令狐采学
圆锥曲线经典题型
令狐采学
一．选择题（共10小题）
1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣率的范围是（ ）
=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心
A．（1，） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞）
2．已知M（x0，y0）是双曲线C：焦点，若
=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个
＜0，则y0的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设F1，F2分别是双曲线上存在一点P，使得线的离心率为（ ）
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支，其中O为坐标原点，且
，则该双曲
A． B． C． D．
4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为
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A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此
双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞）
6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近
线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、
右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）
A． B． C．y=2x D．y=4x
8．已知双曲线的取值范围是（ ）
的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率
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A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2）
9．如果双曲线经过点P（2，方程是（ ）
），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的
A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，
F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．
12．设F1，F2分别是双曲线存在一点P，使心率为．
，O为坐标原点，且
的左、右焦点，若双曲线右支上
，则该双曲线的离
三．解答题（共4小题）
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13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的
直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求
•
的值．
14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：
倍．
+=1有相同的焦点，
曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=
，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．
15．已知双曲线Γ：右焦点的最小距离为
﹣1．
的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．
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16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．
一．选择题（共10小题）
1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣率的范围是（ ）
=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心
A．（1，） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（1，）∪（，+∞）
【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，
∴1＞b＞0或b＞1．
∴e==＞1且e≠．
故选：D．
2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个
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焦点，若＜0，则y0的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，3+y02=3y02﹣1＜0，
=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣
所以﹣＜y0＜．
故选：A．
3．设F1，F2分别是双曲线上存在一点P，使得线的离心率为（ ）
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支，其中O为坐标原点，且
，则该双曲
A． B． C． D．
【解答】解：取PF2的中点A，则
∵，
∴⊥
∵O是F1F2的中点
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∴OA∥PF1，
∴PF1⊥PF2，
∵|PF1|=3|PF2|，
∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，
∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴10a2=4c2，
∴e=
故选C．
4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为
A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（
，﹣
），
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由=2，可得B（﹣，﹣），
把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，
即=1，整理可得c=a，
即离心率e==．
故选：C．
5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此
双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．（2，+∞） B．（1，2） C．（1，） D．（，+∞）
【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即
∴b2＜a2，
∴c2=a2+b2＜2a2，
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∴e=＜
∵e＞1
∴1＜e＜
故选C．
6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近
线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，
可得F到渐近线的距离为=b，
即有圆F的半径为b，
令x=c，可得y=±b=±，
由题意可得=b，
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即a=b，c==a，
即离心率e==，
故选C．
7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、
右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）
A． B． C．y=2x D．y=4x
【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
又|PF1|=2|PF2|，
得|PF2|=2a，|PF1|=4a；
在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，
∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，
则b2=4a2．即b=2a，
双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；
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故选：C．
8．已知双曲线的取值范围是（ ）
的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率
A．（，+∞） B．（1，） C．（2．+∞） D．（1，2）
【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交
∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1
∴3a2＜b2，
∴c2=a2+b2＞4a2，
∴e=＞2
故选：C．
9．如果双曲线经过点P（2，方程是（ ）
），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的
A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
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【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，
可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），
代入点P（2，），可得
λ=4﹣2=2，
可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，
即为﹣=1．
故选：B．
10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），
PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，
则P（2，3），
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∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，
∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，
同理当y＜0时，则△APF的面积S=，
故选D．
二．填空题（共2小题）
11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，
F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 20 ．
【解答】解：
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8
∵双曲线x2﹣=1的通径为==8
∵PQ=8
∴PQ是双曲线的通径
∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4
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∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2
∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12
∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，
故答案为20．
12．设F1，F2分别是双曲线存在一点P，使心率为
．
，O为坐标原点，且
的左、右焦点，若双曲线右支上
，则该双曲线的离
【解答】解：取PF2的中点A，则
∵，
∴2•=0，
∴，
∵OA是△PF1F2的中位线，
∴PF1⊥PF2，OA=PF1．
由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，
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∵|PF1|=|PF2|，
∴|PF2|=，|PF1|=．
△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴（）2+（）2=4c2，
∴e=．
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的
直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求
•
的值．
【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，
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因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，
在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）
由双曲线的定义可知：
故双曲线C的方程为：…（6分）
（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）
设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，
则点Q到两条渐近线的距离分别为分）
，…（11
因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，
所以，又cosθ=，
所以=﹣…（14分）
14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：
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+=1有相同的焦点，
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曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=
，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．
【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）
∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，
∴=即a2=b2，…（3分）
∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1； …（4分）
（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+分）
…（5
与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）
由题可设点C（，y2），
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由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣） …（9分）
令y=0，可得x=== …（11分）
∴直线AC过定点（分）
，0）． …（12
15．已知双曲线Γ：右焦点的最小距离为
﹣1．
的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，
当P为右顶点时，可得PF取得最小值，
即有c﹣a=﹣1，
解得a=1，c=，b==，
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可得双曲线的方程为x2﹣=1；
（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，
且点P是线段RT的中点．
设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，
两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），
由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，
可得直线l的斜率为k===2，
即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，
代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，
由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，
可得二次方程无实数解．
故这样的直线l不存在．
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16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，
∴=，且b=，
∴a=1，c=
∴双曲线C的方程；
（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q
由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2
平方得：p2﹣2pq+q2=4
•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12
所以pq=4
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即S=|PE|•|PF|=2．
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