啤酒的生产与销售
张玉贞 肖捷 第五艳丽
（安康学院数学系 陕西 安康 725000）
摘 要：本问题是一个优化问题。根据题意得出，决策变量是生产甲乙两种啤酒的箱数，目标函数是销售甲乙两种啤酒的收入，约束条件由生产甲乙两种啤酒的原料分配决定，利用线性规划原则并使用LINGO软件或通过图解法进行求解，求出生产甲、乙两种啤酒的具体箱数分别为10箱和15箱，所得最大收入为1300
关键词：啤酒生产；原料；最大收入。
一、问题的提出
某啤酒厂生产甲、乙两种啤酒，生产一箱甲种啤酒需要A原料10千克，B原料50千克；生产一箱乙种啤酒需要A原料20千克，B原料40千克；现有A原料400千克，B原料1100千克，甲乙两种啤酒每箱售价分别为40元和60元，问如何安排生产使收入最大？
二、问题分析
这个优化问题的目标是使销售收入最大。要作得决策时生产计划，即用A、B两种原料生产多少箱甲种啤酒，多少箱乙种啤酒。由于原料供应有限，这就必须给出原料分配方案进行调整，根据最优化原则，制定出合理的生产计划。
1. 决定因素：甲乙两种啤酒的箱数 2. 解题目标：获得收入最大
3. 求解方法 ：LINGO软件求解或图解法
三、模型假设
1.甲、乙两种啤酒每箱的获利是与它们各自产量无关的常数。A、B两种原料加工出的甲、乙两种啤酒的数量和它们各自的产量无关的常数；
2.加工甲、乙两种啤酒的箱数可以是任意实数；
四、符号说明
x——生产出甲种啤酒的箱数； y——生产出乙种啤酒的箱数； S——销售收入；
五、模型建立与求解
下面介绍两种解法
第1种解法 LINGO软件求解
观察问题中给定的数据，猜测问题中的关系式是线性。
决策变量：设x为生产出甲种啤酒的箱数，y为生产出乙种啤酒的箱数。
1
目标函数：设S为销售收入。x箱甲种啤酒收入为40x，y箱乙种啤酒收入为60y，于是总的销售收入为S=40x+60y. „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(1)
约束条件：由于生产甲乙两种啤酒的原料有，即
10x+20y<400 „„„„„„„„„„„„„（2） 50x+40y<1100 „„„„„„„„„„„„„(3)
x,y>0 „„„„„„„„„„„„„(4)
在LINGO 9.0版本下打开一个新文件，直接输入：
max=40*x+60*y; 10*x+20*y<400; 50*x+40*y<1100; end
将文件储存并命名后，选择菜单“Solve”,运行该程序得到：
Global optimal solution found.
Objective value: 1300.000 Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost
X 10.00000 0.000000 Y 15.00000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 1300.000 1.000000 2 0.000000 2.333333 3 0.000000 0.3333333
最优解是生产甲种啤酒10箱，乙种啤酒15箱，销售收入为1300元。
但是LINGO得到的以上结果只是一个局部最优解，下面给出另一种解法：图解法。 第2种解法 图解法
这个线性规划的决策变量为2维，用图解法既简单，又能直观地把握线性规划的基本性质。
y 27.5 20 (10,15) O 22 40 x
2
将约束条件(2)、(3)中的不等号改为等号，可知它们是二维平面上的两条直线。目标函数(1)中的S取不同的值时，在图中表示一组平行直线，称等值线组。由于目标函数(图中虚线)和约束条件(图中两条直线)都是线性函数，从图上不难看出，当目标函数向右上方移动到(2)、(3)两条直线的交点时，S达到最大值为1300。而这个交点的坐标(10,15)即为最优解：x=10,y=20.
六、模型评价
模型的优点：线性规划模型可以方便地利用LINGO软件求解，得到丰富的输出，利用其中的影子价格和灵敏性分析，可对模型结果作进一步的研究，它们对实际问题非常有益。另外用图解法解线性规划问题既简单，又能直观地把握其基本性质。
七、参考文献
姜启源 谢金星 叶俊，数学模型（第三版），北京：高等教育出版社,2010.
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