2022年湖南省株洲市中考数学试卷(含答案)

一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分） 1．（4分）（2022•株洲）﹣2的绝对值等于（ ） A．2

B．

C．﹣

D．﹣2

2．（4分）（2022•株洲）在0、、﹣1、A．0

B．

这四个数中，最小的数是（ ） C．﹣1

D．

3．（4分）（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（ ） A．x＞4

B．x＜4

C．x＞

D．x＜

4．（4分）（2022•株洲）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（ ） A．63

B．65

C．66

D．69

5．（4分）（2022•株洲）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a5 C．（ab）2＝ab2

B．（a3）2＝a5 D．

＝a3（a≠0）

6．（4分）（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（ ） A．（0，﹣1）

B．（﹣，0）

C．（，0）

D．（0，1）

7．（4分）（2022•株洲）对于二元一次方程组得到（ ） A．x+2x﹣1＝7

B．x+2x﹣2＝7

，将①式代入②式，消去y可以

C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7

8．（4分）（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧度数为（ ）

上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的

A．115°

B．118°

C．120°

D．125°

9．（4分）（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）

A．OB＝CE C．BC＝AE

B．△ACE是直角三角形 D．BE＝CE

10．（4分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）

A． B．

C． D．

二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）（2022•株洲）计算：3+（﹣2）＝ ． 12．（4分）（2022•株洲）因式分解：x2﹣25＝ ．

13．（4分）（2022•株洲）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是 ．（用最简分数表示）

14．（4分）（2022•株洲）A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：

人员 占总人数的百分

此

则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 ．

15．（4分）（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 度．

领队

4%

心理医生

专业医生 ★

专业护士 56%

16．（4分）（2022•株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为 ．

17．（4分）（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 度．

18．（4分）（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之

“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．

问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 丈．

三．解答题（本大题共8小题，共78分） 19．（6分）（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+20．（8分）（2022•株洲）先化简，再求值：（1+

﹣2sin30°．

）

，其中x＝4．

21．（8分）（2022•株洲）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE． （1）求证：△AEF≌△DEC；

（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．

22．（10分）（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN＝（1）求∠ACB的度数；

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路

千米．

程．

23．（10分）（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：

专业评委 ① ② ③ ④ ⑤

（专业评委给分统计表）

记“专业评委给分”的平均数为．

（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数； （2）对于该作品，问的值是多少？

（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定： ①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分； ②S＝0.7+0.3．

求该作品的“综合得分”S的值．

给分（单位：分）

88 87 94 91 90

24．（10分）（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝

（x＜0）、y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2． （1）求点A的横坐标；

（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．

25．（13分）（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC． （1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD． ①求证：△ABD∽△DBE；

②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．

26．（13分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．

①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值； ②若NP＝2BP，令T＝

c，求T的最小值．

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的

关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝

，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．

2022年湖南省株洲市中考数学试卷

参与试题解析

一．选择题（本大题共10小题，每小题有且只有一个正确答案，每小题4分，共40分） 1．（4分）（2022•株洲）﹣2的绝对值等于（ ） A．2

B．

C．﹣

D．﹣2

【分析】根据绝对值的含义以及求法，可得：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．据此解答即可．

【解答】解：﹣2的绝对值等于：|﹣2|＝2． 故选：A．

【点评】此题主要考查了绝对值的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 2．（4分）（2022•株洲）在0、、﹣1、A．0

B．

这四个数中，最小的数是（ ） C．﹣1

D．

【分析】根据负数小于0，正数大于0比较实数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵﹣1＜0＜＜∴最小的数是﹣1， 故选：C．

【点评】本题考查了实数大小比较，掌握负数小于0，正数大于0是解题的关键． 3．（4分）（2022•株洲）不等式4x﹣1＜0的解集是（ ） A．x＞4

B．x＜4

C．x＞

D．x＜

，

【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可． 【解答】解：∵4x﹣1＜0， ∴4x＜1，

∴x＜． 故选：D．

【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1是解题的关键．

4．（4分）（2022•株洲）某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（ ） A．63

B．65

C．66

D．69

【分析】根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案． 【解答】解：将这组数据由小到大排列为：55，63，65，67，69， 这组数据的中位数是65， 故选：B．

【点评】本题考查了中位数，将数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列是解题的关键．

5．（4分）（2022•株洲）下列运算正确的是（ ） A．a2•a3＝a5 C．（ab）2＝ab2

B．（a3）2＝a5 D．

＝a3（a≠0）

【分析】A．应用同底数幂乘法法则进行求解即可得出答案； B．应用幂的乘方运算法则进行计算即可得出答案； C．应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案； D．应用同底数幂除法运算法则进行计算即可得出答案．

【解答】解：A．因为a2•a3＝a2+3＝a5，所以A选项运算正确，故A选项符合题意； B．因为（a3）2＝a23＝a6，所以B选项运算不正确，故B选项不符合题意；

×

C．因为（ab）2＝a2b2，所以C选项运算不正确，故C选项不符合题意； D．因为故选：A．

＝a62＝a4，所以D选项运算不正确，故D选项不符合题意．

﹣

【点评】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．

6．（4分）（2022•株洲）在平面直角坐标系中，一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（ ） A．（0，﹣1）

B．（﹣，0）

C．（，0）

D．（0，1）

【分析】一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0，当x＝0时，y＝1，从而得出答案． 【解答】解：∵当x＝0时，y＝1，

∴一次函数y＝5x+1的图象与y轴的交点的坐标为（0，1）， 故选：D．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的图象与y轴的交点的横坐标是0是解题的关键．

7．（4分）（2022•株洲）对于二元一次方程组得到（ ） A．x+2x﹣1＝7

B．x+2x﹣2＝7

C．x+x﹣1＝7

D．x+2x+2＝7

，将①式代入②式，消去y可以

【分析】将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可． 【解答】解：得x+2（x﹣1）＝7， ∴x+2x﹣2＝7， 故选：B．

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键． 8．（4分）（2022•株洲）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧度数为（ ）

上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的，将①式代入②式，

A．115°

B．118°

C．120°

D．125°

【分析】根据圆的内接四边形对角互补及等边△ABC的每一个内角是60°，求出∠EFD＝120°．

【解答】解：EFDA是⊙O内接四边形， ∴∠EFD+∠A＝180°，

∵等边△ABC的顶点A在⊙O上， ∴∠A＝60°， ∴∠EFD＝120°， 故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质，掌握两个性质定理的应用是解题关键．

9．（4分）（2022•株洲）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（ ）

A．OB＝CE C．BC＝AE

B．△ACE是直角三角形 D．BE＝CE

【分析】由菱形的性质可得AO＝CO＝，AC⊥BD，通过证明△AOB∽△ACE，可得∠AOB＝∠ACE＝90°，OB＝CE，AB＝AE，由直角三角形的性质可得BC＝AE，即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝，AC⊥BD， ∵CE∥BD， ∴△AOB∽△ACE， ∴∠AOB＝∠ACE＝90°，

＝，

∴△ACE是直角三角形，OB＝CE，AB＝AE，

∴BC＝AE， 故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的对角线垂直平分是解题的关键．

10．（4分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意． 【解答】解：∵c＞0， ∴﹣c＜0，

故A，D选项不符合题意； 当a＞0时， ∵b＞0， ∴对称轴x＝

＜0，

故B选项不符合题意； 当a＜0时，b＞0， ∴对称轴x＝

＞0，

故C选项符合题意， 故选：C．

【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．

二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（4分）（2022•株洲）计算：3+（﹣2）＝ 1 ． 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：3+（﹣2）＝+（3﹣2）＝1． 故答案为：1

【点评】本题主要考查了有理数的加法，熟练掌握法则是解答本题的关键． 12．（4分）（2022•株洲）因式分解：x2﹣25＝ （x+5）（x﹣5） ． 【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案． 【解答】解：原式＝（x+5）（x﹣5）． 故答案为：（x+5）（x﹣5）．

【点评】本题主要考查了因式分解﹣应用公式法，熟练掌握因式分解﹣应用公式法进行求解是解决本题的关键．

13．（4分）（2022•株洲）某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖．若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是 ．（用最简分数表示）

【分析】根据能中奖的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．

【解答】解：∵所有可能出现的结果数为6，其中能中奖出现的结果为2，每种结果出现的可能性相同，

∴P（能中奖）＝＝． 故答案为：．

【点评】本题考查了概率公式，掌握P（能中奖）＝能中奖的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．

14．（4分）（2022•株洲）A市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：

人员 占总人数的百分

领队

4%

心理医生

专业医生 ★

专业护士 56%

此

则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为 40% ． 【分析】根据各种人员占总人数的百分比之和为1计算即可得出答案． 【解答】解：1﹣4%﹣56%＝40%， 故答案为：40%．

【点评】本题考查了统计表，掌握各种人员占总人数的百分比之和为1是解题的关键． 15．（4分）（2022•株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝ 15 度．

【分析】根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数． 【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥BC， ∴∠OMB＝∠ONB＝90°， 在Rt△OMB和Rt△ONB中，

，

∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL）， ∴∠OBM＝∠OBN， ∵∠ABC＝30°， ∴∠ABO＝15°， 故答案为：15．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．

16．（4分）（2022•株洲）如图所示，矩形ABCD顶点A、D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为 3 ．

【分析】设BC交x轴于E，根据x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，可得四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则mn＝3，即可得k＝3．

【解答】解：设BC交x轴于E，如图：

∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6， ∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3， 设C（m，n），则OE＝m，CE＝n， ∵矩形DOEC面积是3， ∴mn＝3，

∵C在反比例函数y＝的图象上， ∴n＝，即k＝mn， ∴k＝3， 故答案为：3．

【点评】本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征，理解y＝中k的几何意义．

17．（4分）（2022•株洲）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝ 48 度．

【分析】根据正五边形的性质求出∠EAB，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠EAB＝

＝108°，

∵∠EAB是△AEO的外角，

∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°， 故答案为：48．

【点评】本题考查的是正多边形，掌握多边形内角和定理、正多边形的性质、三角形的外角性质是解题的关键．

18．（4分）（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．

问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为 （8﹣2

） 丈．

【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥AC，根据正方形的性质得到∠OAC＝45°，求出OA，结合图形计算，得到答案．

【解答】解：如图，设正方形的一边与⊙O的切点为C，连接OC， 则OC⊥AC，

∵四边形是正方形，AB是对角线， ∴∠OAC＝45°， ∴OA＝

OC＝2

（丈），

∴BN＝AB﹣AN＝10﹣2故答案为：（8﹣2

）．

﹣2＝（8﹣2）丈，

【点评】本题考查的是切线的性质、正方形的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．

三．解答题（本大题共8小题，共78分） 19．（6分）（2022•株洲）计算：（﹣1）2022+

﹣2sin30°．

【分析】根据有理数的乘方，算术平方根，特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：原式＝1+3﹣2× ＝1+3﹣1 ＝3．

【点评】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，掌握（﹣1）的偶次幂等于1，（﹣1）的奇次幂等于﹣1是解题的关键． 20．（8分）（2022•株洲）先化简，再求值：（1+

）

，其中x＝4．

【分析】应用分式的混合运算法则进行计算，化为最简，再把x＝4代入计算即可得出答案．

【解答】解：原式＝（＝＝

；

中，

+

）

把x＝4代入原式＝

＝．

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．

21．（8分）（2022•株洲）如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长

CE交BA的延长线于点F，已知AE＝DE，FE＝CE． （1）求证：△AEF≌△DEC；

（2）若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形．

【分析】（1）利用SAS定理证明△AEF≌△DEC；

（2）根据全等三角形的性质得到∠AFE＝∠DCE，得到AB∥CD，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明结论． 【解答】证明：（1）在△AEF和△DEC中，

，

∴△AEF≌△DEC（SAS）； （2）∵△AEF≌△DEC， ∴∠AFE＝∠DCE， ∴AB∥CD， ∵AD∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形．

【点评】本题考查的是平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

22．（10分）（2022•株洲）如图（Ⅰ）所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图（Ⅱ）所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1：1，BN⊥l于N，且CN＝（1）求∠ACB的度数；

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路

千米．

程．

【分析】（1）根据坡度的概念求出∠BCN＝45°，根据平角的概念计算即可；

（2）根据含30°角的直角三角形的性质求出AC，根据余弦的定义求出BC，进而得到答案．

【解答】解：（1）∵山坡②的坡度i＝1：1， ∴CN＝BN， ∴∠BCN＝45°，

∴∠ACB＝180°﹣30°﹣45°＝105°；

（2）在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米， ∴AC＝2AM＝1.2千米，

在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN＝则BC＝

＝2（千米），

千米，

∴该登山运动爱好者走过的路程为：1.2+2＝3.2（千米）， 答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

23．（10分）（2022•株洲）某校组织了一次“校徽设计“竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票．某作品的评比数据统计如下：

专业评委 ① ② ③ ④

给分（单位：分）

88 87 94 91

⑤

（专业评委给分统计表）

记“专业评委给分”的平均数为．

（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数； （2）对于该作品，问的值是多少？

（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为S，若规定： ①＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分； ②S＝0.7+0.3．

求该作品的“综合得分”S的值．

90

【分析】（1）“不赞成”的票数＝总票数﹣赞成的票； （2）平均数＝总分数÷总人数；

（3）根据＝“赞成”的票数×3分+“不赞成”的票数×（﹣1）分；S＝0.7+0.3求出该作品的“综合得分”S的值．

【解答】解：（1）该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数：50﹣40＝10（张）， 答：该作品在民主测评中得到“不赞成”的票是10张； （2）＝（88+87+94+91+90）÷5＝90（分）； 答：的值是90分；

（3）①＝40×3+10×（﹣1）＝110（分）； ②∵S＝0.7+0.3 ＝0.7×90+0.3×110 ＝96（分）．

答：该作品的“综合得分”S的值为96分．

【点评】本题考查了加权平均数、算术平均数，掌握这两种平均数的应用，其中读懂题意是解题关键．

24．（10分）（2022•株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝

（x＜0）、y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点C在第二象限内，AC⊥x轴于点P，BC⊥y轴于点Q，连接AB、PQ，已知点A的纵坐标为﹣2． （1）求点A的横坐标；

（2）记四边形APQB的面积为S，若点B的横坐标为2，试用含k的代数式表示S．

【分析】（1）把y＝﹣2代入y1＝（x＜0）即可求得；

（2）求得B（2，），即可得到PC＝OQ＝∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，然后根据S＝S△ABC﹣S△PQC即可得到结论．

【解答】解：（1）∵点A在函数y1＝（x＜0）的图象上，点A的纵坐标为﹣2， ∴﹣2＝，解得x＝﹣1， ∴点A的横坐标为﹣1；

（2）∵点B在函数y2＝（x＞0，k＞0）的图象上，点B的横坐标为2， ∴B（2，），

∴PC＝OQ＝，BQ＝2， ∵A（﹣1，﹣2）， ∴OP＝CQ＝1，AP＝2， ∴AC＝2+，BC＝1+2＝3，

∴S＝S△ABC﹣S△PQC＝AC•BC﹣PC•CQ＝

﹣

×1＝3+k．

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出线段的长度是解题的关键．

25．（13分）（2022•株洲）如图所示，△ABC的顶点A，B在⊙O上，顶点C在⊙O外，边AC与⊙O相交于点D，∠BAC＝45°，连接OB、OD，已知OD∥BC．

（1）求证：直线BC是⊙O的切线；

（2）若线段OD与线段AB相交于点E，连接BD． ①求证：△ABD∽△DBE；

②若AB•BE＝6，求⊙O的半径的长度．

【分析】（1）由∠BAC＝45°，得∠BOD＝90°，又OD∥BC，可得OB⊥BC，即得直线BC是⊙O的切线；

（2）①由∠BOD＝90°，OB＝OD，可得∠BDE＝45°＝∠BAD，即知△ABD∽△DBE； ②由△ABD∽△DBE，得BD2＝AB•BE，又AB•BE＝6，可得BD＝∠BDO＝

，即⊙O的半径的长度是

．

，从而OB＝BD•sin

【解答】（1）证明：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOD＝2∠BAC＝90°， ∵OD∥BC，

∴∠OBC＝180°﹣∠BOD＝90°， ∴OB⊥BC，

又OB是⊙O的半径， ∴直线BC是⊙O的切线；

（2）①证明：由（1）知∠BOD＝90°， ∵OB＝OD，

∴△BOD是等腰直角三角形， ∴∠BDE＝45°＝∠BAD， ∵∠DBE＝∠ABD， ∴△ABD∽△DBE；

②解：由①知：△ABD∽△DBE， ∴

＝

，

∴BD2＝AB•BE，

∵AB•BE＝6， ∴BD2＝6， ∴BD＝

，

∵△BOD是等腰直角三角形， ∴OB＝BD•sin∠BDO＝∴⊙O的半径的长度是

×．

＝

，

【点评】本题考查圆的综合应用，涉及三角形相似的判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，圆的切线等知识，解题的关键是掌握切线的判定定理及圆的相关性质． 26．（13分）（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）． （1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．

①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值； ②若NP＝2BP，令T＝

c，求T的最小值．

阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝

，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．

【分析】（1）把x＝1，y＝1代入y＝x2+3x+c，从而求得结果； （2）①根据题意，表示出AE和AB，根据tan∠ABE＝

＝，得出

＝，从而求得结果； （3）根据OP∥MN，从而得出其代入T＝

，从而求得b的值，进而得出a，c的关系式，将

c，进一步求得结果．

【解答】解：（1）当a＝1，b＝3时，y＝x2+3x+c， 把x＝1，y＝1代入得， 1＝1+3+c， ∴c＝﹣3；

（2）①由ax2+bx+c＝0得， x1＝

，x2＝

，

∴AB＝x2﹣x1＝，

∵抛物线的顶点坐标为：（﹣∴AE＝

，OM＝

，

，），

∵∠BAE＝90°， ∴tan∠ABE＝

＝，

∴

∴b2﹣4ac＝9； ②∵b2﹣4ac＝9， ∴x2＝

，

＝，

∵OP∥MN， ∴∴

：

， ＝2，

∴b＝2， ∴22﹣4ac＝9，

∴c＝﹣∴T＝

， c＝

﹣

＝

﹣＝（﹣2）2+4，

∴当＝2时，T最小＝4， 即a＝时，T最小＝4．

【点评】本题考查二次函数及其图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键根据点的坐标表示出线段．