如何求函数的解析式

细谈函数的解析式

江苏 袁军

求函数的解析式是函数中比较重要的一类题型，如何去求函数的解析式，下面就求函数的解析式的三种方法举例讲解，希望对同学们的学习有所帮助。

一． 代入法求函数的解析式

已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式通常用代入法解决。

例1.已知f(x)4x3，求f(3x2)的解析式。

分析：本题将“3x2”看成x，代入即可.

解：本题用代入法，可以将3x2看成是f(x)中的x，直接代入即可解决

f(3x2)4(3x2)312x11。

随堂训练

2x1x(x0)，求f(x1)的解析式。

1.已知

f(x)答案：

f(x1)2x3x1(x1)。提示：本题容易忽视定义域。

二． 换元法求函数的解析式

已知f(g(x))的解析式，求f(x)的解析式常用换元法解决。

2f(2x1)x3x2，求f(x)的解析式。 例2.已知

分析：本题利用换元法来解决.

x23t1f(x)xx244。 2，∴，∴解：由已知f(2x1)x3x2，令t2x1，则

点评：本种类型的问题还可以用“拼凑法”解决，比如本题还可以这样解决：∵

f(2x1)x23x2，将x23x2凑成2x1的形式，然后用x替换2x1即可。

x23132f(x)xf(2x1)(4x4x1)2x144。 44，∴∵

随堂训练

1x1x2f(),21x1x2．已知求f(x)的解析式.

答案：

f(x)2x.2x1提示：用换元法解决.

三． 待定系数法求函数的解析式

对有些给出函数的特征，求函数的解析式可用待定系数法。

例3.若f(x)是一次函数，且ff(x)4x4；求f(x)的解析式.

分析：因为f(x)是一次函数，所以设出f(x)的解析式用代入法解决即可.

ff(x)kf(x)bk2kbb.f(x)kxb(k0),解：设则

k2,k24,k2,4b,2kbb4,kxkbb4x4,3或b4, ∴比较系数有解得

∴

f(x)2x43或f(x)2x4.

点评：本题利用f(x)是一次函数，将f(x)的解析式设出，从而代入根据待定系数法的原理从而求出参数的值.

随堂训练

fff(x)27x26,3．若求一次函数f(x)的解析式.

答案：f(x)3x2.

四． 用消去法求函数的解析式

对已知f(x)及与f(x)相关的代数式可用消去法解决

例4.如果函数f(x)满足f(x)2f(x)3x,求f(x).

分析：将f(x)和f(x)看成是两个未知数，采用解方程组的思想去求f(x)的表达式.

解：设f(x)的定义域为C，由f(x)2f(x)3x,知：xC,xC,则将原式中的x换成x，原式任然成立，即有f(x)2f(x)3x,与原式联立，得：

f(x)2f(x)3x,f(x)2f(x)3x,解得f(x)3x.

点评：本题利用了方程的思想，将f(x)和f(x)视为两个未知数，采用解方程组的方法消去f(x)，而得到f(x)的解析式.

随堂训练

14f(x)f()15x2(xR,x0),x4.设函数f(x)满足求f(x)的解析式.

答案：

f(x)4x21x2.

求一个函数的解析式，关键是弄清和找出对接受法则的对象实施怎样的运算.以上各题中，我们使用的方法可以总结为①代入法；②换元法；③待定系数法；④消去法，这些都是求函数解析式的常用方法，今后随着学习的深入，还会学习其它方法，要注意随时总结，灵活运用.