22z1在复平面zz11，得z． z112． 1 两边取模，得z1，即所求点的轨迹为复平面上以(1，0)为圆心，半径为的圆． 21 点评：对z两边取模，借用z2而得轨迹方程．当复平面内两类动点的关系

1 ∴1可知，其中一类动点的轨迹是已知或可求的，求另一类动点的轨迹的方法称作“转移法”． 二、参数法

例2 设zsini(1cos)，z2iz，求复数对应点的轨迹方程． 解：设xyi(x，yR)，则xyi[sini(1cos)]22i[sini(1cos)]

2(1cos2)isin2，

∴x1cos2，22消去得(x，y)的轨迹方程为(x1)y1．

ysin2， 点评：设出复数的代数式，由复数相等的充要条件，列出参数方程，再化成普通方程．

三、整体法

例3 设复数z1、z2满足z1z2Az1Az20，A为非零复数，z2A，求

z1A的对应点的轨迹．

(z2A)i2 解：将条件z1z2Az1Az20整理为(z1A)(z2A)A，∵A0，

∴z2A0，∴ z1AA2z2A，

∴z1A1， 2(z2A)iz2A(z2A)iz2AA22A2Ai2 显然

z2A为正实数，

∴是一个虚部为负数的纯虚数，其图象为虚轴的下半轴，即x0(y0)． 点评：本题用前两种方法都很困难，但注意到将条件中隐含的z1A，z2A整体代入，可获得简解． 四、性质法

例4 设复数z333it，rC，又

t3是纯虚数，试求复数z对应点的轨迹． t3 解：∵

t3t3t30，即是纯虚数，由纯虚数的性质，可得

t3t3t3(t3)(t3)(t3)(t3)0，

(t3)(t3) 化简，得

2(tt9)0，∴t3．

(t3)(t3) 又∵

t3是纯虚数，∴t3． t3 由z333it得tz(333i)， ∴z(333i)t3．

又因t3，故z(333i)3， ∴z633i或z33i．

33)为圆心，半径为3的圆，但要去掉两点 故复数z对应的点的轨迹是复平面上以(3，(6，33)及(0，33)．

点评：本题巧用了纯虚数的性质，使题目的解题思路优化，避免了冗繁的运算．