山东省青岛市九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年山东省青岛市市北区九年级（上）期末数

学试卷

副标题

题号 得分 一 二 三 四 总分 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 如图，小明夜晚从路灯下A处走到B处这一过程中，他在路上的影子（ ）

A. 逐渐变长 B. 逐渐变短 C. 长度不变 D. 先变短后变长

2. 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值

范围是（ ） A. 𝑎<2 B. 𝑎>2 C. 𝑎<2且𝑎≠1 D. 𝑎<−2 3. 如图所示的几何体的左视图为（ ）

A.

B.

C.

D.

4. 如果两点P1（1，y1）和P2（2，y2）都在反比例函数𝑦=−𝑥的图象上，那么（ ）

1

A. 𝑦2<𝑦1<0

B. 𝑦1<𝑦2<0 C. 𝑦2>𝑦1>0

𝐴𝐸

D. 𝑦1>𝑦2>0

5. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF分别

与AC、AD交于点E、F．当AB=6，BC=8时，𝐴𝐶的值为（ ）

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A. 3：4 A. 2

2 B. √2

1

B. 4：3 C. 3：7 D. 3：14

6. 在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan∠A的值为（ ）

C. 3

3

D. √3

1

7. 已知二次函数y=kx2+k（k≠0）与反比例函数y=𝑥（k≠0），它们在同一直角坐标系

中的图象大致是（ ）

𝑘

A.

B.

C.

D.

8. 下列图案是用 四种基本图形按照一定规律拼成的，第10个图案

中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的，在一幅比例尺是1：100000的

地图上，测得的东西走向长为3.5厘米，那么它的东西走向实际长度大约是______米．

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10. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，

求这次会议到会的人数，若设这次会议到会人数为x，则根据题意可列方程_________．

11. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄

金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么PB的长度为______cm． 12. 在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中

旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为______米．

13. 如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋

转得到矩形AEFG，点B的对应点落在CD上，且DE=EF则矩形ABCD的面积为______． 14. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD

交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC=60°，AB=2BC，连

接OE．下列结论：①∠ACD=30°；②S▱ABCD=AC•BC；③OE：AC=√3：6； ④S▱OEF=S▱ABCD，成立的是______．

121

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15. 小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验．

（1）他们在一次实验掷骰子60次，试验的结果如下：

朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 ①填空：此次实验中“5点朝上”的频率为______；

②小红说：“根据实验，出现5点朝上的概率最大．”她的说法正确吗？为什么？ （2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

16. 已知：四边形ABCD求作：在四边形ABCD内部的点P，

使∠PCB=∠B，且点P到AD和CD的距离相等．

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17. （1）解方程：4x2-8x+3=0

（2）解方程：（x+1）（x-3）=1

18. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的

百分率相同，求每次降价的百分率．

19. 如图，某校八年级（1）班学生利用寒假期间到郊区

进行社会实践活动，活动之余，同学们准备攀登附近

的一个小山坡，从B点出发，用了6小时，沿坡脚15°

的坡面以5千米/时的速度行至D点，然后用了12小时，沿坡比为1：√3的坡面以3千米/时的速度达到山顶A点，求小山坡的高（即AC的长度）（精确到0.01千米）（sin15°≈0.2588，cos15°≈0.9659，√3≈1.732）

y℃）20. 制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为（，

从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图所示）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃． （1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到

停止操作，共经历了多少时间？

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1

1

（3）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃时，为最佳操作时间，那么此工艺品的最佳操作时间为多久？

21. 如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．

（1）求证：△DCA≌△EAC；

（2）只需添加一个条件，即______，可使四边形ABCD

为矩形．请加以证明．

22. 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚，到了收获季节，已

知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．

（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当该品种的蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？ （3）某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．

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23. 已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边

分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；

（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．

24. 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D

出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）设△CPQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式：

（2）如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得沿PC翻折△CPQ所得到的到的四边形CQPM是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由：

（3）是否存在某一时刻t，使得P、Q、B三点共线？若存在，求出t的值；若不存

在，请说明理由．

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】

解：当他远离路灯走向B处时，光线与地面的夹角越来越小，小明在地面上留下的影子越来越长，

所以他在走过一盏路灯的过程中，其影子的长度逐渐边长， 故选：A．

因为人和路灯间的位置发生了变化，光线与地面的夹角发生变化，所以影子的长度也会发生变化，进而得出答案．

此题考查了中心投影的性质，解题关键是了解人从路灯下走过的过程中，人与灯间位置变化，光线与地面的夹角发生变化，从而导致影子的长度发生变化．

2.【答案】C

【解析】

解：∵关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴

解得：a＜2且a≠1． 故选：C．

根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．

本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键． 3.【答案】D

【解析】

，

解：从左边看是上大下小等宽的两个矩形，矩形的公共边是虚线， 故选：D．

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根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且存在的线是虚线． 4.【答案】B

【解析】

解：把点P1（1，y1）代入反比例函数点P2（2，y2）代入反比例函数∵-1＜-＜0， ∴y1＜y2＜0． 故选：B．

得，y1=-1； 得，y2=-；

把两点P1（1，y1）和P2（2，y2）分别代入反比例函数求出y1、y2的值即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式． 5.【答案】C

【解析】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，

∴∠AFB=∠FBC，△AEF∽△CEB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠FBC， ∴∠AFB=∠ABF， ∴AF=AB=6， ∵△AEF∽△CEB， ∴∴

==，

==，

故选：C．

根据平行四边形的性质得到∠AFB=∠FBC，△AEF∽△CEB，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理得到AF=AB，根据相似三角形的性质计算，得到答案．

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本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 6.【答案】C

【解析】

解：连接CD，

则CD2=2，AC2=4+16=20，AD2=9+9=18 ∴AC2=CD2+AD2，AD= ∴∠ADC=90°∴tan∠A=故选：C．

连接CD，即可证明△ACD是直角三角形，利用正切函数的定义即可求解． 本题主要考查了正切函数的定义，正确证明△ACD是直角三角形是解决本题的关键． 7.【答案】D

【解析】

=3，CD=

==．

解：分两种情况讨论： ①当k＞0时，反比例函数y=

，在一、三象限，而二次函数y=kx2+k开口向

上，与y轴交点在原点上方，B不符合； ②当k＜0时，反比例函数y=

，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向

下，与y轴交点在原点下方，D符合．

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是D． 故选：D．

根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．

本题主要考查二次函数、反比例函数的图象特点，关键是根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质解答． 8.【答案】C

【解析】

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解：∵每个图案中从上往下，从左往右四种基本图形一个循环，

第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形是第47个图形， 47÷4=11…3，

∴第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形应是故选：C．

观察图形可知，每个图案中从上往下，从左往右四种基本图形

一个循环，第10个图案中的最下面一行从左至右的第2个基本图形是第47个图形，47÷4=11…3，根据规律即可作答．

本题考查了规律型：图形的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意本题每个图案中从上往下，从左往右四种基本图形9.【答案】3.5×102

【解析】

．

一个循环．

解：设的东西走向实际长度为xcm． 由题意：

=

，

105cm=3.5×103m． ∴x=3.5×103 故答案为3.5×

根据比例尺的定义，构建方程即可解决问题．

本题考查比例线段，比例尺等知识，解题的关键是理解比例尺的定义，重合构建方程解决问题． 10.【答案】2x（x-1）=66

【解析】

1

【分析】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键，设这次会议到会人数为x，根据每两个参加会议的人

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都相互握了一次手且整场会议一共握了66次手，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】

解：设这次会议到会人数为x， 依题意，得：x（x-1）=66． 故答案为：x（x-1）=66．

11.【答案】（15-5√5）

【解析】

解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， ∴AP=

AB=

×10=5-5）=（15-5

-5， ）cm．

∴PB=AB-PA=10-（5故答案为（15-5

）．

先利用黄金分割的定义计算出AP，然后计算AB-AP即得到PB的长． 本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=的黄金分割点有两个．

12.【答案】10

【解析】

AB≈0.618AB，并且线段AB

解：∵==，

∵CE=2， ∴CD=4，

∴BD=BC+CD=16+4=20米． 20=10米． ∴AB=BD=×故应填10．

在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，所以实际高度和影长之比

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为1比2，因此墙上的2米投射到地面上为4米，即旗杆影长一共为20米，根据实际高度和影长之比为1比2，得出旗杆为10米．

利用相似比和投影知识解题，在某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，此题就用到了这一知识点． 13.【答案】9√2

【解析】

【分析】

宽．由本题主要考查了旋转的基本性质和勾股定理的应用．矩形的面积=长×旋转的性质可以得到，AD=AG，AE=AB．矩形AEFG，所以AG=EF，又因为DE=EF，所以AD=AG=EF=DE=3，所以由勾股定理得到AE2=AD2+DE2，所以AE=3【解答】

解：由旋转的性质可以得到，AD=AG，AE=AB． ∵矩形AEFG

∴AG=EF ∵DE=EF ∴DE=AD=3 ∵矩形ABCD

∴∠D=90°

∴由勾股定理得到AE2=AD2+DE2 ∴AE2=32+32 ∴AE=3

∴AB=AE=3

×3=

．这样矩形ABCD的面积可求．

∴S矩形ABCD=AB•AD=3故答案为

14.【答案】①②③

【解析】

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ，∠BAD=120°， ∴∠ABC=∠ADC=60°

∵CE平分∠BCD交AB于点E，

∴∠DCE=∠BCE=60°∴△CBE是等边三角形，

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∴BE=BC=CE， ∵AB=2BC， ∴AE=BC=CE，

， ∴∠ACB=90°

，故①正确； ∴∠ACD=∠CAB=30°

∵AC⊥BC，

∴S▱ABCD=AC•BC，故②正确，

在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，

BC， ∴AC=

∵AO=OC，AE=BE， OE=BC， ∴OE：AC=

∵AO=OC，AE=BE， ∴OE∥BC，

∴△OEF∽△BCF， ∴

，

，故③正确；

∴S△OCF=2S△OEF， ∴S△OCE=3S△OEF， ∴S△ACE=6S△OEF， ∴S△ABC=12S△OEF， ∴

故答案为：①②③．

由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到∠ACB=90°

S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC=角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=据相似三角形的性质得到

BC，根据三

；故④不正确．

；故③正确；根

，求得S△OCF=2S△OEF；则

；

S△OCE=3S△OEF，S△ACE=6S△OEF，S△ABC=12S△OEF，故④不正确．

此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的

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性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键． 15.【答案】3

【解析】

1

60=； 解：（1）①20÷

②说法是错误的．在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大．因为当试验的次数较大时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．

（2） （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） ，由表格可以看出，总情况数有36种，之和为7的情况数最多，为6种，所以P（点数之和为7）=

=．

（1）①让5出现的次数除以总次数即为所求的频率；②根据概率的意义，需要大量实验才行；

（2）列举出所有情况，比较两枚骰子朝上的点数之和的情况数，进而让最多的情况数除以所有情况数的即可．

考查用列表格的方法解决概率问题及概率的意义；用到的知识点为：概率是大量实验下一个稳定的值；数学中概率等于所求情况数与总情况数之比． 16.【答案】解：如图，作线段BC的垂直平分线MN，交BA的延长线于K，连接CK，

作∠ADC的平分线DJ，DJ交CK于点P，点P即为所求．

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【解析】

如图，作线段BC的垂直平分线MN，交BA的延长线于K，连接CK，作∠ADC的平分线DJ，DJ交CK于点P，点P即为所求．

本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．

17.【答案】解：（1）4x2-8x+3=0

（2x-3）（2x-1）=0， 解得：x1=2，x2=2；

（2）（x+1）（x-3）=1 x2-2x-4=0， （x-1）2=5， 则x-1=±√5，

解得：x1=1+√5，x2=1-√5． 【解析】

3

1

（1）直接利用十字相乘法分解因式解方程即可； （2）直接利用配方法将原式变形，进而解方程即可．

此题主要考查了十字相乘法、配方法解方程，正确分解因式是解题关键． 18.【答案】解：设每次降价的百分率为x，

由题意得，560（1-x）2=315．

解得：x=0.25=25%，或x=-2.25（舍去） 答：每次降价的百分比为25%． 【解析】

设每次降价的百分率为x，根据题意可得，560×（1-降价的百分率）2=315，据此列方程求解即可．

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本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 19.【答案】解：过D作DF⊥BC于F，DE⊥AC于点E，

∵沿坡比为1： √3的坡面以3千米/时的速度达到山顶A点，∴𝐷𝐸=√3， ∴∠ADE=30°，

10=（km），AD=60×5=4（km）， ∵BD=60×6

+BD•sin15°=×+×0.2588≈0.34（千米）． ∴AC=AE+EC=AE+DF=AD•sin30°426答：小山坡的高为0.34千米． 【解析】

115

5

5

3

1

𝐴𝐸

1

过点D作DF⊥BC于F，DE⊥AC于点E，分别利用坡角及三角函数求出AE，DF的值即可求得AC的长．

此题主要考查了坡度坡角问题以及及三角函数的综合运用，正确应用锐角三角函数关系是解题关键． 20.【答案】解：（1）当0≤x≤5时，

𝑏=15

设函数的解析式是y=kx+b，则{，

5𝑘+𝑏=60𝑘=9

解得：{

𝑏=15

则函数的解析式是：y=9x+15； x＞5时，y=

（2）把y=15代入y=

300𝑥

300𝑥

；

，得15=

300𝑥

，解得：x=20；

经检验：x=20是原方程的解．

则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；

（3）把y=30代入y=

300𝑥

，得x=10，

所以此工艺品的最佳操作时间为：10-5=5（分钟）． 【解析】

（1）分成0≤x≤5和x＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；

（2）在当x＞5时的函数解析式中，求得y=15时对应的自变量x的取值即可；

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（3）将y=30代入反比例函数解析式，进而得出答案．

本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 21.【答案】AD=BC（答案不唯一）

【解析】

（1）证明：在△DCA和△EAC中，∴△DCA≌△EAC（SSS）；

，

（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下： ∵AB=DC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∵CE⊥AE，

， ∴∠E=90°

由（1）得：△DCA≌△EAC，

， ∴∠D=∠E=90°

∴四边形ABCD为矩形；

故答案为：AD=BC（答案不唯一）． （1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；

（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．

本题考查了矩形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 22.【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，

10𝑘+𝑏=200

将（10，200）、（15，150）代入，得：{，

15𝑘+𝑏=150𝑘=−10

解得：{，

𝑏=300

∴y与x的函数关系式为y=-10x+300（8≤x≤30）；

（2）设每天销售获得的利润为w， 则w=（x-8）y

=（x-8）（-10x+300） =-10（x-19）2+1210，

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∵8≤x≤30，

∴当x=19时，w取得最大值，最大值为1210；

（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，

19+300=110千克， 则每天的销售量为y=-10×

∵保质期为40天，

110=4400， ∴总销售量为40×

又∵4400＜4800，

∴不能销售完这批蜜柚． 【解析】

（1）利用待定系数法求解可得；

销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可（2）根据“总利润=单件利润×得出最大值；

（3）求出在（2）中情况下，即x=19时的销售量，据此求得40天的总销售量，比较即可得出答案．

本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质．

23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被对角线AC平分， ∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中， ∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐸{𝐴𝐶=𝐴𝐶， ∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐸

∴△ACF≌△ACE， ∴CF=CE，

∵CE=a，CF=b， ∴a=b，

∵△ACF≌△ACE， ∴∠AEF=∠AFE， ∵∠EAF=45°，

∴∠AEF=∠AFE=67.5°， ∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°， ∵∠CAF=∠CAE=22.5°， ∴∠CAE=∠CEA，

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∴CE=AC=4√2， 即：a=b=4√2；

（2）当△AEF是直角三角形时， ①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°， ∵∠CEF+∠CFE=90°， ∴∠AFD=∠CEF ∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，

=∠EAF ∴∠AEF=45°

∴AF=EF，

∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐹𝐶𝐸

在△ADF和△FCE中{∠𝐴𝐹𝐷=∠𝐶𝐸𝐹

𝐴𝐹=𝐸𝐹∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8， ∴a=8，b=4 ②当∠AEF=90°时，

同①的方法得，CF=8，CE=4， ∴a=4，b=8． （3）ab=32， 理由：如图，

∵AB∥CD

∴∠BAG=∠AFC， ∵∠BAC=45°，

∴∠BAG+∠CAF=45°， ∴∠AFC+∠CAF=45°，

-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°∵∠AFC+∠AEC=180°，

∴∠CAF=∠AEC， ∵∠ACF=∠ACE=135°， ∴△ACF∽△ECA， ∴𝐸𝐶=𝐴𝐶，

CF=AC2=2AB2=32 ∴EC×∴ab=32． 【解析】

𝐴𝐶

𝐶𝐹

（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b． 时，判断出△ADF≌△FCE，②当（2）分两种情况进行计算：①当∠AFE=90°

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时，同①的方法，即可得出结论； ∠AEF=90°

（3）先判断出∠AFC+∠CAF=45°，判断出∠CAF=∠AEC，进而判断出△ACF∽△ECA，即可得出结论．

此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是判断△ACF∽△ECA，也是本题的难点．

24.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10，

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=1

1

2BC•AC=2AB•CD， ∴CD=

𝐵𝐶⋅𝐴𝐶𝐴𝐵=4.8，

过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图1所示． 由题可知DP=t，CQ=t， 则CP=4.8-t，

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°

-∠DCB=∠B， ∵PH⊥AC， ∴∠CHP=90°， ∴∠CHP=∠ACB， ∴△CHP∽△BCA， ∴𝑃𝐻

𝐶𝑃

𝐴𝐶=𝐴𝐵， ∴𝑃𝐻

4.8−𝑡8=

10，

∴PH=-4

96

5𝑡+25，

∴S=S△CPQ=11496248

2CQ•PH=2t（-25𝑡+25）=-5𝑡+25t； （2）如图2，连接QM，交CD于H， ∵四边形CMPQ是菱形， ∴PC⊥QM，CH=PH， ∵CD⊥AB， ∴QH∥AD，

∴△CQH∽△CAD，

∴𝑄𝐻𝐶𝑄

𝑄𝐻𝑡

𝐴𝐷=𝐴𝐶，则32=8，

5

∴QH=4𝑡

5， ∴CH=3𝑡

5，

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∴PC=2CH=5=5-t， t=； 11

则当t=11秒时，四边形CQPM是菱形；

（3）如图3，当P、Q、B三点共线时，∠CPQ=∠BPD， 过Q作QE⊥CD于E， ∴∠QEP=∠BDP=90°， ∴△QEP∽△BDP， ∴𝐵𝐷=𝐷𝑃，

由（2）同理得QE=5，CE=5， ∴PE=5-5-t=5-5， ∴

4𝑡5185

6𝑡24

24

24

𝑄𝐸𝐸𝑃

4𝑡3𝑡

243𝑡248𝑡

=

248𝑡−55

𝑡

，

t2+7.2t-21.6=0， t=−7.2±√7．2

2−4×1×(−21.6)

=−7.2±4.8√6，

2

2

5

5

t=12√6−18或−12√6−18（舍）． 【解析】

（1）利用勾股定理可求出AB长，再用等积法就可求出线段CD的长．过点P作PH⊥AC，垂足为H，通过三角形相似即可用t的代数式表示PH，从而可以求出S与t之间的函数关系式，即可解决问题；

（2）根据四边形CQPM是菱形，连接对角线QM，可知QM⊥PC，且平分PC，根据CP的长列方程可得结论；

（3）作辅助线，构建相似三角形，证明△QEP∽△BDP，列比例式，得一元二次方程，解出即可．

此题是几何综合题，也是几何动点问题，主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用方程解决动点问题是本题的关键，并注意运用数形结合的思想．

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