圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型
一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣心率的范围是（ ） A．（1，
） B．（
，+∞） C．（1，+∞） D．（1，
）∪（
，+∞）
=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离
2．已知M（x0，y0）是双曲线C：个焦点，若A．
=1上的一点，F1，F2是C的左、右两
＜0，则y0的取值范围是（ ） B．
C．
D．
3．设F1，F2分别是双曲线支上存在一点P，使得
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右
，其中O为坐标原点，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．﹣
D．
4．过双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂
=2
，则该双曲线的离心率为（ ）
足为A，交双曲线左支于B点，若A．
B．2
C．
D．
5．若双曲线
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此
双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，6．已知双曲线C：
） D．（
，+∞）
的右焦点为F，以F为圆心和双曲线
的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
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圆锥曲线经典题目(含答案)
A． B． C． D．2
=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的
7．设点P是双曲线
左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ） A．
B．
C．y=2x
D．y=4x
8．已知双曲线
的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离
心率的取值范围是（ ） A．（
，+∞） B．（1，
） C．（2．+∞） D．（1，2）
），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲
9．如果双曲线经过点P（2，线的方程是（ ） A．x2﹣
=1 B．
﹣
=1 C．﹣=1 D．﹣=1
10．已知F是双曲线C：x2﹣
=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ） A． B． C． D．
二．填空题（共2小题） 11．过双曲线
的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若
|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 ． 12．设F1，F2分别是双曲线支上存在一点P，使
则该双曲线的离心率为 ．
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的左、右焦点，若双曲线右
，O为坐标原点，且
，
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三．解答题（共4小题）
13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣
=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的
直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°． （1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求
•
的值．
﹣
=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：
倍．
+
=1有相同的焦
14．已知曲线C1：
点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=定点．
15．已知双曲线Γ：点到其右焦点的最小距离为（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．
16．已知双曲线C：（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且求△PEF的面积．
•=0，
的离心率e=
，且b=
．
﹣1．
的离心率e=
，双曲线Γ上任意一
，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一
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圆锥曲线经典题目(含答案)
一．选择题（共10小题） 1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣心率的范围是（ ） A．（1，
） B．（
，+∞） C．（1，+∞） D．（1，
）∪（
，+∞）
=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离
【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣∴1＞b＞0或b＞1． ∴e==故选：D．
＞1且e≠
．
=1（b＞0）有两个不同的交点，
2．已知M（x0，y0）是双曲线C：个焦点，若A．
=1上的一点，F1，F2是C的左、右两
＜0，则y0的取值范围是（ ） B．
=（﹣
C．
﹣x0，﹣y0）•（
D．
﹣x0，﹣y0）=x02﹣
【解答】解：由题意，3+y02=3y02﹣1＜0， 所以﹣
＜y0＜
．
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圆锥曲线经典题目(含答案)
故选：A．
3．设F1，F2分别是双曲线支上存在一点P，使得
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右
，其中O为坐标原点，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：取PF2的中点A，则 ∵∴
⊥
，
∵O是F1F2的中点 ∴OA∥PF1， ∴PF1⊥PF2， ∵|PF1|=3|PF2|，
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|， ∵|PF1|2+|PF2|2=4c2， ∴10a2=4c2， ∴e=
故选C．
4．过双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂
=2
，则该双曲线的离心率为（ ）
足为A，交双曲线左支于B点，若A．
B．2
C．
D．
【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（
，﹣
），
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由=2，可得B（﹣，﹣﹣
）， =1，
把B点坐标代入双曲线方程
即
即离心率e==故选：C．
5．若双曲线
=1，整理可得c=．
a，
=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此
双曲线的离心率的取值范围是（ ） A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，
） D．（
，+∞）
【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交 ∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2， ∴c2=a2+b2＜2a2， ∴e=＜∵e＞1 ∴1＜e＜故选C．
6．已知双曲线C：
的右焦点为F，以F为圆心和双曲线
的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ） A．
B．
C．
D．2
【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，
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可得F到渐近线的距离为即有圆F的半径为b， 令x=c，可得y=±b由题意可得即a=b，c=即离心率e==故选C．
7．设点P是双曲线
=b，
=，
a，
=±
=b，
，
=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的
左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ） A．
B．
C．y=2x
D．y=4x
【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a， 又|PF1|=2|PF2|， 得|PF2|=2a，|PF1|=4a；
在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2， ∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2， 则b2=4a2．即b=2a， 双曲线故选：C．
8．已知双曲线
的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离
=1一条渐近线方程：y=2x；
心率的取值范围是（ ）
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圆锥曲线经典题目(含答案)
A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2）
【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交 ∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴3a2＜b2， ∴c2=a2+b2＞4a2， ∴e=＞2 故选：C．
9．如果双曲线经过点P（2，线的方程是（ ） A．x2﹣
=1 B．
﹣
=1 C．
﹣
=1 D．
﹣
=1
），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲
＜1
【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x， 可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0）， 代入点P（2，λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2， 即为
﹣
=1．
），可得
故选：B．
10．已知F是双曲线C：x2﹣
=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由双曲线C：x2﹣
=1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
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则P（2，3），
∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3， ∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=， 同理当y＜0时，则△APF的面积S=， 故选D．
二．填空题（共2小题） 11．过双曲线
的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若
|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 20 ． 【解答】解：
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8 ∵双曲线x2﹣∵PQ=8
∴PQ是双曲线的通径
∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4
∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2 ∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12 ∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20， 故答案为20．
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=1的通径为==8
圆锥曲线经典题目(含答案)
12．设F1，F2分别是双曲线支上存在一点P，使则该双曲线的离心率为 ．
的左、右焦点，若双曲线右
，O为坐标原点，且
，
【解答】解：取PF2的中点A，则 ∵∴2∴
•
=0， ，
，
∵OA是△PF1F2的中位线， ∴PF1⊥PF2，OA=PF1．
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a， ∵|PF1|=∴|PF2|=
|PF2|， ，|PF1|=
．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2， ∴（∴e=
）2+（．
．
）2=4c2，
故答案为：
三．解答题（共4小题）
13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣
=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的
直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°． （1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求
•
的值．
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圆锥曲线经典题目(含答案)
【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为因为点M在双曲线C上，所以在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：
，即，所以
，
，所以
…（3分）
，
…（6分）
…（8分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为
设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ， 则
点
Q
到
两
条
渐
近
线
的
距
离
分别为
，…（11分）
因为Q（x0，y0）在双曲线C：所以
，又cosθ=，
上，
所以分）
=﹣…（14
14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：
倍．
+=1有相同的焦
点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=定点．
【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为
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，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一
…（2分）
圆锥曲线经典题目(含答案)
∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的∴
=
即a2=b2，…（3分）
倍，
∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1； …（4分） （Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+（5分）
与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣由题可设点C（
，y2），
（x﹣
） …（9分） ny+1=0
，…（7分）
…
，y1y2=
由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=
令y=0，可得x=== …（11分）
∴直线AC过定点（（12分）
15．已知双曲线Γ：
，0）． …
的离心率e=
﹣1．
，双曲线Γ上任意一
点到其右焦点的最小距离为（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==
，
当P为右顶点时，可得PF取得最小值， 即有c﹣a=
﹣1，
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圆锥曲线经典题目(含答案)
解得a=1，c=，b==，
可得双曲线的方程为x2﹣
=1；
（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点， 且点P是线段RT的中点．
设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣
=1，x22﹣
=1，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）， 由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2， 可得直线l的斜率为k=
=
=2，
即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1， 代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0， 由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0， 可得二次方程无实数解． 故这样的直线l不存在．
16．已知双曲线C：（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且求△PEF的面积． 【解答】解：（Ⅰ）∵C：∴=
，且b=
的离心率e=，且b=．
•=0，
的离心率e=，且b=，
，
∴a=1，c=
∴双曲线C的方程；
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圆锥曲线经典题目(含答案)
（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q 由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2 平方得：p2﹣2pq+q2=4 •
=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12
所以pq=4
即S=|PE|•|PF|=2．
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