尖子生专训3相交线平行线含答案之欧阳总创编

尖子生专训3相交线平行线答案

时间：2021.02.13 创作：欧阳总 1．长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a°/秒，灯B转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°

（1）求a、b的值；（2）若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

（3）如图，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围． 解：（1）∵a、b满足|a﹣3b|+（a+b﹣4）2=0，∴a﹣3b=0，且a+b﹣4=0，∴a=3，b=1；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

欧阳总创编 2021..02.13

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①当0＜t＜60时，3t=（20+t）×1，解得t=10；

②当60＜t＜120时，3t﹣3×60+（20+t）×1=180°，解得t=85；

③当120＜t＜160时，3t﹣360=t+20，解得t=190＞160，（不合题意）综上所述，当t=10秒或85秒时，两灯的光束互相平行；

（3）设A灯转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣3t，∴∠BAC=45°﹣（180°﹣3t）=3t﹣135°，又∵PQ∥MN，∴∠BCA=∠CBD+∠CAN=t+180°﹣3t=180°﹣2t，

而∠ACD=90°，∴∠BCD=90°﹣∠BCA=90°﹣（180°﹣2t）=2t﹣90°，∴∠BAC：∠BCD=3：2，即2∠BAC=3∠BCD．

2．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为G． （1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；

（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；

（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．

解：（1）如图1，∵MN∥PQ，∴∠MAG=∠BDG，∵∠AGB

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是△BDG的外角，BG⊥AD，

∴∠AGB=∠BDG+∠PBG=90°，∴∠MAG+∠PBG=90°； （2）2∠AHB﹣∠CBG=90°或2∠AHB+∠CBG=90°，证明： ①如图，当点C在AG上时，

∵MN∥PQ，∴∠MAC=∠BDC，∵∠ACB是△BCD的外角，∴∠ACB=∠BDC+∠DBC=∠MAC+∠DBC，

∵AH平分∠MAC，BH平分∠DBC，∴∠MAC=2∠MAH，∠DBC=2∠DBH，∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH），

同理可得，∠AHB=∠MAH+∠DBH，∴∠ACB=2（∠MAH+∠DBH）=2∠AHB，

又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=∠CBG+90°，∴2∠AHB=∠CBG+90°，即2∠AHB﹣∠CBG=90°； ②如图，当点C在DG上时，

同理可得，∠ACB=2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴2∠AHB=90°﹣∠CBG，即2∠AHB+∠CBG=90°； （3）（2）中的结论不成立．存在：2∠AHB+∠CBG=270°；2∠AHB﹣∠CBG=270°．

①如图，当点C在AG上时，由MN∥PQ，可得：

∠ACB=360°﹣∠MAC﹣∠PBC=360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB=∠MAH+∠PBH，

∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵∠ACB是△BCG的外角，∴∠ACB=90°+∠CBG，∴360°﹣2∠AHB=90°+∠CBG，

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即2∠AHB+∠CBG=270°； ②如图，当C在DG上时，

同理可得，∠ACB=360°﹣2（∠MAH+∠PBH），∠AHB=∠MAH+∠PBH，

∴∠ACB=360°﹣2∠AHB，又∵Rt△BCG中，∠ACB=90°﹣∠CBG，∴360°﹣2∠AHB=90°﹣∠CBG， ∴2∠AHB﹣∠CBG=270°．

3．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN= 60 °；

（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯互相平行？

（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴

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∠BAN=180°×=60°，故答案为：60；

（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当0＜t＜90时，如图1，

∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1•（30+t），解得 t=30； ②当90＜t＜150时，如图2，

∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°

∴1•（30+t）+（2t﹣180）=180，解得 t=110，综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；

（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．理由：设灯A射线转动时间为t秒，

∵∠CAN=180°﹣2t，∴∠BAC=60°﹣（180°﹣2t）=2t﹣120°，又∵∠ABC=120°﹣t，

∴∠BCA=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣t，而∠ACD=120°，∴∠BCD=120°﹣∠BCA=120°﹣（180°﹣t）=t﹣60°，

∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD，∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．

4．如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120° （1）说明OB∥AC成立的理由．

（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．

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（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．

（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．

解：（1）∵BC∥OA，∴∠B+∠O=180°，∴∠O=180°﹣∠B=60°，而∠A=120°，∴∠A+∠O=180°，∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠FOE，而∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠COF=EOC=30°；

（3）比值不改变．∵BC∥OA，∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，∵∠FOC=∠AOC，∴∠AOF=2∠AOC，∴∠OFB=2∠OCB，即∠OCB：∠OFB的值为1：2； （4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，

∵∠OEB=∠AOE，∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=30°+x，而∠OCA=180°﹣∠AOC﹣∠A=180°﹣x﹣120°=60°﹣x，

∵∠OEB=∠OCA，∴30°+x=60°﹣x，解得x=15°，∴∠OCA=60°﹣x=60°﹣15°=45°．

5．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．

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∠AOB=×60°=30°，即∠

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（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？解：（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°； （2）∠AKC=∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

过P作PF∥AB，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC，∴∠AKC=∠APC； （3）∠AKC=∠APC．

理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK﹣∠DCK=∠BAP﹣∠DCP=（∠BAP﹣∠DCP）

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=∠APC，∴∠AKC=∠APC．

6．如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是 30° ．

解：（1）∵AM∥BN，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=120°，∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP=ABN=60°；

（2）不变化，∠APB=2∠ADB，

证明：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB=2∠ADB； （3）∵AD∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可得，∠CBD=60°，∠ABN=120°，∴∠ABC=（120°﹣60°）=30°，故答案为：30°．

7．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并证明你的结论

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∠ABP，∠DBP=∠NBP，∴∠CBD=∠

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推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA1，请你猜想∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想； ②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1，∠B1，∠B2，∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系

拓展应用：（3）①如图4所示，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为 B

A.180°+α+β﹣γ B.180°﹣α﹣γ+β C．β+γ﹣α D．α+β+γ

②如图5，AB∥CD，且∠AFE=40°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，请你根据上述结论直接写出∠GHM的度数是 30° ．

解：（1）证明：如图1，过点P作OP∥AB，

∵AB∥CD，∴OP∥AB∥CD，∴∠1=∠PAB，∠2=∠PCD，∴∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即∠APC=∠PAB+∠PCD； （2）①如图2，过点A2作A2O∥AA1，

由（1）可知∠B1=∠A1+∠1，∠B2=∠2+∠A3，所以，∠B1+∠B2=∠A1+∠A2+∠A3； ②如图3，由①可知：

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1；

（3）①如图4，过∠x的顶点作CD∥AB，则∠x=（180°﹣α）+（β﹣γ）=180°﹣α﹣γ+β，

②如图5，由（1）可知，40°+∠GHM+50°=∠G+∠M，∵∠

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G=90°，∠M=30°，∴∠GHM=90°+30°﹣40°﹣50°=30°． 故答案为：B；30°． 8．已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是∠ABE+∠CDE=∠BED ．

（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系 2∠BFD+∠BED=360° ．

解：（1）∠ABE+∠CDE=∠BED．

理由：如图1，作EF∥AB，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2，∴∠ABE+∠CDE=∠1+∠2=∠BED，

即∠ABE+∠CDE=∠BED．故答案为：∠ABE+∠CDE=∠BED．

（2）∠BFD=∠BED．

理由：如图2，∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，

∴∠ABF+∠CDF=∠ABE+∠CDE=（∠ABE+∠CDE）， 由（1），可得∠BFD=∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE）∠BED=∠ABE+∠CDE，∴∠BFD=∠BED．

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（3）2∠BFD+∠BED=360°．

理由：如图3，过点E作EG∥CD，，∵AB∥CD，EG∥CD，∴AB∥CD∥EG，

∴∠ABE+∠BEG=180°，∠CDE+∠DEG=180°，∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，

由（1）知，∠BFD=∠ABF+∠CDF，又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，

∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∴∠BFD=（∠ABE+∠CDE），∴2∠BFD+∠BED=360°． 故答案为：2∠BFD+∠BED=360°．

9．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系∠A+∠C=90° ；

（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；

（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．

解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°， （2）如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，又∵AB⊥

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BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN，BG∥AM，∴CN∥BG，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；

（3）如图3，过点B作BG∥DM，

∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①

由AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组，解得α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．

10．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点

（1）如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？（2）当点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合，如图2和图3），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由．

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解：（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，如图1，过点P作PE∥l1，∴∠APE=∠PAC∵l1∥l2，∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，∴∠APB=∠PAC+∠PBD； （2）不成立，

如图2：∠PAC=∠APB+∠PBD，理由：过点P作PE∥l1，∴∠APE=∠PAC，∵l1∥l2，∴PE∥l2，

∴∠BPE=∠PBD，∵∠APB=∠APE﹣∠BPE=∠PAC﹣∠PBD，∴∠PAC=∠APB+∠PBD； 如图3：∠PBD=∠PAC+∠APB，

理由：过点P作PE∥l1，∴∠APE=∠PAC，∵l1∥l2，∴PE∥l2，∴∠BPE=∠PBD，

∵APB=∠BPE﹣∠APE=∠PBD﹣∠PAC，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

11．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE． （1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；

（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；

（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．

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解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE=∠OCD=120°，∴∠BOE=360°﹣90°﹣120°=150°； （2）如图2，过O点作OF∥CD，

∵CD∥OE，∴OF∥OE，∴∠AOF=180°﹣∠OCD，∠BOF=∠EO′O=180°﹣∠BO′E，

∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E=360°﹣（∠OCD+∠BO′E）=120°，∴∠OCD+∠BO′E=240°； （3）∵CP是∠OCD的平分线，

∴∠OCP=∠OCD，∴∠CPO′=360°﹣90°﹣120°﹣∠OCP=150°﹣∠OCD=150°﹣（240°﹣∠BO′E）=30°+α．

12．探究：如图①，已知直线l1∥l2，直线l3和l1，l2分别交于点C和D，直线l3上有一点P．

（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间有怎样的关系？并说明理由．

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（点P与点C、D不重合），请尝试自己画图，写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并说明理由．

（3）如图②，AB∥EF，∠C=90°，我们可以用类似的方法求出∠α、∠β、∠γ之间的关系，请直接写出∠α、∠β、∠γ之间的关系．

解：（1）如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

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理由如下：过点P作PE∥l1，

∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）如图甲，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．

理由如下：∵l1∥l2，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠PAC+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如图乙，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．

理由如下：∵l1∥l2，∴∠PED=∠PAC，∵∠PED=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠PBD+∠APB． （3）∠α+∠β﹣∠γ=90°．

证明：如图②，分别过C、D作AB的平行线CM和DN， ∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠α=∠BCM，∠MCD=∠NDC，∠NDE=∠γ，

∴∠α+∠β=∠BCM+∠CDN+∠NDE=∠BCM+∠MCD+∠γ，又∵BC⊥CD，∴∠BCD=90°，

∴∠α+∠β=90°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ=90°． 13．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直

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接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；

（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．

解：（1）∠BAE+∠CDE=∠AED．理由如下：作EF∥AB，如图1，

∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE，∴∠BAE+∠CDE=∠AED；

（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAF+∠CDF， ∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE，

∴∠AFD=（∠BAE+∠CDE），∵∠BAE+∠CDE=∠AED，∴∠AFD=∠AED；

（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，而射线DC沿DE翻折交AF于点G，

∴∠CDG=4∠CDF，∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）=2∠AED﹣∠BAE， ∵90°﹣∠AGD=180°﹣2∠AED，∴90°﹣2∠AED+∠BAE=180°﹣2∠AED，∴∠BAE=60°．

14．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．

（1）填空：AB与CD的关系为 AB∥CD，且AB=CD ，∠B与∠D的大小关系为 相等

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（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．

（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=． 解：（1）AB∥CD，且AB=CD，∠B与∠D相等； （2）∵AB∥CD，∴∠DCE=∠B，

由三角形的外角性质得，∠CDF=∠DFE﹣∠DCE，∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE﹣∠DCE+∠FDG，

在△DEF中，∠DEF=180°﹣2∠DFE，在△DFG中，∠DGF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠EDG=∠DGF﹣∠DEF=180°﹣∠FDG﹣∠DFE﹣（180°﹣2∠DFE）=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∵DG平分∠CDE，∴∠CDG=∠EDG，∴∠DFE﹣∠DCE+∠FDG=2∠DFE﹣∠FDG﹣∠DFE，

∴∠FDG=∠DCE，即∠FDG=∠B，∵∠B=60°，∴∠FDG=×60°=30°；

（3）思路同（2），∵∠B=α，∴∠FDG=（1）AB∥CD，且AB=CD，相等；（3）．

15．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．

小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．

（1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 110 度；

欧阳总创编 2021..02.13

．故答案为：

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（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．

（1）解：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

（2）∠APC=α+β，理由：如图2，过P作PE∥AB交AC于E，

∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；

（3）如图所示，当P在BD延长线上时，∠CPA=α﹣β；如图所示，当P在DB延长线上时，∠CPA=β﹣α．

16．解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；

由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．

故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义． （2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠

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HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）

又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°． （3）如图3，∵NQ⊥FM，

∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．

∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD， 又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD， ∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°， ∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，

即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．

17．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西67°方向修一条公路AD，在BD路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东23°的方向继续修建BC段，到达C点又改变方向，从C点继续修建CE段，若使所修路段CE∥AB，∠ECB应为多少度？试说明理由．此时CE与BC有怎样的位置关系？ 以下是小刚不完整的解答，请帮她补充完整． 解：由已知，根据 两直线平行，同位角相等

得∠1=∠A=67°所以，∠CBD=23°+67°= 90 °；根据 同旁内角互补，两直线平行

当∠ECB+∠CBD= 180 °时，可得CE∥AB．所以∠ECB=

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90 °此时CE与BC的位置关系为 垂直 ．

解：由已知，根据两直线平行，同位角相等得：∠1=∠A=67°，

所以，∠CBD=23°+67°=90°，根据同旁内角互补，两直线平行，当∠ECB+∠CBD=180°时，可得CE∥AB，

所以∠ECB=90°，此时CE与BC的位置关系为垂直，

故答案为：两直线平行，同位角相等，90，同旁内角互补，两直线平行，180，90，垂直．

时间：2021.02.13 创作：欧阳总 欧阳总创编 2021..02.13